2019安徽中考数学专题训练——圆的综合题

1、圆的综合题1.如图，在 ABC中，以BC为直径的。O交AB于点D, AE平分/ BAC交BC于点E,交CD于点F,且CE = CF.(1)求证：直线CA是。O的切线；若BD = 4DC,求DF的值.3CFA第1题图(1)证明：.CE=CF, ./ CEF=/ CFE, /AFD = / CFE, ./ CEF=/ AFD.BC是。O的直径， .DCAB,即/ADC = 90 , /DAF + /AFD = 90 . AE 平分/ BAC,./ DAF = / EAC, /EAC+ /AEC= 90 , . / ACB= 90 ,即 AC± BC, .OC是。O的半径，直线CA是。O的

2、切线；解：如解图，过点F作FGLAC于点G,1)ABGC第1题解图BC= UBD2 +CD2 =5CD , 3交AC于点E,连接AD, BD,CD.求证：AD = CD;什/_3若 AB=10, cos/ ABC =,/5求tan/ DBC的值.li/B+/BCD = 90 , /BCD+/ACD=90 ,./ACD=/ B. AE 平分/BAC, .FG = DF,4 BD = -DC,3CD 3 在 RtBCD 中，sinB=CD =-,BC 5FG3在 RtCFG 中，sinZ FCG=-FG-= sinB = -, FC5.正=史=§CF FC 5第2题图(1)证明：.AB为

3、。O直径, ./ACB= 90 .又OD/ BC, ./AEO=/ACB= 90 ,.-.ODXAC, . AD = CD;(2)解：/AB= 10,1 一 - .OA=OD = 2AB = 5, . OD/ BC,AOE=/ABC.在 RtAEO 中，OE=OA - cos/ AOE=OA - cos/ ABC= 5X3=3, /.DE = OD-OE=5-3=2.由勾股定理得，AE= 7AO2 -OE2 = 5232 = 4,在 RtAED 中，tan/ DAE= =2 = 1. 'AE 4 2又/ DBC=/ DAE,1 . tan/ DBC = .3 .如图，点A, B, C在

4、 OO上，连接PA, PB分别与。O相切于A, B两点，/ACB = 60° .(1)求/ P的度数；若。O的半径长为4 cm,求图中阴影部分的面积.第3题图解：如解图，连接OA, 0B,第3题解图PB分别与OO相切于A, B两点, ZFAO=90 , Z PBO=90° ,AOB+Z P=180° , vZ AOB=2ZACB=120° , ./P=60 ;(2)如解图，连接OP,联，PB分别与。相切于A, B两点, 1APO = -ZAPB=30 .在 RtzAPO 中，tan30° =,则AP=上。， tan 30 0; OA=4 cm,

5、 AP=43 cm.阴影部分的面积为 2X(；X 4X473- 60Xu M2) =(163-4 .如图所示，AB为。0的直径，PD切。0于点C,与BA的延长线交于点D, DE，PO交PO延长线于点E,连接PB,/ EDB=/ EPB.(1)求证：PB是。O的切线；若PB=6, DB=8,求。O的半径.(1)证明：: DEXPE,/ E=90 , / DOE+/ EDO=90 , / EDB+/ EPB, / DOE=/ POB, /EPB+/POB=90 , ./OBP=90 ,.,.OBXPB,.OB为。O的半径, .PB是。O的切线；(2)解：设。O的半径为x,则OD=8-x,由(1)得

6、/ PBD=90 , 在 RtPBD 中，PD=Jpb2 + bd2 =10,.PD 为。的切线，OCXPD, SPOD=1PDXOC=1ODXPB,即 10x=6 (8-x), 22解得x=3,.。0的半径为3.5.如图，P为。外一点，PA、PB为。的切线，A和B为切点，AC为直径，连接BC, P0.(1)求证:BC/PO;若AP=8, BC=7.2,求P0的长.第5题图(1)证明：如解图，连接AB交0P于点M,连接B0, /W第5题解图.PA, PB是。0的切线， .PA=PB, .0A=0B, .P0垂直平分AB, ./AM0 = 90 ,AC是。0的直径， ./CBA= 90 , ./

