2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(新课标卷I)解析版

1、绝 密 启 封 并 使 用 完 毕 前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型 A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：

2、先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.(1)设集合 A=x|x2 4x+3<0 , B=x|2x3A0,则 aAb = 3333(A)(-3,-3)(B)(-3,2) (C) (1,3) (D)堂)【答案】D 考点：集合运算(2)设(1书)*=1+丫1,其中x, y是实数，则x + yi =(A) 1 (B) 22 (C)方(D) 2【答案】B

3、【解析】试题分析：因为(1 十i)x=1+yi,所以 x+xi=1 + yi,所以x=1,y =x =1，故|x+yi |=|1 + i |=先故选 B.考点：复数运算(3)已知等差数列an前9项的和为27,引=8,则4。二(A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，!9a1 +36d -27，所以 a1 = -1,d =1,a100 = a1 +99d = -1 +99 = 98,a19d =8故选C.考点：等差数列及其运算(4)某公司的班车在7:30, 8:00, 8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时

4、刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A) (B) (C) (D)【答案】B考点：几何概型(5)已知方程-二1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A) ( -1,3) (B) ( - 1,) (C) (0,3) (D) (0,)【解析】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以m2+n + 3m2 n =4 ,解得：m2 = 1,因为方程 上一上=1表示双曲线，所以0+n>0解得!n>",所以n的取值范1 n 3-n3-n 0n ： 3围是(-1,3),故选A.考点：双曲线的性质(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂

5、直的 半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是(A) 17 兀(B) 18 兀(C) 20兀(D) 28兀【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是，个球，设球的半径为RUv=Z：4nR32,88 33解得R =2 ,所以它的表面积是-x4n x22+-xn x22 =17n 故选A.84考点：三视图及球的表面积与体积(7)函数y=2x2-e|x1在-2,2的图像大致为考点：函数图像与性质(8)若2冲>10<c<1,贝 U(AO ac <bc (B) abc <bac(Q alogbc cblogac ( D) log a c < logb c【答案

6、】C【解析1iiii试题分析：用特殊值法，令= = 3, 5 = 2,仁/得妥,2,选项A错误，3工21>2区中，选项H错误,考点：指数函数<21og32,选项 C正确,>logjy n 选项 D错误，散选 c.£ £ 公与对数函数的性质(9)执行右面的程序框图，如果输入的x=0, y = 1, n=1,则输出x, y的值满足(AO y =2x (B) y =3x(Q y =4x ( D) y =5x【答案】C【解析】试题分析：当x = 0,y =1,n=1时，x=0+上y =1父1 = 1,不满足222x2 +y2 >36 ； x2+y2236;输

7、出x = 1,y=6,则输出的x, y的值满足y = 4x ,故选C.2 -1 1n=2,x = 0 += ,丫 = 2父1=2 不满足2222x +y 2 36；n = 3,x=1十=3,丫 = 2父3=6 满足 222考点：程序框图与算法案例(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已 知|AB=40, |DE|=2善,则C的焦点到准线的距离为(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D)8【答案】B【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为 y2=2px,圆的半径为r, AB,DE交x轴于C,F点，则AC =2衣，即A点纵坐标为2量，则A点横坐标为即OC，由

8、勾股定理知 PPDF2+OF2 =DO2 =r2AC2+OC2 = AO2 = r2,即(的2+(与=(2拘2+(巴)2 ,解得 p = 4,2p ,即C的焦点到准线的距离为4,故选B.考点：抛物线的性质(11)平面"过正方体ABCDABGD的顶点A, “平面CBD, al平面ABCg al平面ABBAi=n,则或n所成角的正弦值为(A)-(B) 4 (C)半(D) 1 2233【答案】A【解析】试题分析：如图J设平面c骂 n平面四CD =用1,平面CHQ n平面 加月M = / ,因为S "平面CBD f所以浏#删小“松，则浏声所成的角等于冽：汨所成的角一过马作。声&qu

