极坐标与参数方程知识点总结

1、第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1 .平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:x ?X， 0的作用下，点P x, y对应到点Px,y，称 为平 y ?y,0直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2 .极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示，在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点。引一条射线Ox,叫做极轴；再选定 一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了 一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一

2、对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角 xOM叫做点M的极角，记为.有序数对，叫做点M的极坐标，记作M ,. 一般地，不作特殊说明时，我们认为 0,可取任意实数.特别地，当点M在极点时，它的极坐标为0, R。和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标，表示；同时,极坐标，表示的点也是唯一确定的.3 .极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为

3、极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图(2)所示：0，于(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是x, y ,极坐标是是极坐标与直角坐标的互化公式如表点M直角坐标x, y极坐标，互化公式在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4 .常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆圆心为r,0 ,半径为r的圆圆心为r,-，半径为r2的圆过极点，倾斜角为的直线R或R(2)0或0过点a,0 ,与极轴垂直的直线过点a,_，与极轴平行的直线注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即，2, 都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对

4、于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点5M 一,一可以表示为M ,2 或M ,2 或M ,等多种形式 ，其 中，只有4 44 44 44 4M -,-的极坐标满足方程4 4二、参数方程1 .参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x ftf t，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M x,y都在这条曲线上，那y g t么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2 .参数方程和普通方程

5、的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x f t ,把它代入普通方程，求出另一 x f t个变数与参数的关系y g t ,那么x f t就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 y g t互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3.圆的参数如图所示，设圆。的半径为周运动，设程，其中的几何意义是OM0转过的角度。圆心为

6、 a,b ,半径为r的圆的普通方程是它的参数方程为:r cos4 aA.为参数。r sin4.椭圆的参数方程以坐标原点。为中心,2焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 三 a2自1ab 0其参数方程为a cos 4aA.为参数， bsin其中参数 称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是2 y2 a21 a b 0其参数方程为x bcos为参数其中参数仍为离心角，通常规定参 y asin注:的范围为 0,2 。椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的r,点M从初始位置Mo出发，按逆时针方向在圆 O上作匀速圆rcos为参数。这就是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数方

7、r sin0到2的范一时，相应地也有0,22旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0 在其他象限内类似。5 .双曲线的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为2 x2 a2T 1a 0,b0其参数方程为xy：为参数,其中0,2且-隹占在y轴上的双曲线的标准方程是22yx2,2ab0,b 0其参数方程为x bcot为参数，其中0.2 且y acsc以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。6 .抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2 2px p 0的参数方程为 x 2pt2t为参数

8、y 2 Pt7 .直线的参数方程经过点M0 X0, y0 ,倾斜角为 一的直线l的普通方程是y y tan x X0而过 2M°X0,y。，倾斜角为 的直线l的参数方程为x x0 tcos t为参数。 y V。 tsm注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 M0 X0,y0 ,倾斜角为的直线l的参数方程为x % tcos t为参数，其中t表示直线上以定点m0为起点，任一点M x ,y为终点的 y V。 t sin有向线段M°M.的数量，当点M在M0上方时，t >0;当点M在M0下方时，tV0;当点M与M0重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以M0为原点，直线l向

9、上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。【要点名师透析】一、坐标系(一)平面直角坐标系中的伸缩变换1例在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：x/ 3x2y y(1)求点A 1 2经过 变换所得的点A的坐标；31B ( 3,)(2)点B经过 变换得到点2 ,求点B的坐标；(3)求直线l：y 6x经过 变换后所得到直线的l方程;22 yC : X2 ,1（4）求双曲线64 经过 变换后所得到曲线C的焦点坐标。（二）极坐标与直角坐标的互化5A（2, ）, B（2,）R例2在极坐标系中，如果 44为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点 C的极坐标（0,02 ）。（

10、三）求曲线的极坐标方程B0已知P, Q分别在/ A0B的两边0A 0B上，/A0B1,，P0Q勺面积为8,求PQ中点M的极坐标方程。（四）极坐标的应用如图，点A在直线x=4上移动，OPA为等腰直角三角形，OPA勺顶角为/ OPA（0,P, A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。二、参数方程（一）把参数方程化为普通方程x =8 cos 0,A =3而& （日为参数）。K - -4 + cosf,已知曲线C： 4 = 3+"%（t为参数），C ：（1）化C C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;若C上的点P对应的参数为t 5,Q为C之上的动点，求口

11、中点M到直线xC3： y3 2t （t为参数）距离的最小值。2 t椭圆参数方程的应用在平面直角坐标系汗中，点尸仁丁）是椭圆-41上的一个动点，求 _解答:（三）直线参数方程的应用BO过点尸”厂勘作倾斜角为&的直线与曲线交于点MR ,求侬|.附|的值 及相应的图的值。解析：圆的参数方程的应用，=2+ 於（日L心/2瞄日 为参数），且曲线C与直线a J为=0相交于两（四）已知曲线C的参数方程是BO点A（1）求曲线C的普通方程；（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长【感悟高考真题】1.在极坐标系中，点（2, 3）到圆2cos的圆心的距离为（）(A) 2(B)(C)(D) ,32.

