高考数学知识点—导数赋值取点问题总结

1、高考数学知识点一导数赋值取点问题总结函数中的赋值问题第一讲赋值的意义的数赋值是一个热门的话陶，赋值之所以“热二是因为它;步及到函数版域的方方面面： 讨论函数零点的个数（包括零女的存在性.唯一性L求含参函数的极值或最值；证明类超越不 等式；求解某色特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的毒数取值范围等等.然而时下，在相当部分学生的答卷中，甚或在一些地区的模独试卷的标准解答中，种以 概限语言或极限观点皆代聃伯论证的“素描式”篝题现象应予*注和纠正.L从一道调研试题的标准解答说起题耳1已知函数f（N）= K' +! -加力三R）.Cl）略;%（2）设若f （处在R上有且只有一个零点.求日的

2、取信范围.2020-4-8 10:49 上传下载 W件（0 Bytes）解；<2）则方程*十工JO即r =三有唯一群.ehJJtf 2 - 无x记一二+，令$=0./=2 .ee工£0时g'（x） W 0.君（耳）单调减.x-烈工） = 1所以占“）2虱6 =。二> 以幻的取值的国是IA+s） （?）®0<x< 2时.幻的取值范围是32）；工云2时，/CO忌0,酬出单调减，且恒止.所以岳（无）的取值冠围是，已 .所以当-V二。或-告时，兴用有且只有一个考点，故u的取值范围是。二0或“c-2 .¥ 一质疑I1. “贸融三0”与一耳但的

3、翠依电图是曲十叼”是否等价？作为指挥棒的省石、国号乂是怎样处理相关问题的呢?2.也许解答的潜意识是人T-oo=>g(x)->+8 .那么其依据是什么？答：一个中心：参数全程扫描；一个基本点：赋值丝丝入扣.2.真题探究题日2 （2013江苏20）设函数/（x） = lnx ax.g（x） = e, ax .其中a为实数.(1)略；(2)若g(x)在(-L+s)上是单调增函数,求八k)的零点个数.并证明你的结论.（2）解：由s（x）在（_.+s）上午调增.得（过程略）.er w o时，fx = ' - a > o, /（X）/, A而尸）=a（1 - 尸）-l< 0

4、,/（e） = l-ae>0, IL f（x）图像不间断, 依据零点定埋，/（幻有且只有一个零点.【分析a>0时,由r（x）=0nx =5（极大值点卜/（A）m = ln-1 21二工时,/（幻=lnx - Lj 令 f'（x） = L-L=0,x=e .且 x >e,/'（幻 < 0,0< x< c.fXx） >0 .X(0，) a1 a(”)r(.t)+0fM/(Ra、所以/(幻=/，)= In 5 - 1 > 0 .所以4=C是/(幻的极大值点.也是最大值点.所以f (X)/(e) = 0 .当R仅当大二仁“的二。.故/(文

5、)有唯一零点x = e .500av工时.令/(五)上一” 0.x 工列表: cxa在(0,十)上，1) = -。0且“刈单调，所以 x)仃且只仃一个零点;右(L+s)匕 显然注意到2的结论(ExwLt). acTe所以 /(r)二 2In - - - - 2(In- - J*) W 2(- - 0 同理 /( t) f且只 f 个零点.cr a a a 2a ca la由/(X)有两个零点.综上所述，节或用1时，”2有1个零点；当OvaV工时.有2个零点. ee【注1】本题第(2)问“30。工时”赋值点的形成过程及其多元性: e左（0,5）匕 因为ig（q，!）.且为常数.所以理应成为目四赋

6、值点的首选.在A.+S）上【难点！】依据单调性,直观赋值点应在上右侧充分远处.片试2,失败！ aaa表明该赋值点不鲂远,再改试二，成了！（过程如上）.显然，赋值点不唯一.6T在（0，）上,也可考虑&/（L）（）（标解）， acat或a ' f （a） = Ina - a： v -1 - M 0 （均不及赋值 1 简便. a在4.+s）| .也 nJ 孑虑.m'- ,f= eln eln = e（ln L -）这 0 aa， aa e a还可号虑3e!（标解），并注意到x0时.e，/（证略）,/）=5-/= a（'y -/） 0 .【注2】在本题2°结论

