高中数学解三角形

1、解三角形20 小题）a, b, c,且 a=3, c=8, B=60 ,则 ABC 的周D 17a, b, c,且 a=3, c=8, B=60 ,则 ABC 的周D 181. （2015?可南二模）在 ABC中，已知角A, B, C所对的边分别为长是（ ）A 18B 19C 162. （2015?可南二模）在 ABC中，已知角A, B, C所对的边分别为长是（ ）A 17B 19C 163. (2014?B南模拟)在 ABC 中，b2- a2- c2=ac,则/B 的大小()A 30B 60C 120D 1504. （2013?陕西）设ABC的内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c

2、,若bcosC+ccosB=asinA ,则4ABC的形状为（）A 锐 角三角形B 直 角三角形C 钝 角三角形D 不 确定5. （2013?胡南）在锐角 ABC中，角A, B所对的边长分别为 a, b.若2asinB=b ,则角A等于（）ABCD6. （2013欧州二模）在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若A=30 , B=105 , a=1.则c=（）A-1B. .C. .D.27（2013以津模拟）在钝角 ABC中，已知 AB= AC=1, / B=30 ,则 ABC的面积是（）A8BCD（2013?泰安一模）在 ABC中，/A=60 , AB=2,且 ABC

3、的面积为，则 BC的长为（）A9B 3CD（2013?fW区三卞H）已知 ABC中，AC=2, BC=2则角A的取值范围是（）7A10BCD,(2012?广东)在4ABC 中，若/ A=60 , / B=45 ,贝U AC=()ABCD11.（2012次河区三*H）在 ABC中，若A=60 , BC=4, AC=4则角B的大小为（）A1230B 45C 135D(2010?胡北)在4ABC 中，a=15, b=10, A=60 ,贝U cosB=()45或135A13-B.C. -D.,4ABC的内角A B、C对边白长a、b、c成等比数列，则的取值范围是（）A(0, +8)B. (0, 2+)

4、C. (1, +8)D.（ 1 ， 2+）14. （2014?T西）在ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,若3a=2b,则的值为（）A.-B.C. 1D.15. （2014理庆三模）在 ABC中，若，则/B 等于（）A30B45C 60D9016. （2014训山区模拟）在锐角 ABC中，若C=2R则的范围（）ABC（ 0，2）D17. （2014?南平模拟）在 ABC中，如果，B=30 ,那么角 A等于（）A30B45C60D12018. （2014?广西模拟）在 ABC中，/ A,Z B,ZC所对的边分别为a, b,c,若/ A:Z B=1:2,且a： b=1 ：

5、,则cos2B 的值是（ ）A. -B.C. -D.19. （2014?鄂尔多斯模拟）在 ABC中，ZA=60 , b=1, 4ABC的面积为，则边 a的值为（）ABCD 320. （2014双登市二模） 4ABC的内角 A B, C的对边分别为 a, b, c,且 asinA+csinC+asinC=bsinB ,贝U/B （）ABCD二解答题（共 10 小题）21. （2014?山东）4ABC 中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知 a=3, cosA=, B=A+.（I）求b的值；（n）求 ABC的面积.22. （2014?东城区一*H）设 ABC的内角A, B, C

6、所对的边长分别为 a, b, c,且.（I ）求的值；（n）求tan （A- B）的最大值.23. （2014硒江）在ABC 中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知 ab, c=, cos2A- cos2B=sinAcosA - sinBcosB （I ）求角C的大小；（n）若sinA=,求 ABC的面积.24. （2014以津）在4ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知a- c=b, sinB=sinC ,（I ）求cosA的值；（n）求 cos （2A-）的值.25. （2014?兴安盟一模）在 ABC中，角 A, B, C的对边分别为 a

7、, b, c,且满足（2c - a） cosB - bcosA=0.（I）若b=7, a+c=13求此三角形的面积；（n）求sinA+sin （C）的取值范围.26. （2014百国建模拟）设 ABC中的内角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,且，b=2.（I）当时，求角 A的度数；（n）求4ABC面积的最大值.27. （2014?1西模拟）三角形ABC中，内角A,B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A- C）=2sin2C （ 1）求内角 B 的余弦值；（2）若b=,求 ABC的面积.28. （2014?陕西） ABC的内角A, B, C所对应的边分

