04第四节定积分的换元法积分法和分部积分法

1、第四节定积分的换元积分法和分部积分法b从上节微积分学的基本公式知道，求定积分f f(x)dx的问题可以转化为求被积函数af(x)在区间a,b上的增量问题.从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积 分时仍适用，本节将具体讨论之，请读者注意其与不定积分的差异.分布图示定积分的换元积分法例1例5定积分的分部积分法例9例13 内容小结 习题5-4 例2例3例6例7例4例8例10例11例12例14例15例16课堂练习讲解注意：一、定积分换元积分法定理1设函数f(x)在闭区间a,b上连续，函数x=(t)满足条件：(1)甲(ot)=a,邛(P) =b,且 a M邛(t) Mb ;(2)甲在o(,P

2、(或P,。)上具有连续导数，则有bf(x)dx= f ：(t) ：(t)dt .(4.1)a：公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似.但是，在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：(1)用x=<P(t)把变量x换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限，且上限对应于上限，下限对应于下限；(2)求出f 5(t)*(t)的一个原函数 6(t)后,不必象计算不定积分那样再把6(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入 (t)然后相减就行了 .二、定积分的分部积分法bb bfudv =uva - fvdu 或aabb buv

3、dx =uva - vu dx .aa例题选讲：定积分换元积分法例1 ( E01)求定积分JI2 cos xsin xdx解令 t =cosx,则 dt =_sinxdx, x = = t =0, x =0 = t =1, 2:二 5o 51 5 t62 cos xsin xdx =_ t dt = t dt1o6注：本例中，如果不明显写出新变量 t,则定积分的上、下限就不要变，重新计算如下JTJT655, 万 5.,、 cos x2 cos xsin xdx =一12 cos xd (cos x)=例2 ( E02)求定积分0 . a2 -x2dx (a 0).解令 x =asint,则 d

4、x =acostdt,a2= a.1sin2t = a | cost | = a cost,由换元积分公式得 Ja2 - x2 dx冗= a2.。2 cos2tdt21 cos2t2- dta=2 (1 cos2t)dtt -sinJ 224注：在第一节的课堂练习中，我们曾利用定积分的几何意义解本题并得到相同的结果例3求定积分飞in3 x-sin5 xdx.解：.sin3x -sin5x =|cosx|(sin x)二 sin3x 二 sin5xdx0 =| cosx| (sin x)2dxoJi= 2 cosx(sin x)2dx !：.cosx(sin x)2 dx o二3=2 (sin

5、x)2d sin x33T-r(sin x)225. 2 2dsin x =一 (sin x)25兀2 21 .、-(sin x)5oJI例4 ( E03)求定积分2x 1dx.t2 -1斛令 t =j2x +1,则 x =-, dx =tdt,当 x = 0 时,t =1,当 x =4时,t =3,从而4x20 . 2x 1t2 13t 1 2dx 二一2tdt1 t1 3 2=-(t2 3)dt2 -143 八xx dx =2 4例7计算21 2x xcosx11 -x2dx.解原式=12x2一2x41 . 1 -x2dx 1 xc0sx dx1. 1 -x2偶函数奇函数1 二401.1

6、-x21dx =40x (1 - -1 - x )1 - (1 -x2)dx1=4 0(1 -.1 - x2)dx=4-401为二4 -二.1 1 3t 3t2 3)=1胫+9)_0+3兀多12人3 J I3为3例5(E04)当f(x)在t a上连续，则aa(1)当 f(x)为偶函数，有 L f (x)dx =2、f (x)dx;a(2)当f(x)为奇函数，有f f(x)dx=0. .aa0a证f(x)dx = C f (x)dx + f (x)dx,在上式右端第一项中令x = t,则_a-_a000aa上 f (x)dx = 一 f (t)dt = 0 f ( -t)dt = °