7、（InxwLr）的牵引卜,区间（工+s）上的三个赋值点工,-L,/一脉相承, eaa a井然有序：因为ln*W“Ue2M（当且仅当x = e.等号成立）.所以 ea a aI以上赋值均为先直观，后放缩.其特点是见效快,但有时TT点悬，解、证风险大.所以，当直观赋值受挫时.不妨通过放缩.无悬念地求出赋值点.实现解（证）目标.现以区间（L+s）为例a【分析：在右侧充分远处.希印存在七，使演）（）.为此，应意识到在/（X）的表达式中 对/（x）0起主导作用的那一-项是-加.不宜轻易放缩,放缩的目标应锁定lnx.依据lnx x-1（工 1）（证略），/U） 刀一 l-axW0=*Wp ,不妨取为二但&

8、quot;一上？此路受挫.故须调整放缩的尺度】I -" a思路一：山本题20结论,inx . eLlnx- 21n xl W?*? < 父=f(x)< x1 - f/x-0z> x - -r(>) e<r °详解：由本题 2t 结论(Inx W'x).lnx= 21nx2 w'x： v x：=>在(L+s)匕存在、=，,/(») <- axx - = 0 (以下略).acra a思路二：由 ln*Wx-l=>A>l 时,ln：W 一 l=>lnxW： + lnA-l k kk£（

9、i）的任意性给赋值提供r更为宽松的选择空间:令 d-a)x+ k = () = x = " >-O <k7 "a - J > 01k(0< a<-)<ak>./伙-1)+1 >0ef(x) = In x - ax W 十 + In & - I -不妨令k = 2=>s =冬. a w详解,lnxx-l(证略)，In： W gx - 1 n In * < Wa - 1 + ln= < gx +=n f(x) < - x + . 工 22a 2 a ,v 72 a今取x, =3L/(x,)a a&l

10、t;号2埒=。（以下略）.【跟踪训练】1 .思考并解答本讲题目1（2）；2 .思号函数赋值问题1哪些依据和方法.第二讲赋值的依据和方法1 .赋值的理论依据：I）不等式的基本性质以及一些简单代数方程、不等式的求解.2）零点存在定理.基本模式是已知/的符号,探求赋值点，”（假定，< a ）使得/（，）与/（«）异号. 则在（切,a）上存在零点.3）一些基本的超越不等式，如；1. ' 一 W In , （ x - I ； Inx <x. xe2. 时.0W£门<石1X x-t- I2x3. 0<xWl时，3wW1itW 2（i °.x 2

11、xx +14. e' x+1; ec > ev；e' >/+ l（x > O）;e' > x1 +x（x " 0）.【注】应用上述不等式，一般须给出证明.2 .赋值的应对方略：2.1 瓶值的方法：1°直观放缩法.其形态是先直观尝试后放缩证明.其特点是见效快,但有时有点悬,解、证 风险大.（参阅上节“真题探究”）20放缩求解法.其形态是先适度放缩.然后通过解不等式或方程求出腻侑点.其特点是稳妥、 可靠,但有时，目标放缩有点难.（参阅上节“真题探究”中的思路一，思路二）2.2 赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到二个确保，三个优先三个

12、确保： （1）确保卷数能取到它的一切值；（2）确保赋值点落在规定区间内；（3）确保运算可行.AU ”.一 I 1/L7L： U）优先常数赋值点；（2）优先倡助己TT极值求赋值点（参阅2016届南通一模MJ：nx Ina（3）优先简单运算，如 T !等.产 ，2.3 放缩的分类及其口标：放缩于赋值，如影随形，唇齿相依.（1）依放缩的依据划分,可分为无条件放缩和条件放缩两类.前者如'hu&x-l等;后者如¥ 3 0 时,e' W . x v 1 时.e' （= -77） < 二一等，;（2）依赋值点的个数划分，可分为单点式和两点式.前者以解方程为归宿