8、别为 a, b, c.a， b ， c 成等差数列，证明： sinA+sinC=2sin( A+C) ；a， b ， c 成等比数列，求cosB 的最小值29. (2014理庆)在4ABC中，内角 A B C所对的边分别是 a、b、c,且a+b+c=8.(I)若 a=2, b=,求 cosC 的值；(n)若 sinAcos 2+sinBcos 2=2sinC ,且 ABC 的面积 S=sinC ,求 a和 b 的值.30. (2014?启东市模在 ABC中，A B, C为三个内角a, b, c为三条边，且.(I )判断 ABC的形状；(n)若，求的取值范围.参考答案与试题解析一选择题（共 20

9、 小题）1. （2015?可南二模）在 ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60,则ABC的周长是（ ）A 18B 19C 16D 17考点： 余弦定理专题： 解三角形分析：利用余弦定理列出关系式，把 a, c, cosB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长.解答： 解：ABC 中，a=3, c=8, B=60 ,b 2=a2+c2- 2accosB=9+64 24=49,即 b=7,则ABC周长为 3+8+7=18, 故选：A点评： 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键2. （2015?可南二模）在 ABC中，已知角A,B,C所对

10、的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60,则ABC的周长是（ ）A 17B 19C 16D 18考点： 余弦定理专题： 解三角形分析： 利用余弦定理列出关系式，将a， b 及 cosB 的值代入，得到关于c 的方程，求出方程的解即可得到 c 的值解答： 解：a=3, c=9, B=60 , 由余弦定理b2=a2+c2- 2accosB,即：b2=9+64- 24,即 b=7,则 a+b+c=18 故选：D点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键3. （2014?B南模拟）在 ABC 中，b2- a2- c2=ac,则/B 的大小（）A 30B

11、60C 120D 150考点： 余弦定理专题： 解三角形分析：利用余弦定理表示出 cosB,把已知等式变形后代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数.解答： 解：:在 ABC 中，b2- a2 - c2=ac,即 a2+c2 - b2= - ac,cosB=-,则/B=150 ,故选：D点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键4. （2013?陕西）设ABC的内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若bcosC+ccosB=asinA ,则4ABC的形状为（）A 锐 角三角形B 直 角三角形C 钝 角三角形D 不 确定考点： 正弦定理专题

12、： 解三角形分析： 由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA ，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1 ，可得A二,由此可得 ABC的形状.解答：解： ABC的内角A B, C所对的边分别为a, b, c,bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA ,即sin （B+。=sinAsinA ,可得sinA=1 ,故A=,故三角形为直角三角形， 故选B点评： 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题5. （2013?胡南）在锐角 ABC中，角A,

13、 B所对的边长分别为 a, b.若2asinB=b ,则角A等于（）ABCD考点 ： 正弦定理专题 ： 计算题；解三角形分析： 利用正弦定理可求得sinA ，结合题意可求得角 A解答： 解：在4ABC 中，2asinB=b ,，由正弦定理=2R得：2sinAsinB=sinB , .sinA=,又 ABC为锐角三角形，. . A= 故选D点评： 本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题6. （2013欧州二模）在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若A=30 , B=105 , a=1.则c=（A. - 1B. .C. .D. . 2考点 ： 正弦

14、定理专题 ： 解三角形分析：由已知可先求 C,然后结合正弦定理可求解答： 解：a=30 , B=105 , . C=45a=1.由正弦定理可得， 则 c= 故选 B 点评： 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题7. （2013以津模拟）在钝角 ABC中，已知 AB= AC=1, Z B=30 ,则 ABC的面积是（）ABCD考点 ： 正弦定理专题 ： 解三角形分析： 利用余弦定理列出关系式，把c ， b ，以及cosB 的值代入求出 a 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积.解答： 解：在钝角 AB C中，已知 AB=c=, AC=b=1, Z B=30 ,