7、f (-x)dx,a0aa(1)当 f (x)为偶函数，即 f (x) = f (x),f(x)dx = f f (x)dx + f (x)dx =2 j f (x)dx;- _a- _a0- 0a0a(2)当 f (x)为奇函数，即 f (-x) =-f (x), j f(x)dx = ( f (x)dx + f f(x)dx=0. - _a- _a- 01 2例 6 (E05)计算te积分 J(| x |+sinx)x dx .解因为积分区间对称于原点，且|x|x2为偶函数，sinx，x2为奇函数，所以2121(|x| sin x)x2dx =| x | x2dx =21.。单位圆的面积例

8、8若f (x)在0, 1上连续，证明二/2二/2(1) 0 f(sinx)dx= ° f (cos x) dx;xsinx(2) f xf (sin x)dx = j f (sin x)dx,由止匕计算 f 2dx.02 00 1 . cos x证(1) 设 x = t n dx = -dt, x = 0 = t = , x = 3 t = 0,222二o一02 fnx)dx =一露 sin - -t dtj:=2 f (cost)dt = 2 f (cosx)dx;(2) 设 x=nt= dx=-dt,x=0 = t=n,x=n = t=0,0! xf (sin x)dx -(二-

9、t)fsin(二-t)dt ="二-t) f (sin t)dt,JI-二 f (sin t) dt - tfJI(sint)dt - "： f (sin x)dx - xf (sin x)dx,°xf(sinx)dx = 0 f (sinx)dx.二 xsin x21 1 cos-dx x二 sinx3 1 cos2 x X 一 一 2 012- d(cosx)1 cos x=-hrctan(cosx) 0 =2 Tl3例9(E06)求定积分j ln xdx.3ln xdx =xln x|i33- xd (ln x) =(3ln3 -0) -1 x3dx=3ln

10、3-.1dx=3ln 3 -x|3 =3ln3 -(3-1) =3ln 3 -2.1例10(E07)求定积分f xe，x.111-xd(e 二)- -(xe - |o 一 e *dx ooi=-(eJ -0)oed(-x) =-(eJ e, |0)-11-1-e(e -1) =1 -2e .定积分的分部积分法1/2例11 (E08)计算定积分farcsin xdx.-0dx令 u =arcsin x, dv =dx,贝U du = J v = x, 1-x2，112arcsinxdx =xarcsinx211112162 0 ,1.x22d(1 -x )1211 -x22ji12xdx1 co

11、s2x-/4例12计算定积分广-0解 1 cos2x =2cos2x,04 1xdxcos2x立 “4 xdx22cos xd(tan x) =-xtanx22044 tan xdxIn secx 0二 In 2sin xdx二/2例13求f-0解由分部积分公式得ji2 x2 sin xdx =ji 222,、x d ( - cosx) =x ( -cosx)ji2 cos xd( x2)二2 2 xcosxdx0再用一次分部积分公式得nxcosxdx = 2xd(sinx),0jiji22= xsinx： - 2sinxdx= 10 o22 ncosx = 102从而 2 x2sin xdx

12、 =2 2 xcosxdx -1-2.1例14 (E09)计算定积分e-2x-1dx.-1/2解令 t =j2x1，则 tdt =dx,当 x =时,t =0；当 x=1 时,t =1;21-;1,于是有e* dx = te dt1/20再使用分部积分法，令u =t, dv=etdt,则du =dt, v = -e,1，-1上J . J上 12从而te*dt =te" +e"dt =一一 一(e") =1.0u 0e 0 e/2 例15 (E10)导出In=£ sinnxdx(n为非负整数)的递推公式ji解易见 i0 =2dx=-, I102兀=f2 sin xdx =1,当 n 22 时 - 0I n = 2sin nxdx = _ 2sinn，xd cosx = Lsinn,xcosx F (n -1) 2 sinnxcos2xdx二(n -1) 2 sinn 2x(1 -sin2x)dx =(n -1) 2 sinnxdx -(n -1) 2sinnxdx-ooo=(n _1) I n _2 -(n 1) I n从而得到递推公式In =上！1n2反复用此公式直到下标为2m -12m 35n =2m2m2m2m -262m -22m 12m 12 22,3n =2m 1其中m为自然数.H31注：根据例8的结果，有j2sinn