专题4：圆与相似

1、专题：圆与相似(1)1 .如图，AB是。的直径，弦 CD±AB于H.点G在。O上，过点 G作直线EF,交CD延长 线于点E,交AB的延长线于点 F.连接AG交CDT K,且KE= GE(1)判断直线EF与。的位置关系，并说明理由；(2)若 AC/ EF, AH 3, FB= 1,求。的半径.AC 52 .如图，PB为。的切线，B为切点，直线 PO交。于点E, F,过点B作PO的垂线BA垂 足为点D,交O。于点A,延长AO与O O交于点C,连接BC, AF.(1)求证：直线PA为。的切线；(2)试探究线段EF,。口 OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC= 6, tan/F=l,

2、求cos/ACB的值和线段 PE的长.23 .如图所示，AB是。的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过 C作CD!AB于点D, CD 交AE于点F,过C作CG/ AE交BA的延长线于点 G.连接OC交AE于点H。(1)求证：GCL OC(2)求证：AF=CE(3)若/ EAB=30 , CF=2,求 GA的长.4 .如图，在 ABC AB=AC以AB为直径的。O分别交 AG BC于点口 E,点F在AC的延长，一 1线上，且/ CBF=1 / CAB2(1)求证：直线BF是。的切线；(2)若 AB=5 sin Z CBF=5 ,求 BC和 BF的长.55 .如图，O。的弦AB=&直径

3、CDLAB于M OM : MD =3 : 2, E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F.求：(1)。的半径；(2)求CE- CF的值.6 .如图，已知在 ABP中，C是BP边上一点，/ PACW PBA。是4ABC的外接圆，AD是 。的直径，且交 BP于点E.(1)求证：PA是。的切线；(2)过点C作CF±AD,垂足为点 F,延长CF交AB于点G 若AG?AB=12求AC的长；(3)在满足(2)的条件下，若 AF: FD=1: 2, GF=1,求O。的半径及sin /ACE的值.7 .如图，在 ABCK / C=90° , AC=3 BC功BCi上一点，以0

4、为圆心，。斯半径作半圆与BCi和ABa分别交于点 D点E,连接DE(1)当BD=3寸，求线段DE1勺长；(2)过点E作半圆O勺切线，当切线与ACi相交时，设交点为F.求证： FAE等腰三角形.8 .如图，在 ABW, / C=90° , / ABC勺平分线交ACF点E,过点EfBE勺垂线交A盯点F, 。加 BEF勺外接圆.(1)求证：AO 0O勺切线；(2)过点日EHU AB,垂足为H,求证：CD=HF(3)若 CD=1, EH=3 求 BF及AFK.9 .如图，BDOO勺直彳空,OAL OB，娓劣弧 上一点，过点 M乍OO勺切线M改OA勺延长线于P 点，MDf。侬于N点.( 1 )

5、求证：PM=PN；(2)若 BD=4, PA= AQ 过点 BBC/ M&OCT CM 求 BC勺长.10 .如图是一个量角器和一个含 30。角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点 好半圆O 的直径DE勺延长线上，A砌半圆 端点F,且BC=OE(1)求证：DE/ CF;(2)当OE=2寸，若以0, B, F为顶点的三角形与 ABCf似，求OB勺长；(3)若0E=2,移动三角板ABCa使ABa始终与半圆Of切，直角顶点 骑直径DE勺延长线上移 动，求出点B移动的最大距离.11 .如图，AR AO另1J是。O勺直径和弦，点D为劣弧AC±一点，弦DEL A的另交。OTE,交ABF

6、 H,交 ACF F. P ED长线上一点且 PC=PF(1)求证：PO 0O勺切线；(2)点瞳劣弧AC十么位置时，才能使 AD2=DE?DF为什么？(3)在(2)的条件下，若 OH=1, AH=2,求弦AC的长.12 .如图，在 ABC中，/ ABC=90 ,以AB的中点O为圆心、OA为半径白圆交 AC于点D, E 是BC的中点，连接DE, OE(1)判断DE与。O的位置关系，并说明理由；( 2 )求证：BC2=CD?2OE；(3)若 COS/BAD= BE=6,求 OE的长.专题：圆与相似答案1 ( 1)相切，理由见解析； ( 2 ) 4.1 )如图，连接OG-. OA= OG .OGA=

