2018年春季学期西南大学网络教育平时作业答案0346《初等数论》

1、0346初等数论概念解释题一、解释下列概念1 .叙述整数b被整数a整除的概念。2 .叙述合数的概念，并判断21是否为合数。3 . 80530是否是5的倍数，为什么？4 .叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。5 .叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。6. 2358是否是3的倍数，为什么？二、给出不定方程ax+by = c有整数解的充要条件并加以证明。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。概念解释题答案一、解释下列概念1 .叙述整数b被整数a整除的概念。答：若存在整数q使得b=aq ,则称整数b被整数a整除。2 .叙述合数的概念，并判断21是否为合数。

2、答：一个大于1的整数，如果它的正因数除了 1和它本身外，还有其它正因数，就叫作合数。21是合数，因为除了 1和21外还有3, 7是它的正因数。3 . 80530是否是5的倍数，为什么？答：80530是5的倍数。因为一个整数能被5整除的充要条件是它的个位数为 5或0。4 .叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数。小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13 , 17。5 .叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。答：0, 1, 2,m-1称为m的最小非负完全剩余系。6 . 2358是否是3的倍数，为什么？答：2358是3的倍数。因为

3、一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数，而2+3+5+8=1818是3的倍数，所以2358是3的倍数。二、给出不定方程ax+by = c有整数解的充要条件并加以证明。解：结论：二元一次不定方程 ax + by = c有整数解的充要条件是（a,b）|c。证明如下：若ax+by=c有整数解，设为 刈，丫0,则ax0 byo = c但（a,b）|a, （a,b）|b,因而（a,b）|c,必要性得证。反之,若（a,b）|c,则c = G（a,b）, G为整数。由最大公因数的性质，存在两个整数s, t满足下列等式as bt = （a,b）于是 a（sq） +b（tG） =c1（a

4、,b） =c。令 =SG, y 0 =tG ,贝U a% +by0 =c ,故x°, y°为ax+ by = c的整数解，从而ax+ by = c有整数解。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。答：同余的一条性质：整数 a, b对模m同余的充要条件是 m | a-b,即a= b+ mt , t是整数。证明如下：设 a =mq + n , b = mq2 +2, 0 < n ,上 < m。若 a与（mod m）,则 r1=上，因止匕 a b =m（q1 q2）,即 m | a 一b。反之，若 m | a-b,则 m | m（q1 - q?） +（r1 -2）,因此

5、 m | r1 一2 ,但 卜1一J < m ,故 r =2 ,即a整（mod m）。四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。答：若a, b是两个整数，其中b>0,则存在两个整数q及r,使得a= bq + r, 0 m r ：二 b成立，而且q及r是唯一的。下面给出证明：证作整数序列，一3b, 2b, b, 0, b, 2b, 3b,则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使彳# qb <a<( q+1) b成立。令aqb = r,则r为整数，且a = qb+r,而0r<b。设q, ri是满足(2)的另两个整数，则a = bqi + ri , 0 w r1

6、< b所以bq+ri =bq+r ,于是b(q -q) = r -r1,故b|q -q| =|r -r1。由于r, r1都是小于b的正整数或零， 故卜-rj <b。如果q "q ,则b|q1 -q| b ,这是一个矛盾。因止匕q1 = q ,从而r1 = r。填空题1. 9除28的商是。2. 11除23的余数是。3. 6的正因数是。4. 4.5二。5. 8.3 +-8.3=。6. 30的最小质因数是。7. 在所有质数中，是偶数的是。8. 在所有质数中，最小的奇质数是。9. 大于4小于16的素数有10. 不定方程ax+by =c有整数解的充分必要条件是11. .模5的最小非

7、负完全剩余系是。12. .模4的绝对最小完全剩余系是。13. 5555的个位数是。14. 77的个位数是15. 316的十进位表示中的个位数字是。16. 66的个位数是。17. 710被11除的余数是。18. (1516 , 600)=。19. 6的所有正因数的和是。20. 24与60的最大公因数是。21. . 35的最小质因数是。22. . 46的个位数是。23. 8的所有正因数的和是。24. 18的标准分解式为。25. 20的欧拉函数值9(20)=。填空题答案1. 9除28的商是3。2. 11除23的余数是1。3. 6的正因数是1,2,3,6。5. 8.3 +-8.3 = -16. 30的

8、最小质因数是2。7. 在所有质数中，是偶数的是 208. 在所有质数中，最小的奇质数是3。9. 大于4小于16的素数有 人7,11,13 10. 不定方程ax + by = c有整数解的充分必要条件是(a,b)|c。11. .模5的最小非负完全剩余系是0,1,2,3,4。12. .模4的绝对最小完全剩余系是-1,0,1,2 013. 5555的个位数是5。14. 77的个位数是 3 。15. 316的十进位表示中的个位数字是1016. 66的个位数是6。17. 710被11除的余数是1。18. (1516 , 600) =4 019. 6的所有正因数的和是1220. 24与60的最大公因数是1

