第一章　第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词

1、第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词1全称量词与全称命题(1)“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题2存在量词与特称命题(1)“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词(2)含有存在量词的命题叫作特称命题3全称命题与特称命题的否定(1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的全称命题的否定是特称命题(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象

2、都不满足这一性质实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的，特称命题的否定是全称命题4逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“且”、“或”、“非”(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断.pqp且qp或q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真1对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定2p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”试一试1(2013·四川高考)设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：任意xA,2xB，则()A綈p：存在xA,2xBB綈p：存在xA,2xBC綈p：存在xA,2xB D綈p：任意

3、xA,2xB解析：选C由命题的否定易知选C，注意要把全称量词改为存在量词2若ab0，则a0或b0，其否定为_答案：若ab0，则a0且b01含逻辑联结词命题真假判断：(1)p且q中一假即假(2)p或q中一真必真(3)綈p真，p假；綈p假，p真2含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论3判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真练一练1(2013·重庆高考)命题“对任意xR，都有x20”的否定为()A对任意xR，都有x2<0 B不存在xR，使得x2<0C存在x

4、R，使得x20 D存在xR，使得x2<0解析：选D全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.2已知命题p：存在xR，x22，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p且q、p或q中是真命题的是_解析：p是真命题，则q是假命题答案：p、p或q考点一全称命题与特称命题的真假判断1.(2014·皖南八校联考)下列命题中，真命题是()A存在xR，sin2cos2B任意x(0，)，sin x>cos xC任意x(0，)，x21>xD存在xR，x2x1解析：选C对于A选项：任意xR，sin2cos21，故A为假命题；对于B选项：存在x，sin x，cos x，sin x<cos

5、 x，故B为假命题；对于C选项：x21x2>0恒成立，C为真命题；对于D选项：x2x12>0恒成立，不存在xR，使x2x1成立，故D为假命题2已知函数f(x)x2bx(bR)，则下列结论正确的是()A任意bR，f(x)在(0，)上是增函数B任意bR，f(x)在(0，)上是减函数C存在bR，f(x)为奇函数D存在bR，f(x)为偶函数解析：选D注意到b0时，f(x)x2是偶函数类题通法全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真考点二含有

6、一个量词的命题的否定典例已知命题p：任意x1，x2R，f(x2)f(x1)·(x2x1)0，则綈p是()A存在x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0B任意x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0C存在x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)<0D任意x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)<0解析全称命题的否定为存在性命题，即若p为“任意xM，q(x)”，则綈p为“存在xM，綈q(x)”，故选C.答案C类题通法全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称

7、量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可针对训练写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数值，方程x2mx10必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p：存在xN，x22x10.解：(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2mx10没有实数根因为该方程的判别式m24>0恒成立，故綈p为假命题(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等显然綈p为假命题(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直显然綈p为假命题(4)綈p：任意xN，x22x1>0.显然当x1时，x22x1>0不成立，故綈p是假命题考点三含有逻辑联结词的命

8、题典例(1)(2013·安阳一模)已知命题p：存在xR，使sin x；命题q：任意xR，都有x2x1>0.给出下列结论：命题“p且q”是真命题；命题“p且綈q”是假命题；命题“綈p或q”是真命题；命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是()ABC D(2)(2014·济宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是()A(12，44，)B12，44，)C(，12)(4,4)D12，)解析(1)因为对任意实数x，|sin x|1，而sin x>1，所以p

9、为假；因为x2x10的判别式<0，所以q为真因而正确(2)命题p等价于a2160，即a4或a4；命题q等价于3，即a12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假若p真q假，则a<12；若p假q真，则4<a<4.故a的取值范围是(，12)(4,4)答案(1)B(2)C保持本例(2)条件不变，若p且q为真，则a的取值范围为_.解析：p且q为真，p和q均为真a的取值范围为12，44，)答案：12，44，)类题通法1判断“p且q”、“p或q”、“綈p”形式命题真假的步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)依据必会3个方法中的第一个方法判断“p且q”、“p或

10、q”、“綈p”命题的真假2根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围针对训练1(2014·西安八校联考)对于下述两个命题，p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形则命题“p或q”、“p且q”、“綈p”中真命题的个数为()A0 B1C2 D3解析：选B容易判断p、q均为假命题所以“p或q”为假命题，“p且q”为假命题，“綈p”为真命题，故真命题的个数为1.2(2014·江西盟校联考)已知命题p：

11、“任意x0,1，aex”，命题q：“存在xR，x24xa0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()A(4，) B1,4Ce,4 D(，1解析：选C“p且q”是真命题，则p与q都是真命题p真则任意x0,1，aex，需ae；q真则x24xa0有解，需164a0，所以a4.p且q为真，则ea4.课堂练通考点1(2014·成都质检)命题“任意xR，都有ln(x21)>0”的否定为()A任意xR，都有ln(x21)0B存在xR，使得ln(x21)>0C任意xR，都有ln(x21)<0D存在xR，使得ln(x21)0解析：选D任意的否定是存在，大于的否定是小于等于

