《二次函数》知识讲解(基础)

1、二次函数全章复习与巩固一知识讲解（基础）【学习目标】1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解【知识网络】上次前数的有五突际问题 I -|第一1。叠 #0）*了工 tw! R0）y 式工一h、*+M& 声ox2 4+ Z& H 0）一匚丞浦数的对福乐南表里林用函数观点不一元二次方程I一元二次方程与二次函数的关系 利用二次函数的图象求二元二次 方程的解15

2、实际间与二次画数刹车距高一 1%而获得最大利润i最大面积是塞不【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果y =白/+以+）也是常数，aM）,那么了叫做x的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c（a,b,c 是常数，aw0）,那么y叫做x的二次函数.这里，当 a=0时就不是二次函数了，但 b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：了二口/ ；加+犬；了二次卜一身y ；了二小1一“y+上,l J ”h其中力,卜二;y=加+必+ .（以上式子 aw。）2a 4几种特殊的二次函数的图象特征

3、如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当口 。时”。（J 轴）(0, 0)1y -k开口向上当a40时开口向卜式二口（）轴）(0,如齐二h(4,0)Fy -4(工一应+ kK = h（鼠如y w ax2+巴hx = - -: 2ai Aac-b1(2a Aa )2 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（i）口的符号决定抛物线的开口方向：当 以。时，开口向上；当以。时，开口向下；a相等，抛物线的开 口大小、形状相同.（2）平行于y轴（或重合）的直线记作X二鼠 特别地，y轴记作直线X = Q3 .抛物线 y=ax2 +bx+c（aw0）中，a, b, c 的作用：（1） Q决定开口方向及开口

4、大小，这与 了二口/中的Q完全一样.（2） 6和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y = ax2 +bx+c的对称轴是直线x = -,bb故：6二。时，对称轴为y轴；一 o（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；一 o（即也、baa异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线 了二+匕与1y轴交点的位置.当了二。时,了 二。,抛物线丁二以才？与轴有且只有一个交点（0,6）：c式,抛物线经过原点；e 0,与/轴交于正半轴；e0,与轴交于负半轴.b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 一Co.a4 .用待定系数法求二次函数的解析式：（1） 一般式：

5、症 +医+ c （aw0）.已知图象上三点或三对 工、 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：了二口I常+1 （aw0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式（可以看成了二一的图象平移后所对应的函数 .）（3） “交点式”：已知图象与 工轴的交点坐标 工、X,通常选用交点式：巾_ xj （aw0）.（由此得根与系数的关系：均+/二一白，&= ）.a a要点诠释：求抛物线y=ax2+bx+c （aw0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数了二白J+g彳（鼻H 0）,当j = 0时，

6、得到一元二次方程qJ+gx + c = 0（。H 0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.（1）当二次函数的图象与 x轴有两个交点，这时 区二旷_ 4配5 则方程有两个不相等实根；（2）当二次函数的图象与 x轴有且只有一个交点，这时 =b? _ 二0，则方程有两个相等实根;（3）当二次函数的图象与 x轴没有交点，这时R二及一4配0，则方程没有实根要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由 丛-4ac的值来确定.（i）当二次函数的图象与 x轴有两个交点，这时 A=b2 -4ac 0,则方程有两个不相等实根；（2）

7、当二次函数的图象与 x轴有且只有一个交点，这时 卜二b - Aac = 0 ,则方程有两个相等实根;（3）当二次函数的图象与 x轴没有交点，这时-4或0 ,则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义 .利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；（3）用待定系数法求出抛物线的关系式；（4）利用二次函数

8、的图象及其性质去分析问题、解决问题要点诠释：常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1,则该二次1.已知二次函数的图象经过原点及点1- - ,且图象与x轴的另一交点到原点的距离为2, 4函数的解析式为 .1 212【答案】y=_-x +-X或y=X +x.33【解析】 正确找出图象与 x轴的另一交点坐标是解题关键.由题意知另一交点为(1, 0)或(-1 , 0).因此所求抛物线的解析式有两种.设二次函数解析式为

