2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练47椭圆——直线与椭圆的综合问题含解析

1、c45,23=31x-y+5=0,弦的中点坐标是 M4,1）,则椭圆课下层级训练（四十七）直线与椭圆的综合问题A 级基础强化训练1.已知Fi（1,0）,F2（1,0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于 A,B两点，且|AE|=3,则 C 的方程为(Ax22,A.y+y=122_xyCZ+3=122rxyD-3+4=1【答案】C设椭圆C的方程为22，+b2=1（ab0）,则 c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于 A,B两点，且|AB=3,所以一=b2=a2c2,a2所以a2=4,b2=a2c2=41=3,椭圆的方程为+=1.43222.（2019山东枣庄检测）过椭

2、圆x+y=154的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，则4OAB勺面积为（）_5B35C-41022e,2+3=1，.【答案】B由题意知椭圆的右焦点F的坐标为（1,0），则直线AB的方程为 y=2x2.联立54解y=2x2,544-1得父点坐标为（0,2）,3,3,不妨设 A 点的纵坐标 yA=2,B 点的纵坐标 yB=-,/.SOAAIOF-IyA的离心率是（）5D-T代入 k=1,4.已知椭圆设直线与椭圆交点为A（xbb21M-4,1),解得 7=4，e=E的左、右焦点分别为FI,y1）,”,y2）,分别代入椭圆方程，由点差法可知b2yM=一a2kxM,E,过

3、F1且斜率为 2 的直线交椭圆E于P,Q两点，若PFF2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()C.|P4tan/PFE=2,.DCl=2,又|PF|+|PR|=2a,|PF|1PF|=|PF|=.根据勾股定理得工2+2=(2c)2,所以离心率3=-=七-.3333a35.(2019山东济宁模拟)已知椭圆C、+*=1(ab0)及点B(0,a),过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点 AF为椭圆的右焦点，则/ABF=()A.60B.90C.120D.150y=kx+a,【答案】B由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y=kx+a(k0),与椭圆方程联立，x2y2消02+b2=1去y整理得(b2+a2

4、k2)x2+2ka3x+a4-a2b2=0,由 A=(2ka3)24(b2+a2k2)(a4a2b2)=0,2一c.c一a得 k=a，从而 y=p+a 交 x 轴于点 A(-,0),又F(c,0),易知BABF=0,故/ABF=90.22，一xy6.已知椭圆C：入+/=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN勺 94中点在C上，则|AN+|BN|=.【答案】12设MN皮椭圆于点P,连接FIP和ER其中FI、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN+|BN=2|FIP|+2|F2P=2X2a=4a=12.7 .P为椭圆 x+y=1 上的任意一点，AB为

5、圆 C:(x-1)2+y2=1 的任一条直径，则鬲-PB的取值范围是98D.【答案】A由题意可知，/FiPF2是直角，且2-CA=|PC|23-I,显然|PjCac,a+c=2,4，所以 PvPB=|PC|2-13,15.皿x2y28.椭圆 r：孑+3=1（2130）的左，右焦点分别为Fi,F2,焦距为 2c.若直线 y=、/3（x+c）与椭圆 r 的一个交点M满足/MFF2=2/MFFi,则该椭圆的离心率等于.【答案3-1直线 y=y3（x+c）过点 Fi（-c,0）,且倾斜角为 60,22.椭圆C的方程为卜%1所以/MFF2=60,从而/MFR=30,所以MF，MF.在 RtMFE中，|M

6、F|=c,|MF|=x3c,所以该椭圆的离心率22（2019山东济南模拟）已知椭圆C：%立=1（2此0）的离心率为求椭圆C的方程;22x-1,22由84消去y得，3x+4m奸2m-8=0,y=x+m=968m20,2 后 m：2V3.丁点Mx0,y0)在圆x2+y2=1 上,2m2m2.,353+3=1，T-x2210.如图，已知椭圆万+y2=1 的左焦点为F,O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G求点G横坐标的取值范围.（2）设点AB的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2），线段AB的中点为Mx。，y0）,考,其中左焦点为F（-2,0

