全国卷理科数学试题及参考答案版

1、绝 密 启 封 并 使 用 完 毕 前试题类型：新课标出2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内。2 .选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字 体工整，笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡

2、面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合 S=x|(x2)(x3)父0, T=x|x>0,则 SI T=A. 12,3】B. 21J 3, 二 C. 3, 二 D. 0, 21U3, 二【答案】D【解析】易得 s=H 2】Ub, +8), .1.sHt =(0, 2Uh + s),选 D【考点】解一元二次不等式、交集(2)若 z=1+2i ,贝U/一=zz -1【答案】C 【解析】易知z=1-2i,故zZ1=4, .L=i,选CZZ -1【考点】共辗复数、复

3、数运算 (3)已知向量BA。里，品=(由I22 12A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】A3 3_3-【解析】法一：cos. ABC二就C好小，ABC =30'法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知ZABx =60 , ZCBx =30；/ABC =30：【考点】向量夹角的坐标运算(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C , B点表示四月的平均最低气温 约为5：'C .下面叙述不正确的是20匕的月份

4、平均衽3 平均“，A.各月的平均最低气温都在0：C以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ：匕的月份有5个【答案】D八月，六月为20、左右，故最多3个【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于有七月、 【考点】统计图的识别一、一 32(5)右 tan « =-,贝U cos & +2sin 2a =A.6425B.4825C. 1D.16256425【答案】A22cos '二，4sin、icos、i 1，4tan、£【解析】cos :工，2sin2= =22 =2cos :工一sin 二 1 ta

5、n 二【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式421(6)已知 a =23, b=33, c=253 ,则A. b :二 a ：c B. a ：； b ：； c C. b ： c ：a D. c ： a ： b【答案】A42212【解析】 a =23 =43, b=33, c =253=5"故cab【考点】指数运算、募函数性质执行右面的程序框图，如果输入的a=4, b=6,那么输出的n=A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】列表如下426-2426-24646460610162001234【考点】程序框图(8)在ABC中，B =?, BC边上的高等于1BC,则

6、 43cosA =A.噜 B.噜 C.聿 D. -30【答案】C【解析】如图所示，可设A 2 59 cos A =2,2 、510二一兀nr/丽占/内三Q* 卡工©_*a b-a- - -9 = 3+*/1=打 + 1Cmt)Cbd=ad=i,贝(Jab =72, dc=2,二 ac=75,由余弦定理知,【考点】解三角形(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面 体的三视图，则该多面体的表面积为A. 18 36.5 B. 54 18,5 C. 90 D. 81【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为【考点】

7、三视图、多面体的表面积(10)在封闭的直三棱柱ABC- ABC内有一个体积为V 的球.若 AB, BQ AB=6, BC=8, AA=3,则V的最大值是A. 4 n B. 9 C. 6 n D.当23【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知,内接圆的半径为2,又AA=3<2M2,所以内接球的半径为 弓，即V的最大值为 黑4=等 232【考点】内接球半径的求法2(11)已知。为坐标原点，F是椭圆C：与十 a23 =1(a >b >0)的左焦点，A, B分别为C的左，右 b顶点.P为C上一点，且PF，

8、x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E,若直线BM®过OE的中点，则C的离心率为A. 3B. C. 2 D. 1【解析】日行 ON OB _ a 勿倚 mF 一BF -a c,【考点】椭圆的性质、相似(12)定义“规范01数列” an如下:项为0, m项为1,且对任意k<2m,数不少于1的个数，若m=4,则不同白“规范01数列”共有()MFOEA. 18 个B. 16 个C. 14 个D. 12 个【答案】C【解析】【考点】数列、树状图第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 第(22)题第(24)题为选考题，

9、考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分x -y 1 _0(13)设x, y满足约束条件x-2y <0,则2 = * + 丫的最大值为.x 2y -2 <0【答案】|【解析】三条直线的交点分别为-1), 1 -2J, (0, 1),代入目标函数可得-3, 3, 1,故最小值为-10【考点】线性规划(14)函数y =sin x-J3cosx的图像可由函数y =sinx+T3cosx的图像至少向右平移 个单 位长度得到.(n )cosx =2sin lx 3,故可前者的图像可【答案】V 3【解析】 / y =sin x - 3cosx =2sin lx - , y =s

