单调性和奇偶性测验(简单)

1、函数的的单调性及奇偶性单元练习一、选择题1 .若y = f(x)为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是()A. (-a,-f(a) B. (a,-f(a)C. (-a, f(a)D. (-a,-f (-a)9 / 72 .下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()C_12,A. y=x B. y=3x C. y =- y = -x +4 x3 .下列判断中正确的是(A. f(x) =(Vx)2是偶函数Bo f(x)=(j7)2是奇函数C. f(x)=x21在卜5, 3上是偶函数D。f (x) = J3 x2是偶函数4.若函数 f (x) = ax2+bx + c(a #0)是偶函数，则

2、g(x) = ax3+bx2+cx是(A.奇函数 Bo偶函数Co非奇非偶函数D。既是奇函数又是偶函数26.已知函数y = f (x)为奇函数，且当*0时£(乂)=乂 一2x+3,则当x< 0时，f (x)的解析式为()2A. f(x) - -x2x -32B. f(x) - -x2 -2x-32_2_C. f(x) =x2 -2x 3D. f(x)-x2-2x 38.下列判断正确的是()A.定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数B.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则f(x)在R上不是减函数C.定义在R上

3、的函数f(x)在区间(*,0上是减函数，在区间 (0,+b)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个9、奇函数f (x)在区间a, b上是减函数且有最小值m ,那么f (x)在-b, -a上是()A、减函数且有最大值- mB、减函数且有最小值- mC、增函数且有最大值-mD、增函数且有最小值-m10.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：若f(x)单调递增,若f(x)单调递增,若f(x)单调递减,若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则g(x)单调递减,则g(x)单调递增,则g(x)单调递减,则f(x) -g(x)单调递增;f(x) -g(x

4、)单调递增;f (x) - g (x)单调递减;f(x) -g(x)单调递减;其中正确的命题是()A.B。C。D。二、填空题13.已知函数y=f(x)是R上奇函数，且当x>0时，f(x)=1,则函数y=f(x)的表达式是一一214.函数y= x -2ax+1,右它的增区间是2,+8)，则a的取值是 A;右它在区间2, +8) 上递增，则a的取值范围是1.1. 若f(x)是定义在R上的偶函数，且当x之0时为增函数，那么使f(冗)<f(a)的实数a的取 值范围 17 .有下列下列命题：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定经过原点；定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)=0;当

5、且仅当f(x)=0 (定义域关于原点对称) 时，f (x)既是奇函数又是偶函数。其中正确的命题有220 .已知 f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(x) g(x) = x +2x + 3 ,则 f (x) + g(x)=三、解答题21 .已知f(x)是一个定义在 R上的函数，求证：(1) g(x)= f(x)+ f( x)是偶函数；(2) h(x)= f(x) f(x)是奇函数.222 .已知函数 f(x)=x -2|x|.(I)判断并证明函数的奇偶性；(n)判断函数 f(x)在(1,0)上的单调性并加以证明. .2 一23 .试判断函数f(x)=x+在*'2, +8止的单调

6、性. x24 .已知函数f(x)的定义域为(-1 , 1),且满足下列条件：(1) f(x)=- f(-x);(2) f(x)在定义域上单调递增；(3) f (1-2a)- f(1-a2)<0,求实数a的取值范围。参考答案一、选择题1. C.解析：: y = f (x)为偶函数，f (a) = f (a) ,点(-a, f (a)在函数图像上,故选Co2. A.解析：结合函数图象易知选 A3. D.解析：若函数是奇函数或偶函数，则其定义域必关于原点对称，据此选 D。24. A.解析：函数f(x)=ax +bx+c(a 00)是偶函数，则f(x)=f(x)在其te义域R上恒成立，由此可得

7、b=0,从而易知g(x)=ax3+bx2 +cx为奇函数，因为a#0,所以g(x)不可能为偶函数，故选 A。5. D.解析：因为函数f(x)是R上的增函数，且A(0, 1)、B(3,1)是其图象上的两点，所以 不等式, f (x)之1的解集为x M0,或x 2 3,从而|f(x+1)| <1的解集的补集为(一8,1U 2,+ 8),故选D。26. B.解析；因为 函数y = f(x)为奇函数，且当x A0时f(x) = x2 -2x + 3,则当x < 0时,x > 0,.,. f (-x) = (-x)2 -2 (x) +3 = x2 + 2x + 3,即一 f (x) =

8、x2 +2x +3,二 f (x) = -x2 -2x-3 ,故选 B。7. C.解析：丁 x>x2,xi+x2>0,x1A0,且 x1>x2,又; f(x)是定义在 R 上的偶函数，f (x) = f(x) = f(x)。又f(x)在(一s, 0上单调递增，f(x)在0,一)上单调递减，f(x1 ) < f (x2)f (x1) < f( x2)，故选 C。8. B.解析；定义在R上的函数f(x),当且仅当f(-x)=f(x)在R上恒成立时，才能断言 函数f(x)是R上的偶函数，故A不正确；定义在R上的函数f(x)在区间(，,0上是减函数, 在区间(0,十无)上