9、y = ax2 bx c.c = 0,1 11则有 _=_a_b+c，4 42a b c =0f 1a =-30=1,一1 八斛之b = - ，或d b = 1,3c c =0. c =0c = 0,.111或 二a b c,442a - b c = 0,1 c 1c因此所求一次函数斛析式为 y = -x2 +x或y=x?+x. 33【点评此题容易出错漏解的错误.举一反三:y轴于点C.【变式】 已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧),且AB=4, 求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】二对称轴x=1,且AB=4，抛物线与x轴的交点为：A(-1

10、 , 0), B(3, 0)J-b=-2c=-3b一一 二121-b c =0, y=x2-2x-3 为所求,x=1 时 y=- 41- M(1, -4)对称轴 x=1 ,且AB=4，抛物线与x轴的交点为：A(-1 , 0), B(3, 0)b=-2c=-3-b =121 -b c =0, y=x2-2x-3 为所求,x=1 时 y=-4.M(1, -4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2 .二次函数y =ax2+bx+c的图象如图1所示，反比例函数 y = 9与正比例函数y=(b+c)x在同一 x坐标系中的大致图象可能是 ().D图2【答案】B;2b 一【斛析】 由丫=2*

11、+bx+c的图象开口向上得 a0,又一0, b 0, - y=一的图象在第一、三象限.xb+c 0的解集是x轴的交点A的坐标可知，抛物线与 x轴的另一个交点的坐标，观察图【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与象可得不等式ax2 +bx +c0的解集【答案】*3或乂0的解集就是y = ax2+bx+c函数值，y0时，x的取值范围.当 x3或xv-1时，y0,因此不等式ax2+bx+c 0的解集为x3或xv -1 .【点评】弄清ax2 + bx +c a 0与y = ax2 + bx + c的关系，利用数形结合在图象上找出不等式ax2 + bx + c 0的解集.类型四、函数与方程C已知抛物线y

12、 =1x2十x十c与x轴没有交点.2求C的取值范围；试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由.【答案与解析】1（1） .抛物线与x轴没有交点，.,/ 0,即1 -2c 2（2）二七1 ,直线y=1x+1随x的增大而增大， 22,b=1,，直线y=lx+1经过第一、二、三象限.21【点评】 抛物线y=1x2+x+c与x轴没有交点，0,可求c的取值范围. 2举一反三：【变式1】无论x为何实数，二次函数丁二酸+ c的图象永远在x轴的下方的条件是（）ABC . n0 d. aOt 旷-仇 0；abc0；8a+c0;9a+3b+cv0.其中，正确结论的个数是 ().A . 1 B . 2 C . 3

13、 D . 4第4题6.已知点（木,y1），（ X2, y2）（两点不重合）均在抛物线=x2-1上，则下列说法正确的是 （）A .若 yi = y2 ,则 x = x2 B .若 x1 = x2,贝Uyi-y2C .若 0 x1 x2,则 y1 a y2 D .若 x1 x2 0时，y随x的增大而减小，则二次函数 y = ax2-ax的图象大致是图中的 x8 .已知二次函数 y = ax2+bx+c（其中a a0, b0, c0）的对称轴为直线 x = i ,且经过点（1,0），（2,力），试比较yi和y 的大小：yi y2 （填或 ）.10 .抛物线y = -x2+bx+c的图象如图所示，则此

14、抛物线的解析式为 .211 .抛物线y=2（x-2） -6的顶点为C,已知y=-kx+3的图象经过点C,则这个一次函数图象与两坐标轴所围 成的三角形面积为 .22i2.已知一次函数y =x +2x+m的部分图象如图所示， 则关于x的一元二次方程 x+2x + m = 0的解为第10题第12题第13题22.13 .如图所小的抛物线是一次函数y=ax -3x+a 1的图象，那么a的值是.14 .烟花厂为扬州“ 4 18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞5 2行时间t(s)的关系式是h = t +20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空

15、到引爆2需要的时间为.15 .已知抛物线 y =ax2+bx+c经过点A(-1 , 4), B(5 , 4), C(3, -6),则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点 的坐标是.16 .若二次函数y = x26x+c的图象过A(-1 ,y1)、B(2 ,y2)、C(3 + J2,y3)三点，则y1、y2、y3 大小关系是.三、解答题17 .杂技团进行杂技表演， 演员从跷跷板右端 A处弹跳到人梯顶端椅子 B处，其身体运动(看成一点)的路线是抛3 9物线y = x2 +3x +1的一部分，如图所本.5(1) 求演员弹跳离地面的最大高度；(2) 已知人梯高BC= 3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点

16、A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.18.如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距 80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米.(1) 用含x的式子表示横向甬道的面积；(2) 当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3) 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用 (万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7 ,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？19.

