基本积分方法

1、S基本积分方法、换元积分法换元积分法第一类换元积分法第二类换元积分法 1.第一类换元积分法:设f(u),(x)为连续函数，(x)可导，且 f(u)du F(u) C,则锺渊蕖钱纵橹。f (x) '(x)dx(x) f (u)du F(u) CF (x) C常见得凑微分形式:f (ax1 ,b)dx f(axab)d (ax b)D f(axn b)dxnaf (axnb)d(axn b)f (In x)d(ln x)1 f (ln x) - dx xf (ln x)d(ln x)1 f (ln x) dxx f (sin x)cosxdxf (sin x)d(sin x) f (cos

2、x)sin xdxf (cosx)d (cosx)2 f (tan x)sec xdxf (tan x)d (tan x)f (arcsin x)d(arcsin x)f (arcsin x)dx、1 x2 dt tan t sec t例2、1计算arctan x(1 x2)dxt (csc21 1)dttd cott解：令 arctanx arctan x ,rdxx2(1 x2)dx sec2 tdt ,t sec21lxt cottcottdtt cott ln|sint|arctan x.|x|12ln(arctan x)1x22例2、2计算下列积分:(1) eln(1 ex)(2)解

3、：(1)ex ln(1xx e )ln(11 cosx dx阕涣员僦东诰壁。1 cosxex)d(ex 1)ln(1x xe ) (e1)x(exe1) dx (ex 1)ln(11 exex C-1 cosx ,(2)dx1 cosx2(1 cosx) ,dxcosx)22 sin x 2cosx 2.第二类换元积分法:单调、可导且f(x)dx第二注意量x。指数优换?解:(1 cosx)(12,2csc xdxdxc d sin x 2sin x(t)0,又 f (t)sin2 x2cotxdx-2-Csin x有原函数G(t)。则觐IB1办减鸾缜f (t) '(t)dt G(t)

4、C G 1(x) C二角代换：交可购变晕还原提供方便。:辅助土适用被积函数1/kif积分工2根式积分二角有理式积0原式 倒4代换x""一谭猛中得z 5e2e3 6 e6dx .vfdU see rax或ex构成得代数式。X-x-x11 t3 t2 tdt31 t3t 11 t2)dt6lnt 3ln|1xx 3ln |1 e6311 ln(12| 21n(1t2)xe3)3arctant Cx3arctane®C例2、4计算积分dx2x . 1 x解:dxx 1 xx sin t2 cost dt = sin t cost1 sin t cost cost sin

5、t. dtsint cost例2、5计算积分t ln |sint cost |221 arcsin x2x 12 - 2-x1 ln |x2.1 x2 | C一 dx1x 1 dx x2.x2 111t2't2 11(-dt)t2_1_t_. 1 t21dt.1 t2d(1 t2)2、一1 t2分部积分公式:arcsin t ,1 t2 Cx2 1x.1 arcsin 一x二、分部积分法udvuv vdu分部积分法条件：u, v具有连续导数。选取u, v得原则:v要易于求出vdu比ud洛;易求出可用分部积分法求积分得类型:sin axln xPn(x) cosax dx,ax edvx

6、ln xdx。Pn(x)I dvarctan x dx,arccosxu(x)解：原式=In xd2x Iln例2、7计算积分!2arctane2x- ex-dx解:arctanex Ldx e例2、7 设 f (ln x)xdx2x Iln2ax esin ax dx cosaxarctanexd(e 2x)2xxarctanedexe2x(1 e2x)l(e 2x arctanex ex ； 21n(1 x),计算 f(x)dx。arctanex) C。尻喊撷言巨鲤栋粤。解：，设 t ln x ,则 x etf(t)ln(1et)尚鹤樽魂高厌。f (x)dx =4Xxln(1ex)d(e