13、；后者以解不等式为归宿,从某种意义上说.后者是前者受拌时的应急之举.一般情形下，放缩的口标应锁定于对函数的变化趋势起不了主导作用的那些顶；但有些问题中. 很难界定“主9”与其“上5”,此时放缩的尺度取决于时题口中各种因素的综合芍最这止是赋值的难点.例1 (2015届南师附中期中考试N”)己知函数/(八)=gad+2x +(2-a)lnx.(1)略；(2)略；(3)若曲线C： y = f(x)在点.r=1处的切线/与C行且只行一个公共点,求正数0的取值范闹.解析：(3)易得切线)，=柢+今-2,代入)，= x)整理得：5(A) = (?-l)-2(x-I) + (2-«)lnx = 0

14、,题设等价于函数g(x)有fl只有个零点，13/其中a二.【下一步分析：首先讨论.”aW0恒成立(不可能)，及 xa* - a20恒成立=>4.、,恒成立=>。40.】T当aWO.即煤2时.由g'(x) = 0=>x=l.且当>>1 时,gr(x)>Ot g(x)/；当OvxvlM, g'(x)vO, g(x). L所以X二1是g(x)唯一的极小值点，也是最小值点.rig(i)o,故“22满足题意.2° a>0 即 0<°<2 时.由/(入)=0=>玉二1,二 a.【下一步分析：应比较/(入)两零点

15、a4I的大小.】 (r)。-1即“=1时，(4.)二"(一)一0, g(x)/,又g(l)=0,所以。-1满足题设.(2") a > 1 .即 Ocavl 时，当 Ivxva. /(主)<0,所以 g(a)g =。.【瀛着探究:在(a,+8)上,g(x)/，所以在a/i侧充分远处, 希望存在演,使g«)>0,此外应意识到对g(x)>0起主导作用 的那一项应该足彳(丁-1)(该项不宜轻易放缩)，故放缩的主要目标匚是几乎可以忽略不计的“(2-a)lnx 事实上.当x>a>l时，(2-a)lnx>0,所以 4（*）>彳（_

16、|）_2（；1_|） = （；1_1）彳"+1）_2>（'_|）44_210=%=（>0 1详解：乂存在玉=2>a>l,所以(2 a)ln>0,-12（玉-1）=（玉-1）半演+ 1）-2 >（在(a,xj内 g(x)存在零点，所以g(x)至少有两个零点.不合题意.（3）avl,即 1<“<2 时.在（a/）上,g'（x）<0, g"）、所以 g（a）> g（l） = O .【接着探究：布(0,Q)上,&5)/,所以在力=0右副充分近处, 希里存在使g(%)<0.此外应意识到对g(x)

17、<0起主导作用 的那一项应该是Inx (所以不宜轻易放缩)故放缩的主要目标是几乎可以忽略不计的“软/一1)一20一1)”，事实上，当Ocxvavl忖.胃,一1)<0.是几乎可以忽略不计的“彳(丁-1) 2(x l)”，事实上,当0<a<a<l时，胃(/-1)<0,2-2(x- 1)<2>所以g(x)v 2+(2-a)lnx=0>0< x; =e j 详解；乂存在与=/氏<a =三产< I,并注意到彳；一卜0, -2(X-1)<2.)< 2 + (2-a)lnx2 = 2+(2-aj = 0,所以在(0,a)内

18、&(x)存在零点, 从而g(x)至少有两个零点，不合题意.【附证：J六<2踪上所述,a = 1或a22 .eFf = L- < i =】声。2例2(上节“跑目1 (2)”)已知函数/(x) = 2+-以(awR).(1) (3)略.(2)设匕=0,若/。)在R上有且只有,个零点.求的取值范围.正解：(参数扫描)依题意，(幻-火、+/有唯一零点,于是:/(x) = aer 4 x*1° 当，> 0 J(x) > 0 , 不合:2。当。=0./(幻=/有唯一零点,符合;3 当 <0, ,方面 0)二。<0.卜一步,分析I：用直观放缩法尝武年使&

19、quot;M)>0,显然m0(m力v?)因为尸(x) = ae、+2xv0J(x)，所以只要令9Vo且充分小，、-> 0,从而/(.vI) = «ev, +Xj2 > 0.若占为某个负常数,因负数a的任意性，无法确保f(“ >0 ,故玉须与a有关.不妨改试七=，- 1】另方面3a 1<0,并注意到/ 2 .、+ I (证略)./(。- 1)+ (。- 1) + (<J - 1)? > + 1 = ,y2> 0 .所以在(巴。)内/(、)有唯零点.广是文20时.须“D无零点.而/(0)v0.所以Wx>0J(x)<0,即-以&g