9、ot;用c,交血的延长线于点苴连接CE,则B为"一连接40 ,过R1作坊可月 4田，交AA.的延长线于点,用,则用耳为球一连接 肛 贝I力口才匕工瓦月“4力，则加：力所成的角如为4人屈0所成的瓯.为60%故叫并所成角的正弦值为坐， 金选A-考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角(12)已知函数f (x) =sin®x+*)(8>0,中| E),x = -工为f(x)的零点，x =为丫="乂)图像244的对称轴，且 他)在()单调，则6的最大值为 18 36(A) 11 (B) 9 (C) 7 (D) 5【答案】B考点：三角函数的性质第II

10、卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.(13)设向量 a=(m11) , b=(1,2),且 | a+b| 2=| a| 2+| b|2,则 m=.【答案】-2【解析】试题分析：由| a+b |2冒a |2+| b |2 ,得2，% 所以mMl + lM2 = 0,解得m=-2.考点：向量的数量积及坐标运算(14) (2x+4)5的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)【答案】10【解析】_ _ 5 r试题分析：(2x十向5的展开式的通项为C5(2x)5(4

11、)r=25c5x,(r=0, 1, 2,，5),令5=3得r=4,所以x3的系数是2c4=10.2考点：二项式定理(15)设等比数列 出满足a+a3=10, a2+a4=5,则aa鬃a的最大值为.【答案】64【解析】试题分析：设等比数列4的公比为式灯工与，由r得4，解得，1 .所以出 +出=5 飞 仪 1 +炉>=5<1 = -*/心冬二町才+*虫7=8"(9T=2/5 ,于是当内=3或葡=4时，010r q取得最大值 £26=64考点：等比数列 及其应用(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1k

12、g,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在 不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品 A产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么由题意得 l5x+0.5y, 150, x +0.3y, 90,约束条件5x+3y, 600, 目 标函数z = 2100x+900y . x- 0,y 0. 3x + y? 300, 10x+3y, 900,约束条件等价于15x+3y,

13、 600,x- 0, y- 0.作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示 .将z =2100x+900y变形，得y =-7x+z，作直线：y = -7x并平移，当直线y=-'x+-z-390033900经过点M时，z取得最大值.解方程组10x+3y=900得m的坐标为(60,100). 5x 3y =600所以当 x=60, y =100 时，zmax =2100 M60 +900100 = 216000 .故生产产品A产品B的利润之和的最大值为216000元.考点：线性规划的应用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)A

14、BC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, C,已知 2cosc(acosB+b cosA) = c.(I )求 C；(II )若c="ABC的面积为封3 ,求4ABC的周长.2【答案】（I） c.（II）5+77【解析】试题解析：（I）由已知及正弦定理得，2cosc（sin AcosB+sinB cosA ）= sinC ,2cosCsin（A+ B）= sinC .故 2sinCcosC =sinC .可得cosC=1 ,所以C=土. 23考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式(18)(本小题满分12分)如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面 A

15、BE叨正方形，AF=2FD/AFD =90 ,且二面角D- AE E与二面角C- BE F都是60 .(I )证明：平面 ABEF平面EFDC(II )求二面角E- BC A的余弦值.【答案】(I )见解析(II2 1919试题分析：(I )证明AF_L平面EFDC ,结合AFU平面ABEF,可得平面ABEF_L平面EFDC . (II )建立空间坐标系，利用向量求解.试题解析：(I )由已知可得AF_LDF, AF_LFE,所以AF_L平面EFDC .又AFU平面ABEF,故平面ABEF_L平面EFDC .(II )过D作DG _LEF ,垂足为G ,由(I )知DG _L平面ABE F .

