6第6章离散时间模型

1、第六章 离散时间和连续时间模型的仿真§ 1 状态变量6.1.1 状态变量的基本概念1）状态变量集计算机仿真中必须搞清楚实体相互关系的规则。计算机记录描述 变量的过去值，根据相互关系规则，可计算描述变量的未来值。状态变量集是所有描述变量的一个子集， 只要知道这些变量的现 在值和输入变量值，就可计算模型的所有描述变量未来值。2）模型完全描述完全描述模型：假设模型具有描述变量%,%,Pn,如果在任一时间t,变量巴的 值为yi ,变量力的值为V2,，若实体的相互关系规则对任一未来时 间t '（大于t ）确定了值y1,y2,，yn的唯一集，那么该模型是完全 描述的。模型完全描述的充要条

2、件：如果各描述变量的各个值只在任一时间 t唯一确定所有这些变量 在任一未来时间t'的值，就说描述变量集的某个子集是状态变量集。如果模型是完全描述的， %,%,%或它的真子集便是状态变量 集。模型是完全描述的充要条件 是该模型的描述变量中存在状态变量集 例：二辆汽车面对而驶，Vi、V26.1.2 状态变量的仿真性质1） 程序预置假设程序给出计算t '时的y1,y2,，yn的任务。则仅需预置 （也即是初始化）那些与状态变量有关的存储单元。2）重复操作假设给定t时的yi,y2,，yn值之后，因为丢失了第一次仿真操作的记录，要重复计算t '时的y1,y2,，yn值，只要与状 态

3、变量有关的单元，预置yi,y2,，yn的相同值，则在不同计算 机和不同时间作两次操作，结果仍然相同。3）程序中断和重新起动设计算t'时的y1,y2,，yn值之后，安排中断程序。在 某时间之后可以重新起动。4）程序恢复假设计算机在执行程序时发生事故，修复正常时，重新预 置肯定将最终产生相同结果，但比从中断点重新起动要花费 更多的时间。4）离散时间仿真的定义对于时间ti, 作,给出ti的状态值y1ym,由程序根据分量 相互关系能计算ti+1的唯一描述值y；+ym1,也就是对于任何时间对 偶（ti, ti+1）均成立，称集 ti, t2为计算时刻，若时间是步长 h的逐次倍数ti+1- ti=

4、h,整个仿真称离散时间仿真。又假设分量相互关 系规则不依赖于时间，仅仅与状态值y-ym有关，模型就称时不变模型。§ 6.2 散时间模型仿真6.2.1 时不变离散时间模型的仿真过程1)仿真过程给定t时的状态值ym,求t1的描述变量值的问题。设t=tM和 t1=tM+N,计算时刻集tM, tM+1,一&在t和t1之间，仿真过程： 步1预置状态变量%的值分别为Vl, V2,ym步2预置时标为tM步3根据相互关系规则和状态变量现值，产生状态变量的新内容，并使其它剩余描述变量产生新的内容步4 t=t+h ,推进时标步5 t±tm+Nh,停止计算；否则，返回步 32)仿真基本特

5、性(1)计算模型描述值的采样时刻，由t, t+h,序列组成(2)迭代次数(t1-t)/h, h越小，迭代次数越少(3)步3体现模型的相互关系规则，是关键6.2.2离散时间模型的形式规范1.范式F面讨论离散时间仿真步3假设共n个变量，其中 m个为状态变量，并假设无输入变量它的输入：状态值 输出：描述值可假设有一映射f1111、f(yi,y2, ,ym) -(y1, , ym,ym 1, yn)把f分成二个部分1 1 、(y1,ym) =(y1, TrJ, (y1,ym),(y: ,ymO =(y: ,ymn, ,y：)即y1,ym> y y11,",ym1 zy11, "