10、in x 3 3由后者向右平移 4个单位长度得到3【考点】三角包等变换、图像平移 (15)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x )在点(1, -3)处的切线方程是【答案】2x y 1 =011【解析】法一：f'(x) =+3=1+3,二 f'(-1尸2,二 f'(1)=-2,故切线万程为 2x + y+1=0 xx.1法二：当 x>0 时，f (x)= f( - x Tn x-3 x 二 f'(x)=-3,二 f'(1 )=-2 ,故切线万程为 x【考点】奇偶性、导数、切线方程(16)已知直线l ：

11、 mx +y +3m 一掷=0与圆x2 +y2 =12交于A, B两点，过A, B分别作l的垂线与x【解析】如图所示，作AE_LBD于E,轴交于C,D两点，若|AB|=273,则|CD|=7 AB| =2疝 OA =2 石，: OF =3 ,即，直线l的倾斜角为30°【考点】直线和圆、弦长公式三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分12分)已知数列 以的前n项和S=1 +入an,其中入W0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5=H，求入.32【答案】(1) ; (2)【解析】解：(1) ;Sn =1 0., -0当 n 之2 日寸，0

12、n = Sn Sn _1 =1 +，-On 1 Z.an_1 = &0n ，-On J.即(九一12=九!，;九#0, an #0, J.九一1 00,即九01即詈=六，(n之2 ),an 11. Q是等比数列，公比q=2 ,1 T当 n=1 时，Si =1 十九& =a1,(2)若& =311 - -15=31 -132【考点】等比数列的证明、由Sn求通项、等比数列的性质（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与t的关系，请用相关系数加以说明；建立y关于t的回归

13、方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据:777Z yi =9.32 ,工 tiyi =40.17 ,£ (y -y)2 =0.55 , H =2.646.i 1i 4. i 1n1 (ti -t)(yi _y)i 1r=.”(ti -1 ) " (y i -y)回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:【答案】（1）见解析；（2）1=0.92+0.10t ,1.82亿吨【解析】（1）由题意得t =1 2 3 4 5 6 7 二47'、yiy = 1 1.33177因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y

14、与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系n'、-f)(yi -y)(2) b=H)2i W2.890.10328所以y关于t的线性回归方程为y =a+bt = 0.92+0.10t将t =9代入回归方程可得，y =1.82预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨【考点】相关性分析、线性回归 （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥 P-ABC时，PZ底面 ABCD AD/ BQ AB=AD=AC=3, PA=BC=4, M为线段AD上一点，A附2MD N为PC的中点.证明MN/平面PAB（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（1）

15、见解析；（2）挈252【解析】（1）由已知得AM =-AD =2 ,取BP的中点T ,连接AT,TN ,31由 N 为 PC 中点知 TN/BC , TN =- BC =23分又AD/BC ,故TN平行且等于AM ,四边形AMNT为平行四边形，于是 MN / /AT .因为 ATU平面PAB, MN S平面PAB ,所以 MN/平面PAB6 分（2）取BC中点E,连接AE,则易知AE_LAD,又PA_L面ABCD ,故可以A为坐标原M 0, 2, 0点，以AE为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 0 P(0, 0, 4 C(V5, 2, 0 1 N故平面PM

16、N的法向量n=（0, 2, 1）二直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 噂25【考点】线面平行证明、线面角的计算 （20）（本小题满分12分）已知抛物线C: y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1, l2分别交C于A, B两点, 交C的准线于P, Q两点.若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR/ FQ（2）若PQF勺面积是 BBF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析；（2） y2=x-1【解析】法一：1由就设 F（2，0）.设 li: y =a,l2 ： y =b ,则 ab =0 ,且a2b2111 a bA（t，a）, B（2 ,b）,P（ -2, a）,Q

