圆内接四边形面积最大值的探究

1、圆内接四边形面积最大值的探究数学解题教学中，特殊法是常用的一种思想方法 .比如，“问道于零”可以解决实数的很 多是非判断题，特值法是解决代数式问题常用的方法，在解决图形问题时常常脱口而出 “中点法”一一倍长中线，遇见中点找中点，中点相连中位线教材编写的体例也是遵循这一原 则，比如四边形一平行四边形一特殊平行四边形.从平时的教学来看，绝大部分学生已经把这当作研究和解决问题的“常规思维”，中考复习教学时，笔者总是要求自己和学生在此基础上再经历一个由特殊到一般的过程，感觉对问题的分析更深入，方法的衍生更具有生长的空间，收获很大.本文介绍一类圆内接四边形面积最大值的探究过程，希望得到同行的批评 指正.

2、一、问题呈现,求圆内接四边形 ABCD面积的最大值如图 1,在。中，r 1,AB BC 1解析如图2,连结AC ,由条件易得要使四边形 ABCD的面积最大，只需 与圆的交点.图23ABC 120 , AC V3-USABC .4ADC的面积最大，即点 D是弦AC的中垂线此时，D,O,B三点共线，四边形 ABCD面积的最大值为 J3.反思 本题的关键是发现对角线 AC为定值，再将四边形面积的最大值问题转化为圆上 的点到直线距离的最大值问题 .但AB BC 1这个条件太强，于是笔者从边长和角度两方 面对条件进行弱化，并由此得到了两个与圆内接四边形面积最大值有关的结论二、条件变式变式1如图3, O。

3、是四边形ABCD的外接圆，半径为r ,且AB a,BC b,求 四边形ABCD面积的最大值.解析 如图4,连结AC ,因为弦AB和BC已知，则AB , BC , AB BC也随之确 定，所以弦AC是定值.那么，解题思路与原题相同，当点 D是AC中垂线与圆的交点， 即DA DC时，四边形ABCD的面积最大0：C那么，如何计算此时的最大面积呢思路1先分别求出 ACD和 ABC的面积再相加.但a,b如果不是特殊值，D和B就不是特殊角，那么 AC的计算过程会特别复杂，所以不适用.思路2根据前面的分析，当四边形 ABCD面积最大时，有 DA DC ,即BD平分ABC .常规的辅助线是作旋转.如图5,连结

4、DB ,将 DAB绕点D逆时针旋转，使得 DA与DC重合，与 DBC拼接成等腰三角形DBB',且BB' a b.此时四边形的最大面积等于 DBB'的面积，但同样因为a,b的非特殊性，使得DBB'不是特殊角，从而导致面11积求解困难，所以此方法也不适用思路3在同圆或等圆中,除了等弧所对的弦相等外，平行弦所夹的弧相等，则所夹的弦也相等.于是笔者再次尝试.如图6,连结OAOB,OC,OD ,将 OAB与 OAD绕点。旋转“交换”位置，得到四边形BCEF （如图 7 , OAB 对应 OEF , OAD 对应 OBF ）.因为BF ADDC EC ,所以四边形 BCEF

5、是等腰梯形，且它的面积与四边形ABCD的面积相等.如图8,再过点。作EF, BC的垂线，垂足分别为点 P,Q .又因为EF AB a,BC b,所以OP j2 1a2 , OQ32 ：b2 ,由梯形面积公式，可得Sg边形 BCEF （Sg边形 ABCD ）max121221 2/ b）（J 4a r 4b）如果把问题中“邻边已知”改为“对边已知”，情况又会怎么样呢？变式2如图9,。是四边形 ABCD的外接圆，半径为r ,且AD a,BC b,求四边形ABCD面积的最大值.解析从条件来看， AD与BC是对边，也就不存在“弦 AC是定值”这样的结论.难道圆内接四边形面积最大值的公式仅PM于“有一组

6、邻边已知”的条件？上述“通过旋转改变四边形边与边的相邻关系，但不改变四边形面积”的思路为本题做了铺垫图9图10如图10,同样连结OA,OB,OC,OD ,将 OAB与 OAD绕点O旋转“交换”位置, 得到四边形 BCEF （如图7 , OAB对应 OEF , OAD对应 OBF ）.图11BF AD a,BC b,问题转化为变式1,解法同上，可得（S四边形 ABCD ）max2（a评注 在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性， 通过旋转巧妙地改变了四边形边与边的相邻关系.一方面，“邻边”向“对边”转化有效地解决了面积最大值的求解问 题；另一方面，“对边”向“邻边”转化，完善了圆内接四边