6、;,yn1若人不依赖y1,ym,则、(u,ym) =(4,ym)My：，ymj =(y：y1)f(y1, ,ym) =、(y1, ym)映射6称为状态转移函数一它取一列时间ti的模型状态变量值,并产生一列时间ti+1的模型状态变量值。上面的简式称范式。2 .离散时间系统的组成和形式化描述状态、输出、转移函数假设DES.var是描述变量集，state.var和output.var分别为状态变量和输出变量集，state.var的范围集.用RANGRE.3表示，这样状态集可用下式笛卡尔积表示STATES=(y；, ,y；, )y； RANGE. ； state.var= RANGE1 RANG E2

7、= Mtavt 田 ANGE同样，可用集合论来描述输出集 OUTPUTS对于时不变和离散时间步长为h的离散时间仿真模型，就可给出 它的形式描述：与 : STATES STATES 和九：STATES OUTPUTSS(STATEw STATES MSTATE OUTPUTS若STATE是ti时亥ij的模型状态变量，g(STATE)贝U ti+h时亥ij状态， “STATE)则是ti的输出。上述四元组<STATES, OUTPUTS, 6h, »是离散时间系统规范 例：线性同余发生器的离散时间系统规范M=<Q, Y, 5, K>,Q 为状态集0, m, Y 是输出集0

8、, 16是转移函数，a： Qt Q, qw Q, 6(q)等于aq+c关于m的模，儿是 输出函数，k： Q t Y, £(q尸q/m6.2.3 离散时间模型的结构与行为假设仿真时间区间为t, t',把它称为观察区间，计算时刻序列为 tlM,tlM+Nh,设序列qM,，qM+N,分别为计算日寸刻tlM,tlM+Nh的状 态，同样输出变量序列MQm),，九9m+n)把这二个序列分别称为状态 轨迹和输出轨迹。1)行为系统的行为包括模型的状态行为和模型的轨迹行为状态行为是所有状态轨迹的集输出行为是所有输出轨迹的集tMqMMqM)tMi+hqM+1MqM+!)-9tM+NhqM+NMq

9、 m+n )2）结构状态转移函数：qM i =.il i=1, ,N6.2.4 非自治离散时间模型DES var = INPUT var non.INPUT.varSTATE var non.INPUT.varOUTPVT.var non.INPUT.var非自治时不变离散时间系统规范可用如下五元组形式表示，< INPUTS , STATES, OUTPUTS , 8 h,入其中 INPUTS , STATES, OUTPUTS 分别是 INPUT.VARIABLES , STATE.VARIABLES 和 OUTPUT.VARIABLES 的范围集叉积的子 集；8 h为状态转移函数Sh

10、: STATES 黑 INPUTS STATES而入是输出函数入：STATES x INPUTS OUTPUTS具有输入变量系统的行为- 4 '状态行为：它是输入-状态轨迹 模型的行为I输入输出行为：它是输入-输出轨迹§6.3连续时间模型仿真6.3.1 微分方程系统规范特点：微分方程系统不能直接规定下次状态，而是根据所提供 的状态变化信息来计算下次状态值。微分方程系统的规范的五元组形式表示：< INPUTS, STATES, OUTPUTS, f,入,，其中 INPUTS, STATES, OUTPUTS 分别是 INPUT - VARIABLES , STATE -

11、VARIABLES 和 OUTPUT - VARIABLES 的范围集叉积的子集；f为导数函数f: STATES m INPUTS STATES而入是输出函数入：STATES x INPUTS OUTPUTS导数函数f是状态变量和输入变量的函数，可用下式表示dqt) = f(q(t), x(t), q(0) =qdt上式说明它们的解依赖于给定的初始值 (q(0) = q ),并在每个时刻必 须满足微分方程。微分方程系统的关键是导数函数。设模型有输入变量序列 Xi,X2,Xm和输出变量序列丫1,丫2,Yn,导数函数可用以下一阶微分方 程组表示dY1 = fi(Y,Y2.,Yn, Xi,X2.,X