15、 ，由余弦定理得：b2=a2+c2- 2accosB,即 1=a2+3- 3a,解得： a=1 或 a=2 ， 当 a=1 时，a=b,即 / A=/ B=30 ,此时/ C=120 ,满足题意， ABC 的面积 S=acsinB=;当a=2时，满足a2=c2+b2,即4ABC为直角三角形，不合题意，舍去， 则 ABC面积是. 故选：B点评： 此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键8. （2013?泰安一模）在 ABC中，/A=60 , AB=2,且 ABC的面积为，则 BC的长为（AB 3CD 7考点 ： 余弦定理专题 ： 解三角形分析：由 ABC

16、的面积Saabc=,求出AC=1,由余弦定理可得 BC计算可得答案.解答： 解：,.,s aabc=xABXACsin60 =X2XACX,.AC=1）ABC 中，由余弦定理可得BC=，故选A点评： 本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC ，是解题的关键9. （2013?1东新区三卞H）已知 AB C中，AC=2, BC=2则角A的取值范围是（）ABCD考点 ： 余弦定理专题 ： 解三角形分析： 知道两边求角的范围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这 样转化到角的范围解答： 解：利用余弦定理得：4=c2+8 4ccosA ,即c2 4cosAc

17、+4=0 ,2 .=32cos A- 160,-A为锐角AC （ 0,故选：C点评： 此题属于解三角形题型，解题思路为：利用余弦定理解答三角形有解问题，知道两边求角的范围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这样转化到角的范围，有一定难 度10. （2012?广东）在ABC 中，若/ A=60 , / B=45 ,则 AC=（）ABCD考点 ： 正弦定理专题 ： 计算题分析： 结合已知，根据正弦定理，可求AC解答： 解：根据正弦定理， ，则故选 B点评： 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题11. . （2012次河区三*H）在 AB C中，

18、若A=60 , BC=4, AC=4则角B的大小为（）A 30B 45C 135 D 45或 135考点 ： 正弦定理的应用专题 ： 计算题分析：先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B,再由角B的范围确定最终答案.解答： 解：由正弦定理得，. B=45 或 1351. AG BC,. B=45 ,故选 B点评： 本题主要考查了正弦定理的应用属基础题正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握12. （2010?胡北）在4ABC 中，a=15, b=10, A=60 ,贝U cosB=（）A. -B.C. -D.考点 ： 正弦定理分析：根据正弦定理先求出sinB的值，再由

19、三角形的边角关系确定/ B的范围，进而利用 sin 2B+cos2B=1求解.解答： 解：根据正弦定理可得， 解得， 又 bv a, .B A,故B为锐角， ，故选D点评： 正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围13. 4ABC的内角A B、C对边白长a、b c成等比数列，则的取值范围是（）A. （0, +8）B.（0, 2+）C. （1, +8）D. （1, 2+）考点： 正弦定理；等比数列的通项公式专题： 解三角形分析：设=4,则由任意两边之和大于第三边求得q的范围，可得的取值范围解答：解：设=q,则=q+q：贝U由，求得

20、v qv,v q2 ,1 q+q2 2+,故选：D点评： 本题考查数列与三角函数的综合应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形三边关系的灵活运用14. （2014?!西）在ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,若3a=2b,则的值为（）A. -B.C. 1D.考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： 根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论解答： 解：-3a=2b, .-.b=,根据正弦定理可得=，故选：D点评： 本题主要考查正弦定理的应用，比较基础15. （2014理庆三模）在 ABC中，若，则/B 等于（）A 30B 45C 60D 90考点：正

21、弦定理专题：计算题分析： 根据所给的等式和正弦定理，得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角形的内角得到角的度数只能是45解答：解：.，又由正弦定理知，sinB=cosB,B是三角形的一个内角，B=45 ,故选 B点评： 本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时，一定要说清楚这个角的范围，这样好确定角度16. （2014训山区模拟）在锐角 ABC中，若C=2B,则的范围（）ABC（ 0， 2）D考点 ： 正弦定理；函数的值域专题： 计算题分析：由正弦定理得，再根据 ABC是锐角三角形，求出 B, cosB的取值范围即可.解答：解：由正弦定理得，ABC是锐角