7、x)xln(1 ex)dxxee xln(1(1 - 1xe 、“ x)dx xe(1e x)ln(1 ex) C。1.有理函数得积分三、几种特殊类型得积分：部分分式之与得积分对于任意有理函数，存在一个固定得代数算法，可以把它分解为四种基本形式得有理分式得与，而这四种基本形式得有理分 式存在相应得积分公式。列出如下：嗜龌锚预劝脸。A(1)dx Aln|x a | Cx a(2)一A-dx(x a)d(x a)Px Q2x px一 dxq(x a)Pln(x 2Px Q(x px q)kdx(xpx入PpPt (Q ) 2其中t(t2 a2)kp2 ,q 4dtA、k a)q)2q pP. ar

8、ctan-2x-p- C2 Pt2 k 出2 2 k(t a )。，犀涟簧笼棒觑。4q p2'dt可以很容易地求出(出(t(t2a2)k而对于第二个积分式,4)中得第一个积分为1o 22 k 1(k 1)(t a )我们可以得到递推公式I ， tn 1 2na2 (t2 a2)n竽2 In，其中：Ii2na2dt722t a-arctan- C。【注意】从理论上讲，任意有理函数得积分都可以被积出来, 特点，灵活选择解法，常用得方法中有凑微分法与变量替换法。但要分析被积函数得浦慧挤与锯筑债。例2、解:8计算积分 2 xx 5.dxx2 6x 13dx。6x 13I (2x 6) 16dx

9、例2、(1)9计算下列积分2x3 1 ,而dx ;(x 1)100解：(1)令x 16x131 ln(x26x13)4 arctan2x6xx 3Jdx13(x2 dx223)222(2)则dxdx/ 10x(x厩构凝题据闻桧。1)21dx,于就是 最鳏诰绣鹦项2x3 1原式二 二(x 1)100=1u9933 1dx10012(uu1)3 u1(3)du u953u (3u6u26u 2)du3u4998_6u979731u489633(x(2)令 x101原式=工-1)9949(x 1)98697(x 1)9748(x 1)96u ,则du 10x9dx ,于就是 剧须金昆翎聊翻九du10

10、 u(u 1)2 _ 2du 2210 u(u 1)210 u(u 1)(1 u)2du1 r 11=- 10 u u 1111-2du (ln|u| ln|u 1|) C(1 u) 10u 12 .三角函数有理式得积分有理函数得积分 由sinx, cosx及常数，经过有限次四则运算所得到得函数称为三角函数有理式，记作：R(sinx, cosx),积分R(sin x, cosx)dx称为三角函数有理式积分。闰母靶压扩【解题方法】尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成sinkx 或coskx得单项式，或将分母整个瞧作一项。变囱棚绽号纨善。得哥降低，常用倍角公式或积化与差公式

11、。x)尽量使 R(cos x, sin常用积化与差公式：sinxcossinxsincosxcos1 sin(21一 cos(21r / cos(2)x)x)xsin(cos(cos()x)x)x倍角公式:sin xcosx1sin2x , 2sin21(1 cos2x)221cos2 x - (1 cos2x)鳏貌进酱斩邻。 2在积分得过程中注意2 一sin xcos得妙用。例2、10计算下列积分(1)dx_.一 3sin xcos(2)解:1_ .一 3-"T5-sin xcos x2sin xx sin x .dx ；1 cosx2 cos x(3)sin2 xcos4 xdx

12、。锻肤S!键。一一 35sin xcos x一一22sin x cos x5sin xcos x2sin x3 sin2 cos x13- xcos x5 sin xcos x1 3 sin xcos xsinsin x5- cos x33xcos x1_3sin xcos x13_sin xcosx故原积分=(驾3 cos x23-sin xcos x 22(sin x cossin x5 cos2 x)3sin xcos x2sin x3 cos x2sin x3 cos x3sin xcosx3sin xcosxsin xcosxsin x5cos x.2 sin xsinsin x5c