12、m)dtdYn = fn(Y,Y2.,Yn, Xi,X2.,Xm)dt可以把每个微分函数分解为积分器和用来计算积分器输入的函数，把积分器的输出变量来构成模型的状态变量(详见下一节)。积分器是构成微分方程说明系统的基本环节，它可表示为Y=INTGRL(IY, YRT),它建立起它的输入YRT和输出Y (用简化符号)所假定的值之间的关系dY=YRT(t) dt6.3.2积分法欧拉法的基本概念是dYdt=lhmY(t h) -Y(t)h= X(t)对于足够小的h,有Y(t h) =Y(t) h，X(t)设定较小的步长h,对于给定运行长度，则会要求有较长的计算时间。但是，从计算精度的角度来说，h越小计

13、算精度越高。积分法思想：积分法利用输出和导数的估计过去值和(或)未来值来致力于更好地估计现在值。对于积分器 Y=INTGRL (IY; X),计算时间ti 的Y值的依据可能包括计算Y和X在先前计算时刻 忆力“，和(或) 后来时刻t小ti七,的各个值。输出Y和导数X的各个值是相互依存的， 即积分器本身只产生 Y对X的依赖关系，而通过其它函数，可形成积分器输出反馈，这使X对Y产生依赖关系。误差传播(1)每步计算近似值，因为即使X和Y在是正确的，由于在连续区间（t, t+h） X和Y的值是变化，程序不能在这区间使用这些在时间t的值，来正确地计算Y在时间（t + h）的值。（2）系统传播前误差的影响而

14、积累起来，Y有误差，Y与X是依存关系，导致X误差，再导致Y误差。因果法：仅使用Y和X在前计算时刻ti-i,ti-2,，的值和时间ti的X值，去 计算ti的Y值，叫做因果法。因果法的阶数：若Yi的f （Xi-d,，Xi； Yi-d,，Yi-i）表明f是自变 量的线性组合，它的阶数为do例：亚当斯法Yt+h = Yt+h （3Xt-Xt-h）为二阶因果法对于d阶因果法，仿真时应保存d个模型导数和状态（积分器的 输入及输出）变量的过去值。因果积分法对应的状态转移函数可用以下语句表示Y=INT? METHOD （P1Y, P2Y,，PdY, P1X,，PdX, X）其相关的状态变量、状态转移过程和输出

15、序列可见表6.1。表6.1因果积分法状态变量时间ti-1的值若X的值（时间ti的 导数）是X,各状态变量 在时间ti的值Y （输出）在 时间ti-1的值P1YyiAf (Xi-1,.,XieX,yi,.,yi“)yP2Yycy.PdYyuyi二）P1XxXP2XXi立Xi.PdXXi上Xi _(d 1)非因果法：非因果法是不但考虑导数和输出的过去值，而且使用 Y和X在 时间ti+1, ti+2,，的估计值。两次试探性估计现在值：（1）计算未来值的初始“预算”阶级（2）计算最终值时的“校正”阶级Y =g（Xiq'，Xi，X,X4,1,Y，YX,Y41YHe）（xi_d,yi_d）,&qu

16、ot;t ,（xi_1,yi_1）是已计算过的过去值对偶 区,防）,，（Xi+e,M+e）是预算现在和未来值，Yi是Y在ti的最终估计 值。简单的预算一校正法如下：Y =YtqhXt 上h -Y =Yt”（Xt - Xt_h）2非因果积分法的实现可描述如下：利用因果法f函数，计算e+1 个时刻ti,k,.,k积分器的导数和输出对偶，并把获得的对偶 （X、KX二丁厂（X：Y存储起来；然后，把函数g应用于这些值 和d个过去值（X一,Y）,（X-书,Yy由），（XY_1）,求得输出变量 Y 在时间ti的最终估计值Y。§ 6.4 散时间和连续时间仿真模型的描述6.4.1 污染模型POL(t+

