初三圆的经典例题

1、有关圆的经典例题_1.在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为 J3和J2,求/ BAC的度数。分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。解：由题意画图，分 AB、AC在圆心。的同侧、异侧两种情况讨论,当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示,过。作ODXAB于D,过O作OELAC于E,屈,AC V2,AD , AE 2. OA 1,cos/ OAD, AE .2cos / OAE OA 2AD 3OA 2./OAD=30 , / OAE=45 ,故/ BAC=75当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示,同理可知/ OAD=30 , / OAE=45

2、 ./ BAC=15点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2.如图： ABC的顶点A、B在。O上，O O的半径为R,。与AC交于D,如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点,(1)求证： ABC是直角三角形;求AC2的值分析：(1)由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结OD交AB于F,则AF=FB , ODXAB ,可证 DF是 ABC的中位线；(2)延长 DO 交。于 E,连接 AE ,由于/ DAE=90 , DE LAB , ADF1 一 AD2.s/XDAE,可得 AD2 DF DE,而 DF BC, DE 2巳故可求2 BC解：(1)证明，作直径 DE交AB于F,

3、交圆于E. D为 AB 的中点，ABIDE, AF FB9又 AD=DC . DF / BC, DF2BCAB BC ,. ABC是直角三角形。(2)解：连结AE DE是。O的直径/ DAE=90 而 ABSE,ADFA EDAADDEDFADDE - DF1 -. DE 2R, DF - BC 22 拓 AD2 AD BC R,故R例3.如图，在。O中,AB=2CD ,那么(A. AB 2CDB. AB 2CDC. AB 2CDD. AB与2CD的大小关系不确定分析：要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：(1)把AB的一半作出来，然后比较 -AB与CD的大小。2(2)把2CD作出

4、来，变成一段弧，然后比较2 CD与AB的大小。解：解法(一)，如图，过圆心 O作半径OFLAB,垂足为E,F则 AF FB 1AB 21 AE EB -AB21 . AB 2CD, AE CD -AB2AF FB ,AF FB在AFB 中，有 AF+FBAB2AF AB,AF 胆，. . AF CD, . 2 AF 2CD2 AB 2CD选 A o则 DE CD 1CE 2在 CDE 中，有 CD+DECE ，2CDCE,. AB=2CD, ABCEAB CE ,AB 2 CD，选A o1例4.如图，四边形ABCD内接于半径为2的OO,已知AB BC -AD 1,4求CD的长。分析：连结BD

5、,由AB=BC ,可得DB平分/ ADC ,延长AB、DC交于E,易得 EBC s EDA，又可判定 AD是。O的直径，得/ ABD=90 ,可证彳ABD叁 EBD ,得DE=AD , 利用 EBCA EDA ,可先求出 CE的长。解：延长AB、DC交于E点，连结BD-1AB BC AD 14 . AB BC , AD 4,/ADB / EDB O O的半径为2, AD是。O的直径 ./ ABD= Z EBD=90。，又.: BD=BDABDA EBD , . AB=BE=1 , AD=DE=4 四边形ABCD内接于。O,/ EBC= / EDA , / ECB= / EAD . EBCs/X

6、 EDA,BCADCEAEBC - AE BC(AB BE) CEADAD-17CD DE CE 422例5.如图，AB、AC分别是。O的直径和弦,D为劣弧 AC上一点，DE LAB于H ,交。于点E,交AC于点F, P为ED的延长线上一点。(1)当 PCF满足什么条件时，PC与。相切，为什么？(2)当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使 AD2 DE DF,为什么？分析：由题意容易想到作辅助线 OC,(1)要使PC与。相切，只要使/ PCO=90 ,问题转化为使/ OCA+/ PCF=/FAH+ ZAFH就可以了。(2)要使AD2 DE DF,即使-AD- DF ,也就是使 DAFA DEAD

7、E AD解：(1)当 PC=PF,(或/ PCF=/PFC)时，PC 与。相切，下面对满足条件PC=PF进行证明，连结 OC,则/ OCA= / FAH , PC=PF, .PCF=ZPFC=Z AFH , DEXAB 于 H, ./ OCA+ / PCF= / FAH+ / AFH=90 即 OCPC,PC 与。相切。(2)当点D是劣弧AC的中点时，AD2 DE DF ,理由如下:DAF / DEADFAD连结 AE, v AD CD , 又 :/ADF /EDA,AD . DAFsz DEA, DE即 AD 2=DE - DF点拨：本题是一道条件探索问题，第(1)问是要探求 PCF满足什么

8、条件时，PC与。O相切，可以反过来，把 PC与。相切作为条件，探索 PCF的形状，显然有多个答案； 第(2)问也可将AD2=DE DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。1例6.如图，四边形ABCD是矩形(AB -BC),以BC为直径作半圆O,过点 2D作半圆的切线交 AB于E,切点为F,若AE: BE=2 : 1,求tan/ADE的值。DC分析：要求tan/ADE,在RtAAED中，若能求出 AE、AD ,根据正切的定义就可以 得至ij。ED=EF+FD ,而EF=EB , FD=CD ,结合矩形的性质，可以得到 ED和AE的关系, 进一步可求出 AE : AD。解：二.四边形

9、ABCD为矩形，BC AB , BC DC.AB、DC切。O于点B和点C, DE 切。O 于 F, DF=DC , EF=EB ,即 DE=DC+EB ,又AE: EB=2: 1 ,设 BE=x,贝U AE=2x , DC=AB=3x ,DE=DC+EB=4x ,在 RtAAED 中, .AD 2j3xAE=2x , DE=4x ,贝 Utan/ADEAE 2x 3AD2 3x点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例7.已知。Oi与。O2相交于A、B两点，且点 O2在OOi,(1)如下图，AD是。O2的直径，连结 DB并延长交。Oi于C,求证 CO21AD

