《4.2指数函数》最新教研教案教学设计(统编人教A版高中必修第一册)

1、第四章指数函数与对数函数4. 2.1指数函数的概念教材分析本节课是新版教材人教 A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4,2.1节指数函数的概念。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问 题的探究，建立的第四个函数模型。其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。先由实际问题探究，建 立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数 模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的 思想方法。超学目标与核心素和课程目标学科素养1 .理解指数函数的概念与意义

2、，掌握指数函数的定义域、值域的求法.（重点）2 .理解指数函数增长变化迅速的特点（难点）3,培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的 研究方法，发展数学核心素养。a.数学抽象：指数函数的概念；b.逻辑推理：指数函数的底数特点；c,数学运算：待定系数法求指数函数解析式；d.直观想象：指数函数图像；e数学建模：在实际问题中建立指数函数模型；教学重难息重点：理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法.难点：理解指数函数增长变化迅速的特点；课前准备多媒体教学过程教学过程设计意图核心教学素养目标（一）、创设问题情境对于骞？”?> 0）,我们已经把指数 ？的范围拓展到了实数.上一章学

3、习了函数的概念和基本性质，通过对哥函数的研究，进一步了解了研究 一类函数的过程和方法.下面继续研究其他类型的基本初等函数.（二）、探索新知开门见山，通过对指数哥运算及函数概念和性质学习的铺垫，提 出研究课题：指 数函数。培养和 发展数学抽象和 数学建模的核心卜表给出了A ,B两地景区2011问题1 随着中国经济高速增长， 人民 生活水平不断提高，旅游成了越来越多 家庭的重要生活方式.由于旅游人数不 断增加，A, B两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.年至2015年的游客人次以及逐年增加量.时间年A地政M探究问题：探究1.通过景区门票价格制

4、定与参观景区人数，两个变量函数关系的建立，体会A次万次年噌加耳东人次万次年埔加I卅万次£78g312<h>3113413 5阳0&31113r833361】1O1271 1狄瓦阳63091754.82x)07的115弱J 3h7110谒器岳口陶10G55fi?掰1。>?-11072974301 170211HI1522mz711gg<i392Q3721io1102301 1732i 1 1131 Ifi2015713i i1. 21 L3 26比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出A , B两地景区

5、采取不同措施后的年游客人次的图数学源于生活，15发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素介，7用L2 I|H k?Aft/施I 3001100900TOO130011009O» ?0»50»MJ 3QQJ 3003 IttJ? 3JW UH 2flB 3015 时间盛 驰| 3005 2005 旗。2TO 2011 2013 2015 时间而通过典例问题 的分析，让学生 体验实际问题分 析方法，及指数 函数变化特点。 培养分析问题与 解决问题的能 力；观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线 性增长），年增加量大致相等（约为1。万次）；B地

6、景区的游客人次 则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出 变化规律.我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否 通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律 呢？请你试一试.从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以 得到2002年游客人次309=1.11 ,2001年游客人次2782003年游客人次344=1.112002年游客人次309?2015年游客人次1244=1.11 2014年游客人次1118做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的

7、量.结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11,是个常数 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景 区的游客人次近似于指数增长.显然，从2 0 0 1年开始，B地景区游 客人次的变化规律可以近似描述为：11年后，游客人次是2 0 0 1年的 1.11倍；22年后，游客人次是2 0 0 1年的 1.11倍；33年后，游客人次是2 0 0 1年的 1.11倍；xx年后，游客人次是2 0 0 1年的 1.11倍.如果设经过x年后的游客人次为2 0 0 1年的 y倍，那么y= 1.11(XC 0 , +8).这是一个函数，其中指数 X是自变量.问题2 当生

8、物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狎，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么;死亡1年后，生物体内碳死亡2年后，生物体内碳死亡3年后，生物体内碳14含量为(1-p)；14含量为(1-p)；14含量为(1-p) ； 5730死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)573011111根据已知条件，(1-p)=5,从而1-p=(2)布0,所以p=1-(j而0.设生物死亡年数为 x,死亡生

9、物体内碳1 4含量为 v,那么y= (1-p), 11?即？?二(夕言),(xCO, +8).这也是一个函数，指数 X是自变量.死亡生物体内碳1 4含量每年都以 1-(9573°减率衰减.像这样，衰 减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.11如果用字母a代替上述两式中的底数1.11和(2) 5730 ,那么函数 y= 1.11 和？?= (1)5730 )可以表示为？?= ?酌形式，指数函数的概念探究2.通过生物 体死亡时间与体 内碳14含量，函 数关系的建立， 体会指数函数应 用的广泛性，并 建立指数函数的 概念。体会由特 殊到一般的研究

10、方法，发展学生 数学抽象、数学 建模和数学运算 核心素养；一般地，函数y=ax(a>0,且aw 1叫做指数函数，其中 x是自变量，函数 的定义域是.思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?1 .思考辨析(1)y= x2是指数函数.()(2)函数y = 2 x不是指数函数.()通过典例分析，进一步熟悉指数函数的概(3)指数函数的图象一定在 x轴的上方.()念，及认识到指数函数变化迅速的特点；答案(1) X (2) X (3) V(三)典例解析例1.已知指数函数设f(x)=ax(a>0,且awl),且f(3)=兀求 f(0), f(1), f(-3)的值；x分析：要求f(0)

11、, f(1), f(-3)的值，应先求出f(x) = a的解析式即先求出a的值；解：因为f(x)=a，且f(3)=则？ = Tt,解得？?=然, 于是 f(x)=尼，所以 f(0)=曾=1, f(1)=空=3/兀，f(-3)=元1 =；跟踪训练1:已知函数f(x)为指数函数，且？个3) = =， 29则 f(-2) =.3解析：设 f(x) = ax(a>0且 aw 1)由 f 一二得 a 2 = J193,所以 a=3,又 f(-2)=a 2,所以 f(-2)=3 2 = 1.9规律方法1 .在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的

12、自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.2 .求指数函数的解析式常用待定系数法例2 (1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况.解：(1)设经过x年，游客给A, B两地带来的收入分别为f (x)和g(x),则 f (x) = 1150X (10x+600) , g (x) = 1000X278X1.11 .利用计算工具可得，当 x=0 时，f (0) g (0) = 412000.当 x= 10.22时,f (10.22) =g (10.22).结合图可知：当 xv 10.

13、22时，f (x) >g (x), 当 x> 10.22 时，f (x) v g (x).当 x= 14 时，f (14) - g (14) = 347303.这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f (x) >g (x),但g (x)的增长速度大于f (x);根据上述数据，并考虑到实际情况，在 2011年2月某个时刻就有f (x)=这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f (x) vg (x),游客给B地带来的收入超过了A地；由于 g (x)增长得越来越快，在 2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.三、当堂

14、达标1 .下列函数一定是指数函数的是 ()通过练习巩固本 节所学知识，巩 固指数函数的概 念，及了解指数 函数变化特点， 增强学生的数学 抽象和数学直观 和数学运算的素A. y=2x+1 B. y = x3C. y=3 2x D. y= 3【答案】D 由指数函数的定义可知 D正确.2 .下列图象中，有可能表示指数函数的是().【答案】C 由指数函数的增长速度及定义，可知 C正确.3 .已知函数f(x) = (2a1)x是指数函数，则实数a的取值范围是 .12a1>0,i【答案】2, 1 U(1,+8)由题意可知2 解得aq,且al1,所以实数a的取值范围是 2，1 U(1, +°°).