17、h尸POL(t)+POLG(t)-POLA(t)hPOLG(t)=P*POLCMPOLCM(t尸POLCMT(CIR(t)CIR(t)= CI-(t)P(t)POLA(t)=POL(t) POLR(t)POLA(t)=POLRT(POL(t)_ 二一一CI(t)、一 _IPol(t+h) = Pol(t) + |P(t)MPOLCMT (t) -POL(t)MPOLRT(POL(t)h :< P(t) J-对于状态变量POLci、POL(pol,ci, p)=pol p POLCMT (-) - pol POLRT(pol)hP1 .瞬时函数：根据时间t的各输入值确定模型在时间t的输出值

18、的函数。2 .记忆或非瞬时函数：用微分方程说明，它可用连续时间和离散时间来进行仿真。1 .已标识了瞬时函数及记忆函数的模型网络描述， 每个模型网络 图可容易地转换成某些仿真语言的语句。2 .由模型网络描述，也可容易地明确状态转移函数和输出函数， 离散时间模型的仿真就可按其仿真过程进行。3 .仿真过程中，按某个固定顺序搜索状态变量，用有关的局部转 移函数计算每个状态变量来获得下次状态值。由于某些瞬时函 数可能会直接影响两个以上的转移函数或输出函数，会不可避 免地出现不止一次地计算这个瞬时函数。如果能找出各个瞬时 函数的计算次序，就可以这一问题。为此，给出一种非常类似 于仿真语言的模型描述语言，它

19、可描述编排模型描述语句的过 程。6.4.2模型描述语言模型描述语言是一种类似仿真语言的用来描述编排模型描述语句的过程。模型描述语言中的三种语句：1)瞬时函数Y1, 丫2, , Ym = Instant. Func (Xi,X2, Xn)在t时刻，能给定变量Xi,，Xn的值，输出Y在时刻t的值直 接可由上式获得。2)输入时间函数Xi, X2, . , Xm = Time. Func它是用来产生模型的输入轨迹，同瞬时函数不同，它仅与时间t有关例 Xi, X2=sin, cosXi, X2 的轨迹为(sin(t), cos(t)3)记忆函数Yi, Y2, , Ym = Mem. Func (Qi,

20、Q2, . , Qn； Xi, . , Xp)它具有状态变量Qi, . , Qn,其初值必须设定，本质上它包括输入 轨迹、状态转移函数和输出函数三个部分。对于记忆函数，用离散时间和连续时间仿真，其处理方式不同，它们分别可用一个延迟元件和积分器来描述记忆函数的两种基本环节：对于微分方程描述的系统，记忆函数的基本环节是 积分器。积 分器可用语句Y=INTGRL (IY,YRT)来表示，它的输出Y是输入YRT 加上初始状态IY的时间积分。它是构成微分方程描述的系统的基 本环节。可把积分器转化成离散时间仿真形式，但其对应的转移 函数只可能是近似的。对于离散时间模型，记忆函数的基本环节是迟延元件。迟延元

21、件可用语句Y = DELAY (IY,YP)来表示。对于离散时间的一个DELAY(迟延)，其输出轨迹Y ( )比输入轨迹YP( ) 滞后一步，它的初始值由IY给定。DELAY语句能够描述每一种 离散时间模型。模型描述语句与模型网络图存在一一对应关系，可从模型描述语句直接推导出模型网络图。例如，描述语句U =PROD (Yi,Y2),表示瞬时函数PROD有两条Yi和Y2输入线和一条U输出线；描述语句 Y1=DELAY (IY1,Y1P),说明Y1也是DELAY函数的输出线；这样，两个DELAY方框的输出作为 PROD的输入。从上面的例子，发现描述序列中语句的语序与描述无关，也就是从语句序列Si,

22、S2,，Sn的任何排列中均可得到相同的网络。考虑以下模型描述：描述1Y2=DELAY (IY2,Y2P)U =PROD (Y1, Y2)Y1P=SUM (X1, U)Y2P=SUM (X2, U)X1, X2=SIN, COSY1=DELAY (IY1,Y1P)图6.5模型描述语句对应的网络图6.4.3模型描述语句序列分析在描述序列中，语句的语序同描述无关，一个描述序列的任何排列均可得到相同的网络。但在模型仿真中，语句被翻译计算机的指令 时，则必须正确次序执行这些动作。描述语句序列必须经过分析后，才能确定它是否有效及正确执行 次序。1 .无效语句的检查检查是否有任一变量在两个不同语句的左边出现