22、三角形，三个内角均为锐角，即有，0V 兀C B=tt 3B解得，又余弦函数在此范围内是减函数.故vcosBv.故选 A点评： 本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质易错点是B 角的范围确定不准确17. （2014?南平模拟）在 ABC中，如果，B=30 ,那么角 A等于（）A 30B 45C 60D 120考点 ： 正弦定理；余弦定理分析：本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，由在4ABC中，如果，我们根据正弦定理边角互化可以得到a=c,又由B=30 ,结合余弦定理，我们易求出 b与c的关系，进而得到 B与C的关系，然后根据三角形内角和 为 180，即可求出A 角的大小解答：解：

23、二.在4ABC中，如果 a=c又 丁 B=30由余弦定理，可得：cosB=cos30 =解得： b=c 则 B=C=30 A=120故选 D点评： 余弦定理：a2=b2+c2- 2bccosA, b2=a2+c2-2accosB , c2=a2+b2 - 2abcosC.余弦定理可以变形为：cosA= （b2+c2-a2） +2bc, cosB= （a2+c2- b2） + 2ac, cosC= （a2+b2-c2） +2ab18. （2014?广西模拟）在 ABC中，/ A,/ B,ZC所对的边分别为a, b,c,若/A:/ B=1:2,且a： b=1 ：,则cos2B 的值是（ ）A. -

24、B.C. -D.考点 ： 正弦定理；二倍角的余弦分析：根据正弦定理得到sinA: sinB ,因为/ A: / B=1: 2,利用二倍角的三角函数公式得到A和B的角度，代入求出 cos2B 即可解答： 解：依题意，因为a： b=1： ，所以 sinA ： sinB=1 ： ，又/A: / B=1: 2,则 cosA=,所以 A=30 , B=60 , cos2B=- 故选 A点评： 考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题的能力，以及灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值的能力19. （2014?鄂尔多斯模拟）在 ABC中，ZA=60 , b=1, 4ABC的面积为，则边 a的值为（）ABCD 3考

25、点：正弦定理专题：解三角形分析：根据正弦定理的面积公式，结合题中数据算出边c=4,再由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA的式子算出a2=13,即可算出边a的长度解答：解：.ABC中，/A=60 , b=1,可得 ABC 的面积为 S=bcsinA=xiXcXsin60 =解之得 c=4根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=1+16 - 2X 1 x 4X cos60 =13,所以 a=（舍负）故选 C点评： 本题给出三角形一边、一角和面积，求边a 的长度着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦定理解三角形等知识，属于基础题20. （2014双登市二模）4ABC的内角 A B,

26、 C的对边分别为 a, b, c,且 asinA+csinC+asinC=bsinB ,贝U/B （）ABCD考点： 正弦定理专题： 计算题；解三角形分析：由已知结合正弦定理可得，然后利用余弦定理可得，cosB=-,可求B解答： 解：: asinA+csinC+asinC=bsinB ,由正弦定理可得，由余弦定理可得，cosB=-0V B cosB=-= 一 ,sinC=sin (兀A B) =sin (A+B) =sinAcosB+cosA sinB=X (-) +x=, .S=a?b?sinC=x 3X3X=.点评： 本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒

27、等变换的应用，注重了基础知识的综合运用22. (2014?东城区一*H)设 ABC的内角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,且.(I )求的值；(n)求tan (A- B)的最大值.考点 ： 正弦定理；两角和与差的正切函数分析： 本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，(I)由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB ,再利用弦化切的方法即可求的值(n)由(I)的结论，结合角 A, B, C为4ABC的内角，我们易得 tanA=4tanB 0,则tan (A- B)可化 为，再结合基本不等式即可得到tan (A- B)的最大值.