17、为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为 5000元/个，目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙店一律按原价的80%肖售.现购买太阳能路灯 x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为 y2元.(1) 分别求出yi、y2与x之间的函数关系式；(2) 若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？20.王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思

18、，效果会更好.某一天他利用了30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间 x(单位：分钟)与学习收益量)y的关系如图1所示，用于回顾反思的 时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且 用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.图I图2(1) 求王亮解题的学习收益量 y与用于解题的时间 x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(2) 求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式； 王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大 ？( 注：学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量

19、)【答案与解析】一、选择题1 .【答案】A;【解析】y=x2向右平移1个单位后，顶点为(1,0),再向上平移2个单位后，顶点为(1,2),开口方向及大小不变，所以a=1,即y=(x1)2=2.2 .【答案】D;b2【解析】由上图可知 a 0 , c0,b0. a+b+c 0 ,2a.反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因此选D.3 .【答案】B;【解析】y =x2 2x3=(x-1)2 -4 ,把抛物线y = (x-1)2-4向左平移2个单位长度，再向上平移 3个单位长度后得抛物线 y=(x+1)21,y = x2+bx + c = (x + 1)21 = x2+

20、2x ,b =2, c=0.因此选 B.4 .【答案】D;【解析】由图象知，抛物线与x轴两交点是(-1 , 0), (2, 0),又开口方向向下，所以 a 0 ,抛物线与y轴交点纵坐标大于1.显然A、B、C不合题意，故选 D.5 .【答案】D;【解析】抛物线与 x轴交于两点，则b 0, c0,则 b 0.当 x= -2 时，y = 4a-2b+c0.b dx = =1, b =-2a ,2a4a-(-2a) x2+c0,即 8a+c0.当x= 3时，y= 9a+3b+cv 0,故4个结论都正确.6 .【答案】D;【解析】画出 y =x2 1的图象，对称轴为x = 0 ,若y1=y2 ,则x1=

21、 x2 ;若x1= x2 ,则y1= y2;若0 x1 x2,则 y2 A y1;若 x x2 0时，y随x增大而减小，所以a0,因此抛物线y = ax2ax= a(x1)x开口 x向上，且与x轴相交于(0, 0)和(1, 0).8 .【答案】C;b【解析】a 0, b0,抛物线开口向上，x =-0,因此抛物线顶点在y轴的左侧，2ac不可能在第四象限；又 c;【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出 x=-1 , x= 2时的函数值，比较其大小，易如y1A y2.210 .【答案】y = -x +2x+3;【解析】由题意和图象知抛物线与x轴两交点为(3, 0)、(-1, 0),抛物线解析式为

22、y =-(x 3)(x+1),即 y=x2+2x+3.11 .【答案】1;99 2【斛析】k =- , y= x+3,与坐标轴交点为(0,3), .一，0 22312 .【答案】*1=3或*2=-1 ;2【解析】由一次函数 y=-x +2x+m部分图象知，与x轴的一个交点为(3, 0) .代入方程得 m= 3,解方程得 Xi = 3 或 x2= -1 .13 .【答案】-1 ;【解析】因为抛物线过原点，所以 a2 1=0,即a = 1 ,又抛物线开口向下，所以a=-1 .14 .【答案】4s ；2015 析】t = - = 4(s) .52父-5 II 2；15 .【答案】(1 , -6);【

23、解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标， 但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：A、1 5B两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由 A(-1 , 4), B(5, 4)得，对称轴x=5 = 2 ,2而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3, -6),所以它关于 x = 2的对称点是(1 , -6).故抛物线上纵坐 标为-6的另一点的坐标是(1 , -6).16 .【答案】yiy3y2.一 一 -6【解析】因为抛物线的对称轴为x =3 .而A、B在对称轴左侧，且 y随x的增大而减小,2 3-1 y2,又C在对称轴右侧，且 A、B、C三点到对称轴的距离分别为2, 1, J2 ,由对称性可知：yiy3y2.三、解答题17 .【答案与解析】2小3 2c. 3r 5 219(1) y = x +3x+1=x - I +.5524-3100时，因为购买个数每增加