9、也是减函数，则f(x)在R上是减函数不正确，反例如下：f (x)-x - 1, x - 0-x 1, x 0对于函数f(x)=0,只要其定义域关于原点对称，它就既是奇函数又是偶函数，故既是奇函数又是偶函数的函数不是有且只有一个，而是有无数个，故D不正确。对于选项 B,可用反证法证明其正确性。故选 Bo9. C.解析：奇函数在对称区间上的单调性相同，故选 Co10. C.解析：注意到：两个单调性相同的和函数的单调性不变，f(x)与-f(x)的单调性相反。故选Co选做题11. D.解析：因为定义在 R上的函数y=f(x)满足f(x+1)= f(x)，所以f(x+2) =-f (x+1) = f (

10、x)。又因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，所以a = f (3) = f(-3) = f (-3+2) = f(1),b= f (2) = f (2 +J2), c= f (2)= f (0) 而函数f(x)在1,0上单调递增，设a,b,c的大小关系是c>b>a,故选D。12. C.解析：采用特殊值法。根据题意，可设f (x) = x,g(x)= x，又设a = 2,b=1,易验证与成立，故选 C 二、填空题1(x 0)If (x) = 0(x = 0)13. 。1 (x<0)解析：参见第6题，同时注意到函数 y=f(x)是R上奇函数，必有 f(0) = 0。14.

11、a =2;a _22斛析：函数y= x -2ax+1图象的对称轴为直线 x = a,递增区间为a,+w)。右它的增区间是2, +°°),则.a=2;若它在区间2, +8)上递增，则区间2, +8)是区间为a,+望)的子区 间，从而a的取值范围是a < 2 15. (-1,0) (1,二)解析：f(x)是奇函数，其定义域为x|x Wr 且x#0,且 f(-1)=0, f (1)= 0。又f(x)在(0, +七)上是增函数，f (x)在(,0)上也是增函数，画出其草图，易知满足 f(x)>0的x取 值范围是(1,0)U (1,2)。16. a >>或a

12、< 一>解析： f(x)是偶函数，且当x*0时为增函数，在区间(*,0)上函数为减函数，结合函数图象可知使f(n)<f(a)的实数a的取值范围是a 或a父一冗 17.、解析：偶函数的图象不一定与 y轴相交，奇函数的图象也不一定经过原点，这要看x = 0是否在函数的定义域中；易知、正确。18.x+1 :x-12219 - x x; x x20 -x2 2x -3解析：: f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x) g(x) = x2 +2x + 3,f (-x) -g(-x) =(x)2 2( x) 3, _f (x) g(x) =x2 -2x 3.f(x) g(x) -

13、 -x2 2x - 3三、解答题21 .证明：(1) g(_x) = f (-x) + f (x) = f(x) + f (-x) = g(x)，g(x)是R上的偶函数h(-x)= f (_x)f (x) - -f (x) - f (-x) - -h(x).h(x)是一R上的奇函数.22 .解析：(I )是偶函数.定义域是R, -2_2_ f(-x)=(-x) -2|-x|=x -2|x|=f(x).函数f(x)是偶函数.(n)是单调递增函数.当xw(1,0)时，f(x)=x2+2x设 一1 < X < x2 < 0 ,则 x x2 c 0 ,且 x1 + x2 A 2 ,即

14、 x1 + x2 + 2 A 0, f(xi) - f(x2) =(x2 -x2) 2(% -x2)=(x1 -x2)(x1 x2 2) : 0f(xi):二。)所以函数f (x)在(-1,0)上是单调递增函数.23、解：(1)令 x=y=0 , f (0 ) = 0 ,(2)令 x=-y,即得 f(0)= f (x)+ f ( x ),即证(3) x>0, f(x) <0,由(2)知 f(x)为奇函数，x<0,f(x)>0，从而 f(x)有最大值和最小值，f x max = f -3 = f -1 f -1 f 1 =6, f x min = f 3 )-6设函数f

15、(x)在(-8,0)U(0,+至)上是奇函数，又 f(x)在(0, +8)上是减函数，并且1f (x) <0,指出F(x)= 在(8 0)上的增减性 ？并证明.f (x)24 .解；F(x)在(-°0,0)上是增函数.证明过程如下：设 Xi < X2 M0,贝 U Xi AX2 A0,二 F(Xi) F(X2 )f(X2)-f(Xi)f(Xi) f(X2)f(Xi)f(X2)f (x)在(0,收)上是减函数，二 f (-Xi) < f (-X2) o又f(X)是奇函数,-f(Xi)<-f(X2),A f(X2)- f(Xi) <0f (x) ： 0,x

16、(0, -：),-Xi-X20,. f(Xi) =-f (-Xi) , 0, f(X2) =-f (-X2)0, f(Xi)f(X2) 0,. F(Xi)-F(X2)。F(Xi) ： F(X2)F(x)在(g,0)上是增函数25 .解：设 < 2 < Xi < X2 < + ,则有一 、一、2222f(Xi) " f(X2)- Xi-(X2一 ) =(Xi- X2 )(一- 一 )XiX2XiX2选做题26.解:= (Xi -X2) (2x2 -2Xi)=(Xi -X2)(iXi X2Xi)X2X1x2 - 2= (Xi - X2)().Xi X2T J2 <xi<x2c +30 ,xi-x2< 0 且xx2- 2 > 0 ,所以 f (x1)一 f (x2) <0 ,即 f (x)< f (X2) .所以函数y= f (X)在区间J2, +8)上单调递增.(i)函数f(x)的图像如右图所示;(2)函数f(x)的单调递增区间为-i , 0和2, 527.(i)证明：令一 Ki<X2<1,且 a= xi, b= X2f(Xi)f(-X2)-则一>0 -.Xi - X2<0, f(x)是奇函数Xi