7、 / OAG.-.CD± AB, ./AKM / OAG= 90° .,.KE= GEKGEf / GKEf / AKH. / KG& / OGA A AKH / OAG= 90°OGE= 90° ,即 OGL EF.又G在圆O上，EF与圆O相切.(2) AC/ EF, .F=Z CAH. .RAH6 Rt FGOCH OGAC OFAH.在 RtOAH, AHAC3 、一一一,设 AH= 3t ,则 AC= 5t , CH= 4t .5,CH 4OG 4AC 5 .OF 5 . FB= 10G 4 ,解得：OG= 4.OG 1 5圆O的半径为4

8、 .考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质.2. （1）证明见解析； E=4OD?OP证明见解析；（3） |, 10.【解析】试题解析：（1）如图，连接OBPB是。O的切线，/ PBO=90 . OA=OB BA! PO于 D,AD=BD / POAh POB.又 PO=PO 1 PA8 PBO（SAS .丁/PAOhPBO=9O . 直线 PA为。的切线.2(2) EF=4OD?OP 证明如下： / PAOh PDA=90 , / OAD廿 AOD=90 , / OPA吆 AOP=90 . ./ OADh OPA. .OAD OPA. .1. 0A OD即 o

9、A=OD?OP. OP OA '又 EF=2OA EF2=4OD?OP.(3) OA=OC AD=BD BC=q. OD=1 BC=3 (三角形中位线定理)2设 AD=x,. tan Z F=AD 1 ,FD=2x, 0A=0F=2x 3.FD 2在 RtAAOD,由勾股定理，得(2x-3) 2=x2+32,解得，X1=4, X2=0 (不合题意，舍去).，AD=4 OA=2x- 3=5. AC是。O直径， ./ ABC=90 .pc-八八BC63又. AC=2OA=10 BC=6cosZACB= AC 10 5.,. OA=OD?OP 3 (PE+5)=25. PE=10.33.试题

10、解析：(1)证明：如图，连结 OC.C是劣弧AE的中点， OCL AE, . CG/ AE, CGL OC .CG是。O的切线；(2)证明：连结AG BC, .AB是。O的直径，/ ACB=90 , .2+/ BCD=90 ,而 CDL AB,/ B+Z BCD=90 , ./ B=Z 2, ACM=CEM,./ 1 = / B,1 = /2, .AF既(3)解：在 RtADF中，/ DAF=30 , FA=FC=2,-.DF=1AF=1, 2 .ad=V3df=V3 , . AF/ CG .DA: AG=DF CF,即 展.AG=t 2,.AG=2<13 .4. (1)证明：连接 AE

11、, .AB 是。O 的直径，/ AEB=90 ,/ 1 + 72=90° . = AB=AC. / 1 = 1/CAB . / CBfJ/CAR .1 = /CBR/ CBF+Z 2=90° ,即/ ABF=90 , 22AB是OO的直径，直线 BF是。的切线.55, (2)过点 C作 CGLAB于 G. / sin Z CBF=, /1 = /CBR . . sin / 1 =,.在 RtAAEB中，/ AEB=90 , AB=5 .1. BE=AB?sinZ 1 = 75, AB=AC / AEB=90 , . BC=2BE=275 ,在RtABE中，由勾股定理得AE=

12、/AB1 _BE7 =275 , "/2=些=小，cos/AB 52=BE- = ,在 RtACBG,可求得 GC=4 GB=2，AG=3 / GC/ BF,. AGS ABF, AB 5.GC AGGC AB 20=,BF = 7BF ABAG 3考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.圆周角定理；4.相似三角形的判定与性质;5.试题解析：(1)如图，连接AQ. OM : MD=3:2 , .可设 OM=3 k, MD=2 k (k >0),贝U OA=OD=5 k.又.弦 AB=& 直径 CDL AB于 M 1- AM=4.在RtOAW,由勾股定理可得：k=1

13、 .圆O的半径为5 .(2)如图，连接AE由垂径定理可知：？AEC=?CA F又 ?ACF=?ACF ?AC曰？FCA. AC CE 即 AC2=CE?CF. CF AC '在 RtAACM,由勾股定理可得：AC=AM+CM=16+64=80 ,.CE?CF=80.6.解：(1)证明：连接CQ.AD是。的直径，ACD=90 。 ./ CAD吆 ADC=90 。又/ PACh PBA / ADC4 PBA / PAC4 ADC .CAD+Z PAC=90 。 .PAL OA又 AD是。O的直径，PA是。的切线。(2)由(1)知，PAL AD,又; CF± ARCF/ PA .1