28、解答：解：(I)在 ABC中，由正弦定理得即 sinAcosB=4cosAsinB ，则；(n)由得tanA=4tanB 0当且仅当时，等号成立，故当时，tan (A- B)的最大值为.点评： 在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式23. (2014硒江)在4ABC 中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知 ab, c=, cos2A- cos2B=sinAcosA - sinBcosB (I )求角C的大小；(n)若sinA=,求 ABC的面积.考点： 正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦专题：

29、 解三角形分析： (I) ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin(A+B)sin(A-B)=2?cos ( A+B)sin(A- B).求得tan (A+B)的值，可得 A+B的值，从而求得 C的值.(n)由sinA= 求得cosA的值.再由正弦定理求得 a,再求得sinB=sin(A+B) -A的值，从而求得 ABC的面积为 的值解答： 解：(I) ABC 中，awb, c=, cos2A cos2B=sinAcosA - sinBcosB , . . 一 =sin2A sin2B ,即 cos2A cos2B=sin2A sin2B ,即一2sin (A+B) sin (A B)

30、 =2?cos ( A+B) sin (A B). . awb, . AwB, sin (A B) w0, .tan ( A+B) = - , 1- A+B= . C三(n) sinA= (舍去)，.1 cosA=由正弦定理可得，=，即=,，a=.1. sinB=sin ( A+B) A=sin (A+B) cosA cos (A+B)sinA= ( 一) x =, .ABC的面积为 =X=.点评： 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题24. (2014以津)在ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知a- c=b, sinB=sinC

31、 ,(I )求cosA的值；(n)求 cos (2A-)的值.考点： 正弦定理；两角和与差的余弦函数专题： 三角函数的求值分析：(I)已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a,利用余弦定理表示出cosA,将表示出的 a ， b 代入计算，即可求出 cosA 的值；(n)由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出 sin2A 与 cos2A 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值解答： 解：(I)将sinB=sinC ,利用正弦定理化简得：b=c,代入 a - c=b,

32、得： a- c=c, 即 a=2c, cosA=(n) .cosA=, A为三角形内角，sinA=,2 .cos2A=2cos A- 1 = - , sin2A=2sinAcosA=,贝U cos (2A- ) =cos2Acos+sin2Asin= - x+x=.点评： 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键25. (2014?兴安盟一模)在 ABC中，角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且满足(2c- a) cosB - bcosA=0.(I)若b=7, a+c=13求此三角

33、形的面积；(n)求sinA+sin (C)的取值范围.考点： 正弦定理；同角三角函数基本关系的运用专题： 计算题分析： 利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由 sinC 不为0，得到cosB 的值，由 B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到 B 的度数，(I)根据余弦定理，由 b, cosB和a+c的值，求出ac的值，然后利用三角形的面积公式，由 ac的值和 sinB的值即可求出三角形 ABC的面积；(n)由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到A+C的度数，用A表示出C,代入已知的等式，禾I用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A 的范

34、围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围解答： 解：由已知及正弦定理得：(2sinC-sinA) cosB - sinBcosA=0 ,即 2sinCcosB - sin (A+B) =0,在 ABC 中，由 sin (A+B) =sinC故 sinC (2cosBT) =0, CC (0,兀)，.sinCw0,2cosB- 1=0,所以 B=60 ( 3 分)(I)由 b2=a2+c2- 2accos60 = ( a+c) 2 - 3ac,即 72=132 - 3ac,得 ac=40 (5 分)所以 ABC的面积；(6分)(n)因为=， (10分)又 AC ( 0,),

35、，则 sinA+sin (C-) =2sin (A+) (1, 2.点评： 此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题26. (2014百国建模拟)设 ABC中的内角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,且，b=2.(I)当时，求角 A的度数；(n)求4ABC面积的最大值.考点： 正弦定理专题： 计算题分析：(I)由 可求sinB=且B为锐角，由b=2, 2=考虑利用正弦定理可求 sinA ,结合三角形的大边对大角且av b可知Av B,从而可求 A,(II )由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2- 2accosB ,把已知代入，结合 a2+c2A2ac可求ac的范围，在 代入三角形的面积公式可求 ABC面积的最大值.解答： 解： sinB=且B为锐角(1) b=2, a=由正弦定理可得，avb，Av B.A=30( II )由， b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2 - 2accosB从而有ac =, 当且仅当 a=c 时等号成立，cosB的最小值为.点评： 此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键29. (2014理庆)在ABC中，内角 A B C所对的边分别是