20、t;4记 8。)=5(,(>0)，<(1)="2 '),令/(。) = 0=>%=2.当0 天述'(外>。,8(耳)/ ; ee当所以&(幻皿=gCq) = 2=>-a>?，所以av-1.综上。=。或“<-4. e-【注】将零点问题转化为不等式恒成立问题从而使"分参不依赖于形而马u其严密性.【下一步分析2：用放缩求解法求巧使/(“>0.显然玉£(_s,0).事实上*< 0 时, /(x) = ae4 + x2 >ax 1 + 4之0,解之 xl -1另一方面玄 =->A7vO

21、,使/(玉)=比，+X； >« + M =(),且又<0 时/X)二优，+2xv0,/(x).所以在(-8,0)内f(A)有唯零点.(以下过程同上)【下一步分析3：仍用放缩求解法， x <-1 时./(x) = ae' + x' > <jx 1 + a* > n - x>0o .v< n » 取内二 a - 1 】另一方面 3x)= a - I < 0 .使 f (M)= ae" + x； > a + x； > a xt > 0 11. x < 0 时/'(x)=

22、"+2x<0,/(x).所以在(-s,0)内f(x)有啡一零点.(以下过程同1.)例3已知/(x)=xlnK + “讨论/(i)的零点的个数.解：记f(x)的零点的个数为h )的定义域为(0,+s), r(x) = l + lnx.令r(x) = 0nx = 5，当.*>5时，f,(x)>0tf(x)7i 当 0<x<；时,r(x)<0.所以X = 9是/( X )的唯一极小值点也是最小值点，耳1°.当"一上>0,即a>工时，/(X) >0,故4 = 0.2。,当 °-工=0,即 =工时.*)迪=/(

23、1)=0/=1 eu30.当0 ,即a v,时,/(*)皿> <。(如右图所示)i.a<0时.在(05上f(x)v0,在(春+吟匕【途径一】存在/（c-u ） -± a - 1） > 0 ,e由零点定理及5）的单调性k = I.【途径二：通过放缩，求解就值点当M>e时.y（x） >A-4fl>0=>x >-a 当 x>e It x >时,f(x) > x + a >0 .同理 A = 1.ii o - 0 时,由 a In a - 0=> a - 1 < 所以 A 一 1 .iii.0va<

24、;L 时，/(x)min =«- - <0.一方血 1>工，且l) = ">0.另一方面 【途咨-：依据单调性，当0<x«J时，应有/（x）>0,不妨直观尝试与 =/？】1 -注意到K>0时.e'>r （证略）.存在与= <?<4. ea2 1 a2 - -/k +了"，= °'又文）图像在定义域内不间断,所以在（0,目和g.+s）内,/（X）各仃一个零点，故# = 2.【途径二（借助原函数极值求赋值点；）】已证在（0,十8）上 xlnx 2 - 工, H,存在 < &

25、#171;< - = 2a，Ina + a = <“加Ina+ 1 ）2亡亡“1241）>0.同理A = 2.综上所述：当时.“D没布.零点；当。二工或W0时,有I个零点； ee当0va<l时，有2个零点.匚【沱】学生可能出现的认知误区是：当xtO时.xlnxT+s (或-s).【跟踪训练】1 .解不等式：(e- 1)1iia > x-1 ,其中e为自然*j数的底数.解析：记 /(*) - x - I - (c - I)Inx .则原不等式等价 J /(x) < O./r(x) - I-金了 ,令 /'(x) = 0 , xfl = e - I.肖

26、x > % J'(x) > 0 J(x) / ；当 0 v x < /, /(x) .又一方面,存在1< $ J(1) = O,另一方面,存在e > A1,f(e):0 , 所以当口仅当l<A<e时/(x)O.从而原不咛式的解集为(").2 .已知函数f(x) = kix-w + l(acR).讨论函数/的单调性;(2)若f(x)有两个零点N，七(K <石)，求的即解析：易得f(x)在(0，)/,在(L+S)、 a a(2)若。< 0则/(.V)/,/(幻在定义域内最多一个零点，不合.(2)若a(0则x)/,.f(x)在定