16、以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系G - xyz .由(I )知/DFE为二面角D-AF-E的平面角，故/DFE = 60 ,贝U DF =2, DG =3 ,可 得 A(1,4,0), B(-3,4,0E(4,0,0), D(0,0j3).考点：垂直问题的证明及空间向量的应用(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损 零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500元.现需决策在购买机器时应同 时购买几个易损零件，为此搜集并整理

17、了 100台这种机器在三年使用期内更换 的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数 发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.(I )求X的分布列；(II )若要求P(XMn)之0.5,确定n的最小值；(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n = 19与n = 20之中 选其一，应选用哪个？【答案】(I )见解析(II ) 19 (III ) n=19考点：概率与统计、随机变量的分布列(20)(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点

18、B (1,0)且与X轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E(I )证明|EA+|EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II )设点E的轨迹为曲线C,直线l交。于MN两点，过B且与l垂直的直 线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPN面积的取值范围.【答案】(I): + 匕=1 (y#0) (II ) 12,8J3)43【解析】试题分析：利用椭圆定义求方程；(II )把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。试题解析：(I)因为 |AD|=|AC|, EB/AC ,故 / EBD =/ACD =/ADC ,所以 |EBRED|,故 |EA|+|EB|=|EA|+|EDRAD|.

19、又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16 ,从而|AD|=4,所以| EA| + | EB|= 4.由题设得A(1,0), B(1,0) , |AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： 22x- + y-=1 (y/0).43考点：圆锥曲线综合问题(21)(本小题满分12分)已知函数有两个零点.(I )求a的取值范围；(II )设X1, X2是的两个零点，证明：+X2<2.【答案】(I) (0,) (II )见解析【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定(主要要根据导函数零点来分类)；(II)借组(I)的结论来证明，由单调性可知X1十X2<2等价于f(X1)Af(

20、2-X2),即f (2 -X2) <0 .设 g(x) = re" -(x -2)ex,则 g '(x) = (x -1)(e2 -ex).则当 x>1 时，g '(x) <0 ,而 g(1) = 0,故当 x>1 时，g(x)<0.从而 gd) = f (2-X2)<0 ,故 Xi+x2<2.试题解析：(I ) f'(x)=(x-1)eX+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)设a=0,则f=(x-2)ex, f(x)只有一个零点.（ii ）设2 0 ,则当 xw （3,1）时，f'（x）0；当 X

21、EQ 为 时，f'（x）0 .所以 f（x）在（3,1）单调递减，在（1,依）单调递增.又 f(1) = e, f(2)=a,取 b 满足 b<0 且 b<lna ,贝(J2一 a _223_f (b) >-(b-2) +a(b-1) =a(b -b) >0 ,故f（x）存在两个零点.（iii设。0,由广（力二口得工=1或工=加121）.若白之一9,则如:ML故当工eQ心）时，/W0,因此00在。,十期单调递增,又当工*1时 /«0,所以/（工）不存在两个零点.若白一£,则加（一31,故当工£（1加一之3时，当工1-如立*0）时，.

22、因此/W在QlnQ即）单调递减,在位（-24）,+与单调递增.又当X M1时，/（力 0,所以7X0不存在 两个零点.综上，口的取值范围为（国+*）.（n）不妨设三M无，由（I ）知FE（ro=l1为七（L+30）, 2巧七（TO），/（工）在（trD单调递减,所以,玉十92等价于/（/）/（2为）,即（2修）0.由于/W）=+&吗1,而巧）=（巧一2） +柔看-1=。，所以2-巧”一一句-每-2罐.设式W =延片（x-2M）则区'（力=（#IX。' /） .所以当工1时，£80,而第1） = 0,故当工1时，g（x）0.考点：导数及其从而氟浜） =（2再）。，故当+巧2.应用请考生在第（22）、（ 23）、（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。（22）（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，OAEM等腰三角形，/AOB120。.以。为圆心，OA为半径作圆.（I ）证明：直线AB与。相切；(II )点GD在。上，且A B, CD四点共圆，证明：AB/ CD【答案】见解析(