23、， 若存在则是无 效语句2 .无记忆和输入时间函数时的函数循环问题判别(1)领先关系对于 Yi, 丫2,，.，Ym = Instant. Func (Xi,X2厂 Xn)若U是Xi中的一个变量，V是Yj中的一个变量，则U领先于V 若U领先V,在计算t时刻的V值之前，必须要知道时间t的U值 (2)领先关系的闭包传递若有一变量序列 Wo, Wn, Wo = U, Wn = V,各个Wi领先Wi+1,则U领先*V ,U领先*V表示在网络图中存在一个沿箭头从U到V的路径例：V = Prod (Yi, 丫2)Y尸Sum (Xi, V)Y2=Sum (X2,V)结论:有存在V领先*V,模型描述语句构成循环

24、，存在无效描述3 .变量的次序排列1)变量的级别(a)若对某个变量V,变量U领先于V,且无变量 W,它使W领 先U,那么变量U的级别Lev (U) =0(b)任一(其他)变量的级别是网络中从级别为0的变量到该变量最长路径的距离。若U领先*V ,级别Lev (U) =0, n为最大数，U领先Wi领先W2 Wn-i 领先 V,级别 Lev (V) =n举例2)语句的级别(函数的级别)对于语句 S Yi,，Ym = Instant.func (Xi, X2,，Xn)语句G的级别是Xj的最大级别，即级别(§)=max级别(Xj), j=1, n 求Prod和Sum的级别。根据这些排序层次，就

25、可自动构造层次关系清楚的模型网络图。在构造模型网络图时，把相同排序层次的所有变量和语句置在一条线 上。对于例6.7的模型描述语句：LEVU=PROD (Y1, Y2)=max LEV (Y1), LEV (Y2)=0LEV Y1P=SUM (Xi, U) = LEV (U) =1LEV Y2P=SUM (X2, U) = LEV (U) =i排序层次对于瞬时函数，排列次序按它的级别排列S1, S2,，Sn,级表6.2变量和语句的排序层次变量或语句语句变量代号PRODSUM(i)SUM(2)XiX2YiY2UYiPY2P排序层次0110000i22别(SA级别(Si+i)。一般来说，时间函数语句

26、排在最前，记忆型函数 则排列最后。最终序列形式为:TIME - FUNOT排序层次为0、> INSTANT - FUNCT排序层次为M-MEM - FUNCT其中M是语句的排序层次的最大值。Xi, X2=Sin, CosU = Prod (Yi, Y2)YiP = Sum (Xi, U)Y2P= Sum (X2, U)Yi = Delay (IYi, YiP)Y2=Delay (IY2, Y2P),6.4.4 记忆函数仿真1、离散时间模型当模型描述仅包含DELAY 记忆函数语句时，可选择DELAY 的输出变量来构造模型的状态变量。因而每个Y=DELAY (IY, X)语句可解释如下：在预

27、置阶段，设置 Y等于IY；在状态转移阶段，设 置 Y 在时间ti+h 的值为X 在时间ti 的值。对于例6.6，其模型描述语句对应的仿真的基本过程为：1) 预 置时标 T 为要求的初始时间t；2) 置Y1 为 IYl 、 Y2 为 IY2;3) 置X1 ， X2 为 SIN(T) ,COS(T);4) 置 U 为 PROD(Y1,Y2) ；5) 置 Y1P 为 SUM( X1,U) 、 Y2P 为 SUM( X2,U) ；6) 置 Y1 为 Y1P、 Y2 为 Y2P；7) 推 进仿真时标，置T 为 T+h；8) 若 T 小于终止时间，转向3) ；9) 停 机。常态形序列，则可以每个延迟元件为