7、 CBA= /AMO, .BC/OP;解：由（1）知PO垂直平分AB, ABLOP, AM = BM,.OA=OC, .OM为 ABC的中位线, 1 .OM = 2BC=3.6 , ./PAO=/PMA=90 , /APO=/MPA,.PAOsPMA,PA PO=_POPM PAPO -3.68 '解得PO=10.6.如图，AD是。O的切线，切点为A, AB是。O的弦.过点B作BC AD,交 。于点C,连接AC,过点C作CD/AB,交AD于点D.连接AO并延长交 BC于点M,交过点C的直线于点P,且/ BCP=/ACD.(1)判断直线PC与。O的位置关系，并说明理由；(2)若 AB=9

8、, BC=6.求 PC 的长.第6题图解：(1)直线PC与。O相切，理由如下: 如解图，连接CO并延长交。O于点E,连接EB,.CE是。O的直径，. / EBC=90 , / E+Z BCO=90 ,. CD/AB, ./ACD=/BAC, . /BAC=/E, /BCP=/ACD,/ E=/BCP, /BCP+/BCO=90 ,即 / PCO=90 ,.-.ocxpc, .OC是。O的半径， .PC是。O的切线；(2) .AD是。O的切线，.,.OAXAD,. BC/AD, .AMLBC,1.BM=CM=，BC=3, AC=AB=9,2在RtAMC中，由勾股定理得AM =VaC2 -CM2

9、=6'2 ,设 OC=r,则 OM=6 .2-r,在 RtOMC 中，由勾股定理得 OM2+CM2=OC2,即(6“2-r 2+32 = r2 ,解得r=27工，即0-小，88.OM=6、2-27 . 2 _21,2vOCXPC, / MCP+/MCO=90又AMBC,/ MOC+/MCO=90./ MOC=/MCP,. / OMC=/CMP, .OMCsCMP,27. 2.OC OMPC CM解得PC:m21,28. PC的长为红7BC7.如图所示，在 ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、于点D, E,点F在AC的延长线上，且/ CBF=(1)求证：直线BF是。O的切

10、线;(2)若 AB=5, BC=2J5,求 cos/ CBF.(1)证明：如解图，连接AE,A第7题解图AB为。O的直径，./AEB=90 ,AB=AC,./ BAE=1/CAB,2/又/ CBF=1/CAB,2/./ BAE=/CBF,./EAB+/ABE=90 ,./CBF+/ABC=90 ,即/ABF=90 ,/. ABXBF,又 AB为。O的直径，直线BF为。O的切线；(2)由(1)得/BAE=/CBF, Z AEB=90 ,AF/cos/ CBF=cos/ BAE=，AB在 RtABE 中，AB=5, BE=V5 ,AE= AB2 - BE2 =2 5,cos/ CBF="

11、.58.如图，PA、PB是。O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的 延长线于点C,连接PO,交。O于点D.求证：PO平分/APC; 连接BD,若/ C = 30 ,求/ DBP的大小.第8题图证明：如解图，连接OB.第8题解图.FA、PB是。O的切线，/.OAXAP, OBXBP. .OA=OB, PO平分/ APC;(2)解：v OAXAP, OBXBP, ./CAP= /OBP= 90 , ./C=30 ,./APC=90 /C=90 -30 =60 ./PO平分/ APC, 1 , 一 1。.,.Z OPC=-ZAPC=-X60 =30 , 22' ./POB=90 /

12、OPC=90 -30 =60 ,X/OD = OB, .OBD是等边三角形，OBD = 60 , ./DBP = 90 /OBD=90 -60 =30 .9.如图，在RtzABC中，/ACB=90° ,以BC为直径的。交AB于点D, E是AC的中点，OE交CD于点F.(1)若/BCD = 36 , BC=10,求BD勺长;(2)判断直线DE与。O的位置关系，并说明理由;求证：2CE 2 = AB EF.第9题图(1)解：如解图，连接OD,B/;0Er C第9题解图./BCD=36 , ./BOD=2/BCD=2X36 =72 ,.BC 是。O 的直径，BC=10,.OB = 5,.7

