题型专题--几何最值之定点到定圆模型

1、J专题e佝星佳之定点到定勤横型最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以 才会有最值.当动点的运动轨迹是一个圆时，题目很少直接告诉我们动点轨迹 是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出 动点的轨迹图形，找到这个（辅助）圆就是最大的问题.基本模型几何最值f定点到定圆n连心线点P在圆0上，AP何时最小？（何时有最大值？）10例题：如图，已知圆C的半径为3,圆外一定点0满足005,点P 为圆C上一动点，经过点0的直线1上有两点A、B,且0A=OB, Z APB=90° , 1不经过点C,则AB的最小值为.【分析】连接0P,根据4APB为直角三角形且0是斜边

2、AB中点，可 得0P是AB的一半，若AB最小，则0P最小即可.连接0C,与圆C交点即为所求点P,此时0P最小，AB也取到最小值.（1）定点定线（定心定半径）淀网在 RSABC 中，ZC=9O° , AC=6 , BC=8，点 F 在 AC 上，且CF=2，点E为BC上一动点，将KEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是解析：动中取静，以静制动。P随E动（E主动，P从动）,FP二FC为定值，所以从动点P的轨迹：以F点为圆心，以CF长为半径的圆, 结合垂线段最短可解（如图示X答案：6/5 训练: 1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，NA=60° , M

3、是AD边的中点,N是AB边上的一动点，将AAMN沿MN所在直线翻折得到4A' MN,连 接A' C,则A' C长度的最小值是.【分析】考虑AMN沿MN所在直线翻折得到AA' MN,可得 所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧.连接CM,与圆的交点即为所求的A',此时A' C的值最小.构造直角&!1（；,勾股定理求CM,再减去A' M即可.2、如图，在 RtAABC 中，NC=90°,AO6, BC=8,点 F 在边 AC 上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点

4、P到边AB距离的最小值是【分析】考虑到将4FCE沿EF翻折得到AFPE,可得P点轨迹是以F 点为圆心，FC为半径的圆弧.过F点作FHLAB,与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离 最小.由相似先求FH,再减去FP,即可得到PH.H3、如图，已知等边ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点（与 点A、B不重合）.直线1是经过点P的一条直线，把AABC沿直线1 折叠，点B的对应点是点B'.当PB=6时，在直线1变化过程中，求 ACB'面积的最大值.【分析】考虑1是经过点P的直线，且AABC沿直线1折叠，所以B'轨迹是以点P为心,PB为半径的圆弧.考虑aACB'

5、;面积最大，因为AC是定值，只需B'到AC距离最 大即可.过P作作PHLAC交AC于H点，与圆的交点即为所求B'点, 先求HB',再求面积.（2）定线定角一定圆即：定线段和动点组成的三角形中，如果以动点为顶点的角度为 定值，那么这个动点的轨迹是一个圆（或一段圆弧）。在“定线对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”, 关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角都相.定线必不可少，而定角还可为一些特殊角.例如，AB为定值，NP为定角，则A点轨迹是一个圆.当然，NP度数也是特殊角,比如 30° 、 45° 、

6、60° 、 120° 、135° ,分别作对应的轨迹圆.如下面图示:例题：如图，点P是正方形ABCD对角线BD上一动点（不与B、D重合）, 连AP,过点B做BH_LAP于H,连DH,若AB=4,求DH的最小值。解析：点P主动，点H从动，NAHB=90° （定值），所以从动点H 的轨迹为：以AB为直径的圆，再结合两点之间线段最短，可解。答 案：2>/5-2 训练：1、如图，等边4ABC边长为2, E、F分别是BC、CA上两个动点，且 BE二CF,连接AE、BF,交点为P点，则CP的最小值为.【分析】由BE二CF可推得4ABE名BCF,所以NAPF=6

7、0° ,但NAPF 所对的边AF是变化的.所以考虑NAPB=120° ,其对边AB是定值.所以如图所示，P点轨迹是以点0为圆心的圆弧.（构造OA=OB 且NA0B= 1200 )当0、P、C共线时，可得CP的最小值，利用RtaOBC勾股定理求得0C,再减去0P即可.2、【2017山东威海】如图，ZXABC为等边三角形，AB=2,若P为4ABC 内一动点，且满足NPAB二NACP,则线段PB长度的最小值为3、（2019 南京中考）在ABC 中，AB二4, NC=60° , NANB,则 BC 的长的取值范围是.【分析】先作图，如下很明显，AB是定值，ZC=60

8、76; ,即定边对定角.故点C的轨迹 是以点0为圆心的圆弧.（作A0=B0且NA0B=120° ）题意要求NA>NB, KP BO AC,故点C的轨迹如下图.6'当BC为直径时，BC取到最大值，考虑NA为aABC中最大角，故BC为最长边，BCAB=4.无最小值.4、已知正方形ABCD边长为2, E、F分别是BC、CD上的动点，且满 足BE二CF,连接AE、BF,交点为P点，则PD的最小值为.【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这 样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE二CF,易证AELBF,即在运 动过程中，ZAPB=90° ,故P点轨

9、迹是以AB为直径的圆.连接0C, 与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度.5、（2016 安徽中考）如图，RtZkABC 中，AB±BC, AB=6, BC=4, P 是ABC内部的一个动点，且满足NPAB二NPBC,则线段CP长的最小值0P即可.【分析】ZAPB=90° （定角）AB （定线），.P点轨迹是以AB为直径的圆弧.当0、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求0C,再减去6、如图，AB是半圆0的直径，点C在半圆0上，AB=5, AC=4. D是 弧BC上的一个动点，连接AD,过点C作CELAD于E,连接BE.在 点D移动的过程中，BE的最小值为.

10、【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，NAEC=90° ,且 AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧.当B、E、M共线时，BE取到最小值.连接BC,勾股定理求BM,再减 去EM即可.7、如图，在 RtZABC 中，ZACB=90° , BC=4, AC=10,点 D 是 AC 上 的一个动点，以CD为直径作圆0,连接BD交圆。于点E,则AE的最 小值为.【分析】连接CE,由于CD为直径，故/CED=900 ,考虑到CD是动 线段，故可以将此题看成定线段CB对直角NCEB.取CB中点M,所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧.连接AM,与圆弧交点即为所

11、求E点，此时AE值最小,AE = AM-EM = J1Q2+22 - 2 = 2>/26-2 , 8、如图，正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B 时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG, 则AG长的最小值为.【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE二CF, BGLEF,但N BGE所对的BE边是不确定的.重点放在AE二CF,可得EF必过正方形中心。点，连接BD,与EF交点 即为0点.ZBGO为直角且B0边为定直线，故G点轨迹是以B0为直径的圆.记B0中点为M点,当A、G、M共线时,AG取到最小值,利用RtZkAOM勾股定理先求AM,再减去GM即可.J 4题山佝星保之香俵世星触几何最值