27、义域内最多一个/点,不合.所以 a >。口 fWmVi = 上)=In 上 > 0 n 0 v a v 1. a a此时,一方面上使& = -4<0；另一方面,注意到Inx近xl(证略). c a e e丁是，3X| = "rr 使 f(A0) = 1 + 2In +1 2 + 2( 1) = < 0 . aa aa a a依据零点定理以及ftx)的单调性，可知f(x)在(0.1)和%+s)上各7T一个零点.所以的取值范围是(0,1).第三讲赋值的若干经典问题例1 (2015.新课标(1)文21)设函数二Hnx.(1>讨论，'(X)零点的

28、个数；(2)略.解：(外(2.2). X。当 <0时，/'(*)>0，故/'(大)无零点；当 >0时广。)零点的个数即gG)=2w>-a(x>0)零点的个数.记为.f /所以在(0,+s)上 g*)/,所以Wia). 乂 g(a) = a(2e2“-l)>0.| 晨川、下一步如何寻找正数飞使g(毛)< 0?1卜'途役一(直观放缩法)【分析】假定xNO=>g(0) = -av 0.故应将x,锁定在。右侧一点点.直观尝试后,形成如下的一一详解：取%=min*,8«)，2乂卜*一。=小3一2)<。，依据零点定理&

29、quot;21 (力,由w=l.途径二(放缩求解法)【分析】0c x v 1时e，=-<一于是当0<,即0<2xvl时.e1 1 -x2I - 2x1 - 2x2(a + l) 2详解：0<x<lBtew= <5于是当 Ovxv4时,0<2xvl.*vO e-x I - v2l- 2-a.取a="依据零点定理21(7), 1 - 2x2(a+ I) 21 - 2a由，（力”1例2 （2016.全<1）理21）已知函数/（幻=3-2川十“（工-1）2有两个零点.（I）求”的取值范围：（II）略.解析:（I）（参数扫描）/=a-i）e+2a

30、）.1）若 >0,当文0J（x）/,当 x<l,/'（x）v0,/（主）、.，/（刈而。=/（l） = -e<0 一方而,当 x>1lbf /（2） = «>0；另一方面，当X<1时磅傕（标解）存在v0且Avin去 使/®>（占一2斗米（占一1）2=（出% ）>0, L乙L所以在*=1两侧，/（X）各TT一个零点.满足题意.途俟三【分析：当”。时，能对幻起主导作用的那一项显然是6*-1）2,而"jo）变化 幅度不大.是比较理想的放缩目标.x<0Btf/(x)>(x-2)+a(x-l)2>2x

31、-2 + a(x I)2二(x- 1)( 2 + ax - a) > (x- 1)(2 + at)20=> % = a详解：x< 0时,f(x)>x-2+a(x-lf >2x2+a(xl)=(x-lX2 + ax-a)> (x-l)(2+av).今取七二一?<0<1，/(&)>(/一1)(2 +。%)=0,所以在 x=l 两侧， f(x)各有一个零点，满足题意.2")若<0,当所以/有两零点o *>1时,/(«)有两零点U> g(x)=汇-+ a(xI)有两零点，但 g r(x) = - 5)&

32、#39; > 0 n g(x)/ (X-l)'(X-l)所以/（X）不存在两个卷点.综匕的取值范用是（0,+s）.【注】顺便指出,在同解变形中.巧用升降格，可简化的题过程.（证明:力>oe >/ + i）例3 （2017全（2）文21）设函数/（幻二（1一寸把二L（1）略；（2）当x20时, /（4）办+1,求。的取值范围.解：2f (I O F(x) = av + (xz - I)e' 4-10.显然a > 0 (否则若“40 .注意到 e > I .5 .卜一步探求a的范围：令尸（“）= + （+ 2无一1）0>0恒成立=>一4（/ + 2又一1）1/(x) r/(x)= (x2 + 4.v + i je1 > 0 1 所以，(x)/， r(x)( 二 r