2019-2020学年苏教版选修2-31.4计数应用题学案

1、1. 4计数应用题1 .了解计数应用题中的常见问题类型.2.理解排列、组合的概念及公式应用.3.掌握解决排列组合综合应用题的方法.1 .解排列组合混合应用题时，首先应区分是排列，还是组合.关键看问题是否与所选 的元素的顺序有关，若与顺序有关则为排列，否则为组合.2 .对于排列组合的综合问题，求解时要注意分类与分步两个计数原理的综合运用，且 应遵循先组合后排列，即先算组合后算排列的原则,在分类、分步时，要做到不重不漏.3 .运用排列组合的知识,结合两个基本计数原理，能够解决很多计数问题.、自我卷试.1 .判断（正确的打，错误的打“X” ）（1）6本不同的书分成3组，一组4本，其余组各1本，共有1

2、5不同的分法.（）（2）7名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有20种.（）（3）某同学有同样的画册 2本，同样的集邮册 3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每 位朋友1本，则不同的赠送方法共有20种.（）答案：（1）， （2），（3）X2 .用1,2, 3, 4,5这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 .解析：分两类，一类是末位是2时，有A2个；另一类是末位是4时，有A2个，共有2A2=24 个.答案：243 .某运动队有5对老搭档运动员，现抽派 4个运动员参加比赛，则这 4人都不是老搭 档的抽派方法

3、数为 .解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽 1人，故有C4C2c2c2c2 =80 种.答案：804 .房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯 方法种数为.解析：因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题.开1个灯有C5种方法，开2个灯有C2种方法5个灯全开有C5种方法，根据分类计数 原理，不同的开灯方法有 C5+C2+C5=31种.答案：315 探究点1排列应用题例团 用数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的四位数.（1）可组成多少个不同的四位数？（2）可组成多少个能被 3整除的四位数？（3

4、）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，则第85个数是多少？【解】（1）法一：（直接法）可组成不同的四位数A5 A5= 300（个）.法二：（间接法）可组成不同的四位数 a6-a5= 300（个）.（2）各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，符合题意的有：含0, 3,则需从1, 4和2, 5中各取1个，可组成C2c2c3A3个能被3整除的四位含0或3中的一个，均不适合题意；不含0, 3,由1, 2, 4, 5可组成A4个能被3整除的四位数.所以可组成能被3整除的四位数C2 c2 c3A3+A4= 96（个）.（3）1在千位白数有A3=60（个）；2在千位，0在百位白数有 A2=12（个）

5、；2在千位，1在百位白数有 A2=12（个）.以上的四位数共有 84个，故第85个数是2 301.不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有奇偶数关系、倍数关系、大小关系等，也有相邻问题、插空问题、与数列等知识相联系的问题等.解决这类问题的关键是弄清事件是什么、元素是什么、位置是什么、给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成 )，按事件发生的连续过程合理分步来解决，这类问题中的 隐含条件“0不能在首位”绝不能忽略.1.用数字0,1,2, 3, 4, 5组成无重复数字的四位数，其中，必含数字2和3,并且2和3不相邻的四位

6、数有多少个？解：注意到0”的特殊性，故分两类来讨论.第一类：不含 0”的符合条件的四位数，首先从 1, 4, 5这三个数字中任选两个作排列有A2种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有A3种排法，于是不含0且符合条件的四位数共有 A3A3= 36(个).第二类：含有 0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用 “间接 法”：首先从1, 4, 5这三个数字中任选一个，而后与 0, 2, 3进行全排列，这样的排列共 有A3A4个.其中，有如下三种情况不合题意，应当排除：(1)0在首位白1有 A3A 3个；(2)0在百位或十位的，但 2与3相邻的，有2A3A2个

7、；(3)0在个位白但 2与3相邻的，有 A12A2个.因此，含有0的符合条件的四位数共有a3a4(A 3A3+4a3a2)= 30(个).于是可知，符合条件的四位数共有36+30 = 66(个).探究点2 组合应用题例田 某医院从10名医疗专家中抽调 6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选 2名，有C4种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C6种选法，所以共有 C4