13、os xsin x5 cos xsin x5 cos x2cos xxcosxcosx3-sin xcosx_.一 3sin xcosx3sin xsin xcosxsin xcosxcosx、)dxsin x(2)14-4 cos xx sin xdx1 cosx1 12 - C .2-cos x 2sin xxdx1 cosx3ln |csc2xsin xdxcosx(3)24sin xcoscot 2x|22cos-dx xln(1cosx),xxd tan 一 2ln(1 cosx)1(116cos2xx =xtan-2x =xtan-21 2x -sin4-(1161 (1161xt

14、an dx2x2 In |cos- |2ln(1 cosx)c 1 cos2x2x cos2xcos2xcos4x - cos 2x2ln(1 cosx) C11(1 cos2x) -8cos4x2cos4xcos4xcos2xcos4x)11一 cos2x 一 cos6x)故 原积分221-cos6x)dx1x161 sin 2x641 sin4x64 sin6x C 1923.无理函数得积分有理函数得积分 无理函数得积分，一般就是通过选择变量替换，化为有理函数得积分来进行。解解题方法】利用第二类换元法中得三角代换；若被积函数含有Vax bax b，vcx-,可令n ax bax bncx

15、d擘镖。若被积函数含有双,mx ,可令改t ,其中m, 小公倍数。堕洼哗慑愈复最【注意】无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。n为正整数，p例2、11计算积分x 2 . dx解：令消2(t2t2dx8t(t2 1)2dt原积分二4t2(1 t2)(1 t2)dtdt1 t2dt1 t2In2arctant=In1 ,(x2)(x 21.(x 2)1, (x 2)x 22arctan x 2xf (t)dt ,则有a0,，求 f (x)dx。08, 0), (0, +8)内得原函数。垫速辗嘴贴睑恒。四、分段函数得积分连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有如果函数在分界点连续，则在包含该点得

16、区间内原函数存在。如果分界点就是函数得间断点，那么在包含该点得区间内，不存在原函数。【解题方法】方法一 先分别求出函数得各分段在相应区间内得原函数； 由原函数得连续性确定出各积分常数之间得关系。方法二 利用变上限积分函数，先求出f (x)得一个原函数xf (x)dx = f(t)dt+Ca2(注意：方法二省去了确定常数得麻烦)例2、12设f (x) x ,sin x,贫奥闻鸦寻。解法一：由于f (x)在在x=0连续，故f (x)得原函数存在，因此先分别求出f (x)在(-1, x 013F(x) 3x C1, x 0cos x C 2, x 0由原函数F(x)得连续性，考虑 F(x)在x= 0

17、处得左、右极限，得CiC2 C21CiCiC, x 01x3 C f(x)dx 3x C, cosx 1解法二：设f (x)得一个原函数为xF(x) f(t)dt,而0xF(x) f(t)dt =02 ,x dx, x 0sin xdx, x 0o1 33x , cosx1 3Xf(x)dx=F(x) C=3xcosxC, x 01 C, x 0。耀宝鹦绫。例 2、13 求 minl, x2dx。1, 解：min 1, x2x21,由于 min1, x2在 x= - 1, x=1min1, x2在(6, 1), (1,1),由原函数F(x)得连续性，考虑limx 1F(x)因此连续，故min1

18、, x2得原函数存在，因此先分别求出x C1, xlim F (x) lim F (x) x 1"C2F(x)所谓抽象函数得不定积分,同样可用换元法与分部积分法O解：原式f(x)f'(x)1 3(1, + 8)内得原函数。F(x)-x33 xF (x)在 x= 1lim F (x)11-x 3五、x= 1处得左、右极限C1C2C,C2,C3故C1C2，C3C2C2抽象函数得积分就是指被积函数由抽象函数所构成得一类积分。其解法例2、13求不定积分f (x)f'2(x) f 2(x)f''(x)f'3(x)dx一 2一 一f'2(x)f(x)f”(x)2f'2(x)dx例2、14求设f (x)得原函数为:.1解： xf'(2x)dx xd(f (2x) 211-xf (2x)243d f'