12、在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是（）(A) (1,2)(B)(1, 2)(C) (1，0)(D) (1，)x cos3 .在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y 1 sin ,（为参数）.在极坐标系（与直角 坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点 。为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线 。2的 方程为90s sin ） 1 0，则C1与C2的交点个数为 x 2 cos4. 直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y森加（为参数）.在极坐标系（与直角坐 标系xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线 C2的方= 2sin 4cos ,以极点为原程为（co

13、s sin ） 1 0,则C1与C2的交点个数为5. （1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为6. （2011 陕西高考理科T15C）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴x 3 cos建立极坐标系，设点 A, B分别在曲线Cl: y 4 sin （为参数）和曲线C2:1上，则1ABi的最小值为 .7 .（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴x 3 cos建立极坐标系，设点 A, B分别在曲线G： y sin （为参数）和曲线C2：1上，则1ABi的最小值为 -8.

14、（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线C的参数方程为 x 8t "为参数）若斜率为1 y 8t2 2 /.5 cos 小一 、(0W v )sin和的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x-4） +y =r （r>0）相切，则r =x9. （坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为y5j x t4 (t y tR）,它们的交点坐标为10. (2)在直角坐标系 xOy中，直线l的方程为 x-y+4=0 ,曲线C的参数方程为x .3cos y sin（为参数）.（I）已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点 P的

15、极坐标为4-,判断点P与直线l位置关 2系；（II ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线 l的距离的最小值.11. 选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分 10分）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x 5cosx 4 2t12. 3sin（为参数）的右焦点，且与直线y 3 t （t为参数）平行的直线的普通方程。13. （2011 新课标全国高考理科 T 23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x 2cos c c uivuuuvy 2 2sin（为参数）M是C1上的动点，P点满足OP 2OM ,P点的轨迹为曲线C2（I ）求C2的方程（n）在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标

16、系中，射线3与ci的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB .14. （2011 新课标全国高考文科 T 23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x 2cos uuv uuuvy 2 2sin （为参数）M是Ci上的动点，P点满足0P 2OM ,P点的轨迹为曲线C2（I ）求C2的方程（n）在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB .15. （2011 辽宁高考理科 T 23）（本小题满分10分）（选修4-4:坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x cos , 4外兴人

17、.（为参数）y sin ,曲线C2的参数方程为x a cos ,4仝花（a b 0,为参数）y bsin，.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线I:。=2与01, C2各有一个交点.当a=0时，这两个交点间的距离为 2,当a=2时，这两个交 点重合.（I）分别说明C1, C2是什么曲线，并求出a与b的值；冗冗（II ）设当 =4时，I与C1, C2的交点分别为 A1, B1,当a=-4时，|与C1,C2的交点为A2, B2,求四边形 A1A2B2B1的面积.x 1 t15 .极坐标p cos和参数方程 y 2 t （t为参数）所表示的图形分别是（D）A.直线、直线 B.直线、圆

18、C.圆、圆D.圆、直线16 .极坐标方程（p-1 ） （） = （p 0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（Q 一个圆和一条射线（D） 一条直线和一条射线17 .在极坐标系（p, 8） （0 <8 <2兀）中，曲线p = 2sin与陞0s1的交点的极坐标为., x cos18 .已知P为半圆C:（为参数，0）上的点，点A的坐标为（1,0）, Oy sin为坐标原点，点M在射线OP上，线段OMW C的弧；S的长度均为一。3（I）以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II ）求直线AM的参数方程。【考点模拟演练】一、选择题1 .已知极坐标平面内的点 P2,

19、 5!，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别 3为（）A. 2, 2 , （1 ,m） B. 2,一点，（1 ,一木） C. 2, T , （ 1 , V3） 333D. 2, -2 , （ 1,-我2.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为（1,-心.若以原点。为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（）A. 1, -y B. 2, 43 C. 2, -3-D. 2, -4333333 .在直角坐标系xOy中，已知点C（-3,-血,若以。为极点，x轴的正半轴为极轴， 则点C的极坐标（p , 8 ）（ p >0,兀< 8 <0）可写为 .兀 .4

20、 .过点2, 7平行于极轴的直线的极坐标方程是 （）A. p cos 0 = 4 B . p sin 0=4 Cp sin 0 = 22D. p cos 0 = 答案：C5.曲线的参数方程是1 x= 1 -（t是参数，t¥0）,它的普通方程是（）y=1 12A. (x-1)2(y 1) = 1B. y = x ：2)C . y = /+1 D. y=111 X 21 X21 X 26 .直线p cos 0 = 2关于直线9 = A对称的直线方程为（）D. p = 2sin 0A. p cos 0 = 2 B. p sin 0 = 2 C . p sin 0 = - 22x=- 1-a7.已知直线l的参数方程为2y=2+孕2A. 1 B . - 1 C. + Dx = 2cos 08.直线3x 4y 9=0与圆：y = 2sin 0A.相切B.相离 C（t为参数），则直线l的斜率为（）2,（9为参数）的位置关系是 （）.直线过圆心D .相交但不过圆心9 .设直线过极坐标系中的点M（2,0）,且垂直于极轴，则它的极坐标方程为 花 、.一 10