8、c6= 90种抽调方法.(2)法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有 C2C4种选法；选3名外科专家，共有 C4C3种选法；选4名外科专家，共有 C4 C6种选法，根据分类计数原理，共有C4 C4+ c4 c6+ c4 C2= 185 种抽调方法.法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有 C60种选法，考虑选取1名外科专家参加,有c4 c6种选法；没有外科专家参加，有C6种选法，所以共有C60-C4 C5-C6=185种抽调方法.(3) “至多2名”包括“没有” “有1名” “有2名”三种情况，分类解答.没有外科专家参加，有 C6种选法；有1名外科专家参加，有 c4

9、c5种选法；有2名外科专家参加，有 c4 c6种选法.所以共有c6 + c4c6+c4c4=115种抽调方法.(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法.(2)要正确理解题中的关键词，如“至少” “至多” “含” “不含”等的确切含义，正确分类，合理分步.(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则跟踪加维反”的策略.2.某大学要从16名大学生(其中男生10名，女生6名)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”.(1)如果小组中至少有 3名女生，那么可组成多少个不同的小

10、组?(2)如果小组中至少有 5名男生，那么可组成多少个不同的小组?(3)如果小组中至多有 3名女生，那么可组成多少个不同的小组?解：(1)至少有3名女生的不同小组数，可划分为如下四类:有3名女生的不同小组数为 C6c1o个；有4名女生的不同小组数为C6C40个；有5名女生的不同小组数为C6c1o个；有6名女生的不同小组数为C6C20个.所以至少有3名女生的不同小组数为C3C10+ c6c%+ C5c1o + c6c20= 20X252+ 15X 210+6X 120 + 45=8 955(个).(2)至少有5名男生的不同小组数，可划分为如下四类：有5名男生的不同小组数为C6C50个；有6名男生

11、的不同小组数为C6c6o个；有7名男生的不同小组数为c6c70个；有8名男生的不同小组数为c0c8o个.所以至少有5名男生的不同小组数为c3c1o+ c6c6o+ c6ci0+c6c80= 20X252+ 15X 210+6X 120 + 45=8 955(个).(3)至多有3名女生的不同小组数，可以划分为如下四类：不含女生的不同小组数为C1。个；只含1名女生的不同小组数为c6c70个；只含2名女生的不同小组数为C2C60个；只含3名女生的不同小组数为C3C50个.所以至多有 3名女生的不同小组数为C10 + C6C70+C2C60+C3C50= 45+ 6X 120 +15X 210+20X

12、 252 = 8 955(个).探究点3 排列组合综合问题例13 有5个男生和3个女生，从中选出 5人担任5门不同学科的科代表，求分别符 合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文科代表;(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.【解】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有(C3C3+C4C3)种，后排有A5种,所以共有不同选法(C5c3+ C4C1) A5= 5 400(种).(2)除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法C4A4= 840(种

13、).(3)先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法C7 c4A4=3 360(种).(4)先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有C3种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有C3种，其余3人全排列有A3种，所以共有不同选法 C3C1A3 = 360(种).方法归纳本题不仅要求选出 5个元素，还要求分配在5个空位上，因此是一道“既选又排”的排 列与组合的综合问题. 该类问题的处理方法是 “先选后排”，同时注意特殊元素优先安排的 原则.3.从1, 3, 5, 7, 9中任取3个数字，从0, 2, 4, 6,

14、8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数?解：(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有C5C2种选法.第2步，排成偶数先排末位数，有 A2种排法，再排其他四位数字，有A4种排法.所以 N=C3C4A2A4.(2)五位数中含有数字 0.第1步，选出5个数字，共有C3C4种选法.第2步，排顺序又可分为两小类：末位排0,有A1 A4种排列方法;末位不排0.这时末位数有cl种选法，而因为零不能排在首位， 所以首位有A3种排法, 其余3个数字则有A3种排法.所以 N2=c5 c4(A1 a4+a3 a3).所以符合条件的偶数个数为N= N1 + N2 = c5c4A2A4+