12、2有下列四个命题，其中真命题是()A任意nR，n2nB存在nR，任意mR，m·nmC任意nR，存在mR，m2<nD任意nR，n2<n解析：选B对于选项A，令n即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n1加以验证，均不正确，故选B.3(2014·日照调研)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选C若命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，若命题“p且q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件4(2013·湖北高考

13、改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A(綈p)或(綈q) Bp或(綈q)C(綈p)且(綈q) Dp或q解析：选A由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p)或(綈q)5已知p：235，q：5<4，则下列判断正确的是()A“p或q”为真，p为假 B“p且q”为假，q为真C“p且q”为假，p为假 D“p且綈q”为真，“p或q”为真解析：选Dp为真，綈p为假又q为假，綈q为真，

14、“p且綈q”为真，“p或q”为真6(2013·湖南六校联考)已知命题p：存在x(，0)，2x<3x，命题q：任意x(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()Ap且q Bp或(綈q)C(綈p)且q Dp且(綈q)解析：选C由指数函数的图像与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图像与性质可知，命题q是真命题，则命题“p且q”为假命题，命题“p或(綈q)”为假命题，命题“(綈p)且q”为真命题，命题“p且(綈q)”为假命题课下提升考能第组：全员必做题1将a2b22ab(ab)2改写成全称命题是()A存在a，bR，a2b22ab(ab)2B存在a<0，b>

15、;0，a2b22ab(ab)2C任意a>0，b>0，a2b22ab(ab)2D任意a，bR，a2b22ab(ab)2解析：选D全称命题含有量词“任意”，故排除A、B，又等式a2b22ab(ab)2对于全体实数都成立，故选D.2(2013·湖北八校联考)已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为()A所有的指数函数都不是单调函数B所有的单调函数都不是指数函数C存在一个指数函数，它不是单调函数D存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数3如果命题“p且q”是假命题，“綈q”也是假命题，则()A命题

16、“綈p或q”是假命题 B命题“p或q”是假命题C命题“綈p且q”是真命题 D命题“p且綈q”是真命题解析：选C由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p且q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题所以命题“綈p或q”是真命题，A错；命题“p或q”是真命题，B错；命题“p且綈q”是假命题，D错；命题“綈p且q”是真命题，故选C.4(2014·湖北八校联考)已知命题p：m，n为直线，为平面，若mn，n，则m；命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是()Ap或q B綈p或qC綈p且q Dp且q解析：选B命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n

17、为直线，为平面，若mn，n，则m也为假命题，因此只有綈p或q为真命题5(2014·深圳调研)下列命题为真命题的是()A若p或q为真命题，则p且q为真命题B“x5”是“x24x50”的充分不必要条件C命题“若x<1，则x22x3>0”的否命题为“若x<1，则x22x30”D已知命题p：存在xR，使得x2x1<0，则綈p：任意xR，使得x2x1>0解析：选B对于A，“p真q假”时p或q为真命题，但p且q为假命题，故A错；对于C，否命题应为“若x1，则x22x30”，故C错；对于D，綈p应为“任意xR，使得x2x10”，故D错6(2013·东北四市调

18、研)已知命题p1：存在xR，使得x2x1<0成立；p2：对任意x1,2，x210.以下命题为真命题的是()A(綈p1)且(綈p2) Bp1或(綈p2)C(綈p1)且p2 Dp1且p2解析：选C方程x2x10的判别式1243<0，x2x1<0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x210，得x1或x1.对任意x1,2，x210，故命题p2为真命题，綈p2为假命题綈p1为真命题，p2为真命题，(綈p1)且p2为真命题，选C.7下列命题中是真命题的为()A命题“若x23x20，则x1”的否命题是“若x23x20，则x1”B命题p：存在xR，sin x>1，则綈p：任意x

19、R，sin x1C若p且q为假命题，则p，q均为假命题D“2k(kZ)”是“函数ysin(2x)为偶函数”的充要条件解析：选B对于A，命题“若x23x20，则x1”的否命题是“若x23x20，则x1”，A错误；由全称命题的否定是特称命题知，B正确；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q为假命题，故C错误；函数ysin(2x)为偶函数的充要条件为k(kZ)，故D错误8已知命题p：“任意x1,2都有x2a”命题q：“存在xR，使得x22ax2a0成立”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A(，2 B(2,1)C(，21 D1，)解析：选C若p是真命题，即a(x2)min，x

20、1,2，所以a1；若q是真命题，即x22ax2a0有解，则4a24(2a)0，即a1或a2.命题“p且q”是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a2或a1.9已知命题p：“任意xN，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“_”；q的真假为_(填“真”或“假”)解析：q：存在xN，x，当x1时，x成立，故q为真答案：存在xN，x真10若命题“任意xR，ax2ax20”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，不等式显然成立；当a0时，由题意知得8a<0.综上，8a0.答案：8,011已知命题p：存在aR，曲线x21为双曲线；命题q：x27x12<0的解集是x|3<x<4给出下列结论：命题“p且q”是真命题；命题“p且綈q”是假命题；命题“綈p或q”是真命题；命题“綈p或綈q”是假命题其中正确的序号是_解析：因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p且q”是真命题，命题“p且綈q”是假命题，命题“綈p或q”是真命题，命题“綈p或綈q”是假命题答案：12下列结论：若命题p：存在xR，tan x2；命题q：任意xR，