9、2021. . 35的最小质因数是5。22. . 46的个位数是6023. 8的所有正因数的和是15。24. 18的标准分解式为18=2父32025. 20的欧拉函数值*(20)=8。计算题1 .求45与60的最大公因数。2 .求不定方程3x- 8 y= 1的一切整数解。3 .求60与28的最大公因数。4 .解同余式3x三2 (mod 5)。5 .求不定方程7x+ 2y= 1的一切整数解。6 .解同余式3x三1 (mod 7)。7 .解同余式28x三21 (mod 35)。8 .解同余式组：x 三 1(mod3)“0x 三 2(mod 5)9 .求不定方程3x+2y=2的一切整数解。10 .解

10、同余式4x三1(mod 5) 0计算题答案1 .求45与60的最大公因数。解：因为 45 =32 父5, 60 =22 父3M5,所以45与60的最大公因数是3M5,即15。2 .求不定方程3x- 8 y= 1的一切整数解。解：因为(3,8) = 1 ,所以不定方程有整数解。显然x = 3 , y = 1是其一个特解，? = 3 + 8?所以不定方程的一切整数解为"3 ，其中t取一切整数。? = 1 + 3?3 .求60与28的最大公因数。22_解：因为60=2父3父5 , 28=2父7所有60与28的最大公因数是22 ,即44 .解同余式3x三2 (mod 5)。解：因为(3, 2

11、) =1,所以同余式有解，且有一个解。将0, 1, 2, 3, 4直接代入检查知，4满足同余式，所以同余式的解为 x三4(mod 5)5 .求不定方程7x+ 2 y= 1的一切整数解。解：因为(7,2) =1,1|1 ,所以不定方程有解。观察知其一个整数解是-I- xo -1 0 y0 - -3 x = 1 2t于是其一切整数解为i,t取一切整数。y - -3 - 7t6 .解同余式3x三1 (mod 7)。解：因为(3,7) = 1 ,所以同余式有解且有一个解由 3x- 7 y= 1'x = 5+7t、y=2+3t所以同余式的解为x三5(mod7)7 .解同余式28x三21 (mod

12、 35)。解：因为(28, 35) = 7 ,而7|21 ,所以同余式28x三21(mod 35)有解，且有7个解。同余式28x三21(mod 35)等价于4x三3(mod 5),解4x三3(mod 5)得x包(mod 5),故同余式28x21(mod 35)的7个解为x2 7, 12, 17, 22, 27, 32(mod 35)。8 .解同余式组：x 三 1(mod3)10、x 三 2(mod 5)解：由x三1(mod 3)得x =3k+1 ,将其代入x三2(mod5)得 3k 十 1 三 2(mod 5),解得 k 三2(mod5),即 k =5t+2 ,所以x =15t +7 ,所以解

13、为x三7(mod15)。9 .求不定方程3x+2 y=2的一切整数解。解：因为(3,2) = 1 ,所以不定方程有整数解。显然x =0, y =1是其一个特解，一 、一 ?= 2? 一， 一 所以不定方程的一切整数解为，其中t取一切整数。? = 1- 3?10 .解同余式4x三1(mod 5) 0解：因为(4,5) = 1 ,所以同余式有解，且只有1个解。将0,1,2,3,4 代入检查知4满足4父4三1(mod5),所以同余式的解为x三4(mod 5)。证明题1 .设m, n为整数，证明m + n, m-n与mn中一定有一个是3的倍数。2 .设 n 是整数，证明 6 | n(n + 1)(2

14、n + 1)。3 .设n是整数，证明：6|n3-n。设x, y均为整数。4 .证明：若 a 三 b(mod m),则 3a 三 3b(mod m)。5 .设x, y均为整数。证明：若5|x+9y ,则5|8x+7y。6 .证明：若k是整数，则k2-k+1是奇数。证明题答案1 .设m, n为整数，证明m + n, m-n与mn中一定有一个是3的倍数。证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；若m是3的倍数加1 , n是3的倍数加1 ,则 m-n是3的倍数；若m是3的倍数加1 , n是3的倍数加2,则m + n是3的倍数；若m是3的倍数加2, n是3的倍数加1 ,则m + n是3的倍数；若m是3

15、的倍数加2, n是3的倍数加2,则 m-n是3的倍数，结论成立。2 .设n是整数，证明6 | n(n + 1)(2 n + 1)证明：因为n(n + 1)(2 n + 1) = n(n + 1)( n- 1) + n(n + 1)( n + 2),而三个连续整数的积可被 6整除，所以 6 | n(n + 1)(2 n + 1)。3 .设n是整数，证明：61 n3 - n。证明：n3n =n(n1)(n+1)。由于n(n -1)(n+1)是3个连续整数的积，所以3|n3 -n0由于n(n-1)是2个连续整数的积，所以2|n3-n。又(2,3) = 1 ,所以 6|n3-n。4 .证明：若 a 三 b(mod m),贝U 3a 三 3b(mod m)。证明：因为3-3 = 0 ,而m|0,所以3三3(modm)。由 a 三 b(mod m