15、 C3c4(A 1a4+ A 3A3) = 4 560.“组I - II两个计数原理是解决计数问题的根本，在解题中要抓住“分类”还是“分步”， 合”(无序)还是“排列”(有序).本节学习过程中，注意以下原则:(1)特殊元素(或位置)优先安排；(2) “相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”；(3)混合问题，先“组”后“排”.典例 按下列要求分配 6本不同的书，各有多少种不同的分配方式?分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1本，一人得2本，一人得3本;(3)平均分成三份，每份 2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每

16、份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4本，另外两人每人得 1本；甲得1本，乙得1本，丙得4本.【解】(1)无序不均匀分组问题.先选1本，有C6种选法；再从余下的5本中选2本，有C2种选法；最后余下3本全选, 有C3种选法.故共有分配方式c6c2c3=60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式c6c2c3A3= 360(种).(3)无序均匀分组问题.先分三组，则应是 C6c4 C2种方法，但是这里出现了重复.不妨记六本书为A, B, C,D, E, F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法为(

17、AB, CD, EF)则 c6c4c2 种分法中还有(AB, EF, CD), (CD, AB, EF), (CD, EF, AB), (EF, CD, AB), (EF, AB, CD),共有A3种情况，而这A3种情况仅是AB, CD, EF的顺序不同，因此C6 C2 C2只能作为一种分法，故分配方式有A3 = 15(种).(4)有序均匀分组问题.C6C2C2在的基础上再分配给 3个人，共有分配方式 一展一 A3=C6C2C2=90(种). A 3(5)无序均匀分组问题.C6C2C1共有分配方式a = 15(种).(6)有序均匀分组问题.c6 c2 C1在(5)的基础上再分配给 3个人，共有

18、分配方式 一A2- A3= 90(种).(7)直接分配问题.甲选1本，有C6种方法；乙从余下的 5本中选1本，有C5种方法；余下4本留给丙， 有C4种方法，共有分配方式 C6 C5 C4= 30(种).均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数， 还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.当堂翰测)1 .某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选 5名选手参加比赛，种子 选手必须在内，那么不同的选法共有()A. 26 种 B. 84 种 C

19、. 35 种 D. 21 种解析：选C.从7名队员中选出3人有 *7*6*5 =35种选法.3X2X12 .用0, 1,，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A. 243B. 252C. 261D. 648解析：选B.0, 1, 2,，9共能组成9* 10* 10=900个三位数，其中无重复数字的三位数有9X9X8= 648个，所以有重复数字的三位数有900648 =252个.3 .在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）.解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分（一等奖，无奖卜（二等奖，无奖卜

20、（三等奖，无奖卜（无奖，无奖）四组，分给4人有A4种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有 C3种分法，再分给4人有C2A4种分法，所以不同获奖情况种数为 A 4+ C3A 4= 24+ 36= 60.答案：604 .从6男2女共8名学生中选出队长 1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务 队，要求服务队中至少有 1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）解析：分两步，第一步，选出 4人，由于至少1名女生，故有C4C6=55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各 1人，有A4= 12种不同的选法.根据分步计数原理知共有55X 12=660种不同的选法.答案：6

21、60A基础达标1 .有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （）A. 72 种B. 54种C. 48 种D. 8 种解析：选C.用分步计数原理：第一步：先排每对师徒有A2 A2 A2,第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A3种，由分步计数原理共有 A3（A2）3=48种.2.从0, 2, 4中取一个数字，从1, 3, 5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 （）A. 36B. 42C. 48D. 54解析：选C.若从0, 2, 4中取一个数字是 0，则0不放百位，有C2种放法，再从1,3, 5中取两个数字放在其他两位，有A3种放法，共组成 C2