13、2父父5 o 1b户=2 冗；/180解：DE是。O的切线；理由如下:.BC是。O的直径， ./ADC=180 / BDC = 90 ,又点E是线段AC中点, .DE = 2aC=EC,在ADOE与 COE中，OD =OCJOE =OE ,DE =CE/.ADOEACOE(SSS). ./ACB= 90 , ./ODE=/OCE = 90 , .OD是。O的半径，DE是。的切线；证明：由(2)知，DOEzCOE, .OE是线段CD的垂直平分线，.点F是线段CD中点，1 点E是线段AC中点，则EF = 2AD, ./BAC= /CAD, /ADC=/ACB,.ACDsMBC,则殷=股即ac2=a

14、bad, AB AC而 AC=2CE, AD = 2EF, .(2CE)2 = AB 2EF,即 4CE2 = AB 2EF, 2CE2 = AB EF.10.如图，点A, B, C, D是直径为 AB的。上的四个点，CD=BC, AC 与BD交于点E.(1)求证：dc2 = ceac；若AE=2EC,求处的值；AO在(2)的条件下，过点C作。O的切线，交AB的延长线于点H,若$ ach = 943',求 EC 的长.设 CE = xAE=2xAC = AE+CE = 3x由知，CD2 = x - 3x=3x2第10题图(1)证明：. CD = BC,.CD= BC./ BDC=/ D

15、AC,./ DCE=/ACD,第10题解图AE=2CE,.CD = V3x,.CD = BC,.BC = V3x.AB是。O的直径,./ACB=90 ,在RtAABC中，根据勾股定理得，AB= Jac2+BC2 = 243x,.CDEs/XCAD,.DC2=CE AC;CD CECA -CD解：如解图，连接OE, . oa=ob=2Ab=/3x, .OB = OC=BC, .BOC是等边三角形， .CD=BC.-.OCXBE,y 13 oerobm-2-x,ab是。O的直径， ./ADB = 90 = / OEB, .OE/AD, .oa=ob,/. AD = 2OE=/3x, AD a1 .

16、 = I 'OA 3x(3)解：由(2)知， BOC是等边三角形, ./BOC=60 ,.CH是。O的切线， ./OCH = 90 , ./CHO=30 , .OH = 2OC, .OH = OB+BH = OC+BH,.OB=BH, .OA=OB=BH, S ach = 3Sa BOC = 9V3,二 &BOC= 3#,s BOC = W3OB2 = ¥><（水x）2 = 3 小, 解得x= 2(舍去)或乂= 2,. EC的长为2.11.如图，AB是。的直径，C是圆上一点，/ BAC的平分线交。于 点D,过D作DE，AC交AC的延长线于点E.(1)求证：

17、DE是。的切线；3tan/ bad = 4,求。的半径.CA图(1)证明：如解图，连接.OA=OD,4BA G图第11题图OD,OA第11题解图19(3)如图，若F是OA的中点，FGLOA交直线DE于点G,若FG=：,./ OAD=/ ODA,若AB=10, AC = 6,求BD的长；v AD 平分 / BAC, ./ OAD=/ DAE, ./ ODA=/ DAE, .OD/AE, /ODE+/AED=180 , ./AED = 90 , ./ODE=90 ,.,.ODXDE,.OD是。O的半径，DE是。的切线；解：如解图，连接BC,交OD于点N,AB是。O的直径，. / BCA= 90 ,. OD/AE, O是AB的中点,1 .ON/AC,且 ON = gAC, ./ONB=90 ,且 ON=3, OB=5,则 BN = 4, ND = 2, .BD =、42 + 22 = 2乖;(3)解：如解图，设FG与AD交于点H,过点G作GMLHD,交HD于点M,第11题解图5根据题意，设 AB = 5x, AD = 4x,则 AF=qx,FH = AF tan/ BAD = 5x 3=袅44 16 '5AH=F=25x,cos. BAD 41652539HD = AD AH=4x苻=帮,由（1）可知，/ HDG + Z ODA=90 ,在