17、（-, b）, R（ 一工）.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x （a+b）y+ab=0 .由于F在线段AB上，故1+ab=0.记AR的斜率为k1 , FQ的斜率为k2 ,则1, a -b a -b 1 _ -ab k1 2 - 2= bb -b = k2 .1 a a -ab a a所以AR/ FQ.5分法二：证明：连接RF, PF,由 AP=AF, BQ=BF及 AP/ BQ 得/ AFR/ BF（=90° , 丁. / PFQ=90° , R是PQ的中点, . RF=RP=RQ.PARI AFAR /PAR/ FAR /PRA：/FRA /BQ+/ BFQ=1

18、80° / QB=/PAF=2/PAR / FQB：/ PAR / PRA：/ PQF.AR/ FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0), 贝SABF =21b _a| FD| =21b -a| x1 _2 , S型QF =-2-由题设可得11b _a| x1 _1aj ,所以x1 =0(舍去)，x1 =1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时，由女人8=卜口£可得2=±(*#1).a b x -1而 a2b =y ,所以 y2 =x _i(x#i).当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2=x112分【考点】抛物线、轨迹

19、方程(21)(本小题满分12分)设函数 f (x )=acos2x+(a _1 (cosx+1 ),其中 a>0,记 f(x)的最大值为 A.(1)求 f'(x )；(2)求 A;证明：|f'(xjM2A.【答案】见解析【解析】(1) f' x - -2a sin 2x - a -1 sin x(2)当 a 之1 时,| f (x)|斗 acos2x+(a -1)(cosx+1)| <a+2(a-1) =3a-2= f (0)因止匕，A=3a2.当 0<a<1 时，将 f(x)变形为 f (x) = 2acos2x + (a -1)cos x-1

20、 .令 g(t) =2at2 +1(a-1)t -1 ,则 A 是 |g(t)| 在-1,1上的最大值,一. 1 - ag(1)=a, g(1)=3a2 ,且当t =时，g(t)取得极小值，4a/、221 - a (a _ 1) a ' 6a 1极小值为g ()= -1 = .4a 8a8a.1 - a11令1<<1,解得 a<-(舍去)，a>-.4a351 一，当 0<a«一时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(1)尸a, |g(1)|=23a, |g( 1)|<|g(1)|, 5所以 A =2-3a .11 -a当<a<

21、;1 时，由 g(-1)-g(1) = 2(1-a)>0,知 g(1)>g(1)>g(一).54a21 -a(1 -a)(1 7a)1 -a a 6a 1又| g(丁)| T gLDL1>0,所以 A=|g()|=-4a8a4a 8a2 -3a,0 :二 a <15a2 6a 1 1(，a a < 18a 53a -2,a ,1(3)由得 | f (x)田-2asin 2x-(a -1)sin x|42a + |a -1| .1当 0 <a W时，| f (x)怪 1 +a <2-4a <2(2 3a) = 2A.5,1. a 13当一&l

22、t;a <1 时，A = +之1 ,所以 | f (x)区1+a <2A .58 8a 4当 a 之1 时，| f'(x)F3a1 W6a4=2A,所以 | f'(x) |W 2A.【考点】导函数讨论单调性、不等式证明请考生在22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的 方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选彳41:几何证明选讲如图，。中AB的中点为P,弓P PC； PD分别交AB于E, F两点。(I)若/ PFB=2Z PCD 求/ PCD勺大小；(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点

23、G,证明OGL CD【答案】见解析【解析】(1)连结 PB,BC ,则 NBFD =/PBA+/BPD,/PCD =/PCB+/BCD .因为 AP = BP,所以 /PBA=/PCB,又/BPD=/BCD,所以/BFD=/PCD.又 ZPFD +/BFD =180' ,/PFB =2/PCD ,所以 3/PCD =18。"， 因此 /PCD =60 .(2)因为/PCD=/BFD ,所以/PCD +/EFD =180，由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既 在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心, 所以G在CD的垂直平分线上，因此 OG_LCD.【考点】几何证明选讲(23)(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方