22、A3= 12个三位数；若从0, 2,4中取的一个数字不是0，则有C2种取法，再从1,3, 5中取两个数字有 C2种取法，共组成C2C3A3= 36个三位数.所以所有不同的三位数有12+36=48（个）.3安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天， 并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（）A 72种B 96种C 120 种D 156 种解析： 选 B. 甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A6=120种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有

23、A3C3 = 24种，故丁至少要有两天连续安排12024=96种，故选B.4用数字0， 1， 2， 3， 4， 5， 6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）A 324个B 216个C 180 个D 384 个解析：选A.个位、十位和百位上的数字为 3个偶数的有C2A3 c4+a3c1 = 90（个）；个位、 十位和百位上的数字为 1个偶数、2个奇数的有C2 A3 c4+ c3 C2 a3 C1= 234（个）.根据分类 计数原理得到共有 90+234 = 324（个）.故选A.5在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列 （数字允许重复）表示一条

24、信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0 和 1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为 （）A 10B 11C 12D 15解析： 选 B. 由题意可分为 3 类第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有C4种方法.第二类，有1个对应位置上的数字相同，有C4种方法.第三类，有2个对应位置上的数字相同，有C4种方法.故共有C0+C4+C4=11（条），故选B.6将3 个不同的小球放入编号分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的盒子内， 6号盒子中至少有1 个球的放法种数是 解析： 本题应分为 6 号盒子中有1 个球， 2 个球， 3 个球三第来解答， 可列式为C1

25、3（A 25A5）+C2A5+ C3=91（种）.答案：917 .从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派 5人组成一个抗震救灾医疗小组， 则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 (用数字作答).解析：按每科选派人数分 3、1、1和2、2、1两类.当选派人数为 3、1、1时，有3类，共有c3c4c5+c1c3c5 + c3c4c3=2oo种.当选派人数为2、2、1时，有3类，共有C2C4C1+C2C4C2+C3C2C2=390种.故共有590种.答案：5908 .某班班会准备从甲、乙等 7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少 有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发

26、言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C2c3A4= 2X 10X 24 = 480种选法.第二类，甲、乙都参加时，则有C2(A4 A2A3)= 10X(24 12)= 120种选法.所以共有480+ 120 =600种选法.答案：6009 .有12名划船运动员，其中 3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他 5人既会划左舷 又会划右舷，现要从这 12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种 不同的选法？10 设集合A= 只会划左舷的3人, B = 只会划右舷的4人, C=既会划左舷又会划右舷的5人.先分类，以集合 A为基准，划左舷

27、的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人，C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人.第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B, C中选3人，有C9种选法，同理可得的选法种数.故共 c3c9+c2c1c8 + c3c2c7+c0c3c6=2 174种不同的选法.10.已知直线j+b=1(a, b是非零常数)与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标 和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有多少条？解：如图所示，在圆 x2+y2=100上，整点坐标有(0, 0), (6, 8), (-6, -8), (-6,8), (6, 8), (8, 6), (8, 6), (8, 6

28、), (8, 6), (0, 10)共 12 个点.这 12 个点确定的直线为 C22条，过这12个点的切线有12条，由于a, b不为零，应去掉过原点的直线6条，又其中平行于坐标轴的直线有12条，故符合题意的直线共有C22+ 12-(6+ 12) =60(条).B 能力提升1 . 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了 13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为.解析：设6位同学分别用a, b, c, d, e, f表示.若任意两位同学之间都进行交换共进行C2=15(次)交换，现共进行了 13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况:(1)由3人构成的2次交换，如ab和a- c之间的交换没有发生，则收到 4份纪念品 的有b, c两人.(2)由4人构成的2次交换，如ab和c- e之间的交换没有发生，则收到 4份纪念品的有a, b, c, e四人.答案：2或42 .将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(用数字作答).C4 c2 C1解析：法一：分两步完成：第一步，将4名大学生按2, 1,1分成三组，其分法有人2A2种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有 A3种.所以满足条件的分配方案有c4 c2