7、形面积最大值与边有关的结论由变式1和变式2,可得结论：b)(J2 4 a2 卜 M 则边所对的圆心角、圆周角、弧的度数也是定值；那反过来， 弧的度数，也可转化为上述变式中边已知的情况，结论依然命题1若。是四边形 ABCD的外接圆且半径为 r ,已知四边形任意两边的长为 a,b, 则四边形ABCD面积的最大值为1(S四边形 ABCD Lax 2(a结论再反思 边是定值， 如果给定的是圆心角、圆周角、 成立.在圆内接四边形中，一组邻边已知，则这组边所对的一个四边形内角是定值；反过来,已知一个四边形的内角，但无法确定四边形的任何一边.于是，笔者尝试从角度入手，进一步弱化边的条件，来增加四边形顶点中动

8、点的个数.请见以下变式.变式3如图12, O。是四边形 ABCD的外接圆，半径为r ,且AB BCm2 ,求 四边形ABCD面积的最大值.D1 上 口- -图12图13解析如图13,连结AC ,由ABBCm2 ,可得AC 2 ,则弦AC是定值.在四边形ABCD中，不妨假设A,C是定点，则B,D是动点.分别过点B,D作AC的垂线，垂足是点 Q,P ,S3边形 ABCDAC«DP BQ).再连结BD ,因为斜大于直，DP BQ BD2r.所以，当四边形 ABCD面积最大时，BD过圆心。且垂直于AC，即BD是AC的中垂线（如图14）.连结OA,OC ,因为AC 2 ,则ADC AOB可得A

9、C 2rsin ，所以（S四边形ABCD）max(2rsin2r 2r2 sin根据前面的探究经验，可继续研究把“相邻弧的度数和”改为“相对弧的度数和”的情况.请见以下变式.D图15图14变式4如图15,。是四边形ABCD的外接圆，半径为r ,且AD BCm2 ,求 四边形ABCD面积的最大值.解析 连结OA,OB,OC,OD ,将 OAB与 OAD绕点。旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 , OAB对应 OEF , OAD对应 OBF ).因为BF AD ,E0C图16则 BF BCm2图17,故问题转化为了变式3.同理，可得（Sfe边形 BCEF ） max2r2sin进一步发

10、现，当四边形BCEF面积最大时， EB是FC的中垂线，即 BF BC ,EF EC .如果将旋转后的图形还原，就有AD BF BC,ABEF EC DC ,此时四边形ABCD是矩形（如图17）.通法归类在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性,通过旋转巧妙地改变了圆周上弧与弧的相邻关系，从而将“对弧”的条件向“邻弧”的条件转化,并由此得出圆内接四边形面积最大值与角度有关的结论。命题2 O。的半径为r ,它的内接四边形 ABCD将其分成4段弧，只知其中两段弧的度数和为2 ,则四边形ABCD面积的最大值为（S四边形 abcd ） max2r sin .结论再反思 首先，相邻弧的度数和已知，则

11、这组弧所对的一个四边形内角也是定值那反过来，如果只给定圆内接四边形一个内角或一组对角的度数,也可以转化为上述变式中只知其中两段弧的度数和的情况，解法相同在这里，笔者特别提醒读者仔细体会结论2中的“只知”二字.它强调只知弧的度数和,但其中每段弧的度数是未知的， 这样才能保证四个顶点中有两个动点 .结论1中已知两条边,则这两边各自所对的弧度数以及弧的度数和都是确定的,但四个顶点中只有一个动点.因此,在运用相关结论时，先要明确条件所涉及的动点情况三、结论应用例1如图18所示，。是四边形ABCD的外接圆，半径为1. AC与BD交于点E,且 AEB 60 ,求四边形ABCD面积的最大值.解析 AEB D

12、BC图18ACB 60 ,则CD ABm120 ,符合结论2的条件，代如公式，可得(Sg边形 ABCD ) max2r2sin2|l2|sin60,3.例3如图19,。是四边形ABCD的外接圆接圆，半径为 J5. AC BD ,垂足为E , OH BC ,且OH 1 ,求四边形 ABCD面积的最大值.解析 如图20,连结BO并延长交。O于点F ,连结FD,FC .BF是直径， BDF BCF 90 . AC BD ,DF /AC ,且 AD FC 。又 OH BC ,由垂径定理，得 H是BC的中点,AD FC 2OH 2 .在Rt BOH中,由勾股定理，可得 BH 2,BC 2BH4. AD 2,BC4,符合结论1的条件，代人，得(S四边形ABCD ) max12(