10、 ;(2)如下图，如果 AD是。O2的一条弦，连结 DB并延长交。Oi于C,那么CO2所在 直线是否与 AD垂直？证明你的结论。分析：(1)要证CO21AD ,只需证/ CO2D=90 ,即需证/ D+/C=90 ,考虑到 AD 是。2的直径，连结公共弦 AB ,则/ A=/C, / DBA=90 ,问题就可以得证。(2)问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结 AC,直观上看，AC等于 CD,到底AC与CD是否相等呢？考虑到 O2在O Oi上，连结AO2、DO2、BO2,可得/ 1 = Z2,且有 AO2CA DO2C,故 CA=CD ,可得结论 CO2ADo解：(1)证明，连结 AB

11、 , AD为直径，则/ ABD=90 / D+ / BAD=90 又. / BAD= /C, D+/C=90 ./ CO2D=90 ,CO21AD(2) CO2所在直线与 AD垂直，证明：连结 O2A、O2B、O2D、AC在 AO2C与 DO2c 中. O2A O2B,AO2 BO2 , ./ 1 Z 2 / O2BD= / O2AC,又/ O2BD= / O2DB , / O2AC= / O2DB,.O2C=O2C, .AO2gDOzC,，CA=CD,.CAD为等腰三角形，CO2为顶角平分线，CO21AD o例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心，以a为半径的圆相

12、切于点 01、02、03,求O1O2、O2O3、0301sl成的图形面 2积S。（图中阴影部分）A,分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。3 2斛：SAABC_1a4 Q 3 -2一s 阴a4，3s扇 3X 6h2a2此题可变式为如下图所示，O A、a 2.（2）OB、OC两两不相交，且它们的半径都为a,求图中三个扇形（阴影部分）的面积之和。分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为/ A+/B+/C=180 ,因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为原题可在上一题基础上进一步变形：O Al、OA2、。A3。An相外离，它们的半径都 是1,顺次连结n个圆

13、心得到的n边形AlA2A3An,求n个扇形的面积之和。解题思路同上。到（n 2）解：2、填空题（10X 4=40分）1 .已知：一个圆的弦切角是50。，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为O2 .圆内接四边形 ABCD中，如果/ A: /B: /C=2: 3: 4,那么/ D=度。3 .若。的半径为3,圆外一点P到圆心0的距离为6,则点P到。的切线长为4 .如图所示CD是。0的直径，AB是弦，CDXAB于M ,则可得出AM=MB , AC BC 等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论： 。5 . O01与。02的半径分别是3和4,圆心距为43,那么这两圆的公切线的条数是6 .圆柱

14、的高是13cm,底面圆的直径是 6cm,则它的侧面展开图的面积是7 .已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度 AB=16cm ,拱高CD=4cm ,那么拱形的半径是8 .若PA是。的切线，A为切点，割线 PBC交。O于B,若BC=20, PA= 10 J3 ,则PC的长为。9 .如图5, ABC内接于。，点P是AC上任意一点（不与A、C重 合）， ABC 55，则 POC的取值范围是 .10 .如图，量角器外沿上有 A、B两点，它们的读数分别是 70。、40。，则11 .已知e O的半径是3,圆心O到直线1的距巽第9,题触线l与e O的位置关系是 .12 .如图，已知点 E是圆O上的点，B、

15、C分别是劣弧 AD的三等 分点， BOC 46o,则 AED的度数为.13 .如图，RtzXABC 中 ACB 90, AC 4, BC 3 ABC绕AC所在的直线f旋转一周得到一个旋转体，该旋转的侧面积 .（取3.14 ,结果保留两个有效数字）0第14题图14.如图8,两个同心圆的半径分别为 阴影部分的面积为15 .如图，AB是e O的直径，AM为弦， MAB 30,过M点的e 0的切线交AB延长线于点N .若ON 12cm，则e O的半径为 cm .16 .如图，RtA A BC是由Rt ABC绕B点顺时针旋转而得，且点 A, B, C在同一条直线上，在 RtzXABC 中，若/C 90,

16、 BC 2 , AB过的扇形面积为4,则斜边AB旋转到AB所扫17 .如图，从圆O外一点P引圆。的两条切线PA, PB,切点分别是 A B,若PA 8cm,C是Ab上的一个动点(点C与A, B两点不重合)，过点C作圆O的切线，分别交PA, PB 于点D, E ,则APED的周长是.18、在平面内，O 。的半径为5cm,点P到圆心。的距离为3cm,则点P与。的位置关系是.19 .如图8,在RtzXABC中，C 90, AC 3 .将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA, BC为半径的圆形成一圆环.则该圆环的面积为 .B20 .如图9,点A, B是e O上两点，AB 10,点P是e O上白动点(P

17、与A, B不重 合)连结AP, PB,过点O分另J作OE AP于点E,OF PB于点F ,则EF .(只画示意图，不写、解答题:1 .已知：如图所示，O O1和。O2相交于A、B两点，过B点作。O1的切线交。O2于D, 连结DA并延长与O O1相交于C点，连结BC。过A点作AE / BC与。O2相交于E点，与 BD相交于F点。(1)求证：EF BC=DE AC ;(2)若 AD=3 , AC=1 , AF 3,求 EF 的长。2 .某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同 颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成 轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。 作法)。3 .已知： ABC是。O的内接三角形，BT为。O的切线，B为切点，P为直线AB上一 点，过点P作BC的平行线交直线 BT于点巳交直线AC于点F。(1)如图所示，当点 P在线段AB上时，求证：PA PB=PE PF;(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗？如果成立，请证 明；如果不成立，请说明理由；1(3)若 AB 4MC连结 DE DE=T15.导致其中部分图形和数据看