14、 / GCAh PAC又. / PACh PBA/ GCAh PBA又. / CAG= BAGCA6 BAGACABAGAC '即 aC=AG?AB. AG?AB=12AC2=12o .AC=2j3。(3)设 AF=x, . AF: FD=1: 2, FD=2x。 AD=AF+FD=3x在 RtAACE, - CF± AD, . . AC=AF?AD 即 3x2=12o解得；x=2。.AF=2, AD=6。半径为 3。在 RtAFG中， AF=2, GF=1,丁根据勾股定理得：AG . AF2 GF2 . 22 125 o由(2)知，AG?AB=12 AB1212 5AG 5

15、连接BD,. AD是。的直径，ABD=90 。在 RtABD中，. sin /ADB=AB_, AD=6 AB 125 z. sin Z ADB=25 °AD552 5 / ACE4 ACB4 ADB ，sin / ACE=21557. (1)解：. / C=90 , AC=3 BC=4 .AB=5,DB为直径， / DEB4 C=90 ,又. / B=Z B,.DB& ABC里 ”:炉.亦 DE弓(2)证法一：连接OE EF为半圆O的切线， / DEO它 DEF=90 ,/ AEF=Z DEO . DB& ABC/ A=Z EDB 又. / EDO= DEO ./

16、AEF=/A, . FAE是等腰三角形；证法二：连接OE EF为切线, / AEF+/ OEB=90 , . /C=90 ,/ A+Z B=90° , .OE=OB ./ OEBhB, ./ AEF=/A, . FAE是等腰三角形.8.证明：(1)如图，连接OE . BEX EF, ./BEF=90 , .BF是圆O的直径. BE 平分/ ABG / CBE4OBE,.OB=OEOBEh OEBOEBh CBE .OE/ BC, / AEOh C=90 , .AC是。O的切线；(2)如图，连结DE / CBE4 OBE EC! BC于 C, EHU AB于 H, .EC=EH / C

17、DE吆 BDE=180 , / HFE+Z BDE=180 , / CDEh HFE在 CDE与 HFE 中，. CD监 HFE ( AAS ,.CD=HF(3)由(2)得 CD=HF 又 CD=1.HF=1,在RtHFE中，EF历匕7人仇， .EFXBE, ，/BEF=90 , / EHF土 BEF=90 , / EFH土 BFE, . EHM BEF,郎,即谆.BF=10,.OE=BF=5 OH=5-1=4, Rt AOHE43, cosZ EOA=Rt EOA中,cos/ EOA=, = .OA=, .AF=j-5=.9. (1)证明：连接OM.MP是圆的切线，OML PM / OMD

18、+ DMP=90 , .OA! OR / OND+ ODM=90 , . / MNP=OND / ODM= OMD ./ DMPW MNP.PM=PN(2)解：设 BC交 OMF E, . BD=4, OA=OB=BD=2 PA=3, PO=5; . BC/ MP OML MR ，OML BC, . BE=BC / BOM+ MOP=90 , 在直角三角形OM叶，/ MPO廿 MOP=90 , ./ BOM=MPO / BEOh OMP=90 , . OMD BEO* 斑日T不=而即、，解得：BE= BC=10. (1)证明：连接OF, .AB切半圆O于点F, OF是半径， ./OFB=90

19、,. /ABC=90 , / OFB4 ABG .OF/ BC,BC=OE OE=OFBC=OF四边形OBCE平行四边形， .DE/ CF;(2)解：若 OBMAAC用AC.OB= / A=30° , / ABC=90 , BC=OE=2 .AC=4, AB=2/1 又 OF=OE=24X1 ob=7t=;若 BOS ACBJ jc jOB=4;综上，OB或4;(3)解：画出移动过程中的两个极值图，由图知：点B移动的最大距离是线段 BE的长， / A=30° ,/ ABO=30 ,BO=4,BE=2,点B移动的最大距离是线段 BE的长为2.11. (1)证明：连接OC . PC=PF OA=OC / PCA4 PFG / OCAW OAC . Z PFC=/ AFH DEL AB, ，/AHF=90 , / PCOh PCA