7、）.9.(2) 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值.【答案】解（1）由题意，得c=2,a2=b2+c2,a=22,b=2.A,2【答案】解设直线AB的方程为y=k(x+1)(kw0),代入 5+y3=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k22=0.因为直线AB过椭圆的左焦点F,所以方程有两个不等实根，记A(X1,y。，口地，y?),AB中点Nx,y),则，X0=2(x+X2)=2k2+1，y0=k(X。 +1)=2k2+1，1所以AB的垂直平分线NG勺方程为y-y0=-(X-X0).k32所求椭圆方程为X6+4=1.(2)由题得

8、直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+1,y=kx+1,贝U由x2y2得(1+4k2)x2+8kx12=0,且0.一十一=1164设A(X1,yO,RX2,yz),则由若寿=2MB得X1=-2X2,2k2令y=0,得XG=X0+ky0=2k2k2Z727+7-272k+12k+1k22k2+1=2+4k2+2，一，,1,一，一，1因为 kw0,所以一 2XGb0),因为。=2 小.e=a=,所以a=4,b=2,一 4+2m=0,所以一 4+2mp0,所以 mp2.1+2kp,8k又x1+x2=；7J-2)1+4k12x1x2.2)1+4k8k所以x2=EF-2x2三1+4k所以直线l的方程

9、为y=-1yx+1.2212.(2019山东东营月考)已知椭圆+着=1(2*0)过点(0,1),离心率e(1)求椭圆的方程;(2)已知点Rm,0),过点(1,0)作斜率为k(kw0)直线 l,与椭圆交于MN两点，若x轴平分/MPN求m的值.【答案】解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，过点(0,1),离心率e=乎，所以b=1,c=2a2所以由a2=b2+c2,得a2=2,所以椭圆C的标准方程是(2)因为过椭圆的右焦点F作斜率为k直线I,所以直线l的方程是y=k(x-1).y=kx1联立方程组x222+y=1消去 V，得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,显然A0,设点Mx1,y。，N(x1

10、,y1),所以4k2x1+x22,*仅2=1+2k2k2-21+2k2因为x轴平分/MPN所以/MPR/NPO所以kM叶kNP=0,所以y1y2加，=0，所以y4x2m+y2(x1nj=0,所以k(x11)(x2m+k(x21)(x1-n)=0,所以2kx1x2-(k+km)(x+x2)+2kmp0,所以2k2-24k22-172(1172+2m0所以x2y2113. (2019山东德州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆了+合 1(220)的离心率为过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为 0 时，AB=4.12.12+1kICD=43+k212k2+112k2+1

11、84k2+1248所以1AB+1CD=3+4/+3k2+4=3+4k23k2+4=Y，解得k=1,所以直线AB的方程为 x-y1=0 或 x+y1=0.14. (2019 湖北荆州模拟)已知椭圆C：当+当=1(ab0)的离心率为；，且椭圆C过点 1,3,直线lab22过椭圆C的右焦点F且与椭圆C交于MN两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点 R4,0),求证：若圆Q：x2+y2=r2(r0)与直线PMf切，则圆Q与直线PN也相切.(1)求椭圆的方程;4_48(2)若|AB+|CD=,求直线AB的方程.【答案】解(1)由题意知 e=c=2a=4.又a2=b2+c2,解得 a=2,a2b=、

12、/3,所以椭圆方程为 t+t=1.43(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB+|CD=7,不满足条件.当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线AB的方程为y=k(x1),A(xi,yi),B(x2,y2),1则直线CD勺万程为y=m*1).将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,.2.2皿 8k4k12贝UXI+x2=3+4k2,XI-x2=3+4k2，所以|AB=k2+1|XIX2|k2+1-XI+x2212k2+14XIX223+4k同理,12k2+13k2+4【答案】(1)解设椭圆C

13、的焦距为 2c(c0),依题意22故椭圆C的标准方程为2=1.(2)证明当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,MN两点关于x轴对称，点P(4,0)在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PMW直线PN的距离相等，故若圆Q：x2+y2=r2(r0)与直线PMt目切，则也会与直线PN相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1),M1,y1),N(x2,丫4,y=kx-1,由x2y2得(3+4k2)x28k2x+4k212=0,+=14 十 31kXI1kX21kPM+kPN=-+-XI4X24k2XIX25X1+X2+8XI4X24一228k2440kk3+4k23+4k2+8=OXI4X24所以，/MP今/NPO于是点O到直线PM与直线白距离PN相等，故若圆Q：x2+y2=r2(r0)与直线PMt目切，则也会与直线PN相切；综上所述，若圆Q：x2+y2=r2(r0)与直