2018年济南市历城二中高考数学一模试卷(文科)及答案

1、2018年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. （5分）若集合 A=1, 2, 3, B=1, 3, 4, 5 , WJ AH B 的子集个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 162. （5分）已知点A （0, 1）, B （3, 2）,向量正二（-T, -4）,则向量正=（）A. （10, 7） B. （10, 5） C. （-4, -3） D. （-4, T）3. （5分）已知i为虚数单位，复数z满足i?z= （1 - 2i） 2,则z=（）A. - 4+3iB, -

2、2+3iC. 2+3iD. - 4-3i4. （5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从 这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概 率为（）5. （5分）已知点P在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线 C上，抛物线C的焦点为F,准线为1,过点P作l的垂线，垂足为Q,若/PFQ三，ZXPFQ的 | 6 |面积为则焦点F到准线1的距离为（）A. 1B. VC, 2岛.36. （5分）已知偶函数f （x）在（-0上是增函数.若a=f （logj）, b=f （log13）, c=f （2 0.8）,则a, b, c的大小关系为（）TA. a

3、<b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a< b7. （5分）九章算术中的 两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题： 今有垣厚若 干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何 日相逢，各穿几何？ ”现有墙厚5尺，如下说法：小鼠第二天穿垣半尺；两 鼠相遇需四天；若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休.则以上说法错误的个数 是（）个.A. 0B. 1C. 2D. 38. （5分）已知函数y=Asin （叶小）（0, |（|）| <, x R）的图象如图所示,则该函数的单调减区间是（）A. 2+16k, 10+16k （k

4、CZ） B. 6+16k, 14+16k （kCZ）C. -2+16k, 6+16k （kZ） D, 6+16k, 2+16k （kC Z）TT9. （5 分）在梯形 ABCD中，/ABC=, AD / BC, BC=2AD=2AB=2 将梯形 ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A. 4ttK （4+/2）兀。6兀口 （5+点）冗10. （5分）执行如图所示的程序框图，则输出 s的值为（）A.B.' - C.'!- ID. 11. （5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（A. 2B.二C. 1D.3pa-Sy410>01

5、2. (5 分)若存在(x, y)满足r+2Y-9>U,且使得等式 3x+a (2y- 4ex) (lny-lnx） =0成立，其中e为自然对数的底数，则实数 a的取值范围是（A. ( 8, 0)u,+00) B.,+oo) C. (一oo, 0) D. (0,二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）10“ 、，若 f（°）=2,则 a+f （一,（ >1）2）=.14. （5分）已知等差数列an,其前n项和为Sn, a2+a8=2am=24, ai=2,贝U S2m=.15. （5分）已知点P和点Q分别为函数丫=3、与y=kx图象上的点，若有且只有一 组点

6、（P, Q）关于直线y=x对称，则k=.16. （5分）已知点Fi, F2为椭圆Ci： 1t2 1，2=1 （a>b>0）和双曲线C2: -号=1 （a'>0, b'>0）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足/ bz 2FiPE=90°,设椭圆与双曲线的离心率分别为 ei, e2,则-g+ = .el e2三、解答题：(本大题共5小题，共70分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (12分)已知 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, bsin (B+C) +acosA=0 且 c=2, sinC千.(1

7、)求证：A=+B;(2)求 ABC的面积.18. (12分)如图，在四棱锥PABCM,底面ABCD边长为2的正方形，平面 PACL平面 PBD.(1)求证：PB=PD(2)若M为PD的中点，AM,平面PCD求三棱锥DACM的体积.8C19. (12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他 们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒而就 诊的人数，得到如下资料：日期1月102月103月104月105月106月10日日日日日日昼夜温差x (C)1011131286就诊人数y (个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取

8、2组，用剩下的4组数据 求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.(I)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(H)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程；=bx+a；(田)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的， 试问该小组所得线性回归方程是否理 想？参考公式：线性回归方程的系数公式为a=y- b k.20. (12分)已知曲线C的方程为ax2+ay2- 2a2x-4y=0 (aw0, a为常数).(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴，y轴交于点A, B (A, B不

9、同于原点O),试判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l: y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M, N,且ON?)N = -旨，求a b的化21. (12 分)已知函数 f (x) =a (x2-x) - Inx (aC R).(1)若f (x)在x=1处取到极值，求a的值；(2)若f (x) >0在1, +oo)上恒成立，求a的取值范围；(3) 求证： 当 n>2 时，-+- > 匕-1 . In2 ln3 Inn n选彳4-4：坐标系与参数方程22. (10分)以直角坐标系的原 。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已

10、知直线 l的参数方程为(Al+2t (为参数)， I曰t圆C的极坐标方程为p =2(I)写出直线l的一般方程及圆C标准方程；(H)设P(- 1, 1),直线l和圆C相交于A, B两点，求| PA -| PB|的化选彳4-5：不等式选讲23. 已知不等式|x+2| - | 2x-2| >2的解集为M.(I )求集合M ;(H)已知t为集合M中的最大正整数，若 a>1, b>1, c> 1,且(a-1) (b-1) (c- 1) =t,求abc的最小值.2018年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60

11、分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. （5分）若集合 A=1, 2, 3, B=1, 3, 4, 5 , WJ AH B 的子集个数为（：A. 2B. 3C. 4D. 16【解答】解：集合 A=1, 2, 3, B=1, 3, 4, 5,则 AH B=1, 3,An B的子集个数为22=4.故选：C.2. (5分)已知点A (0, 1), B (3, 2),向量氏=(-乙-4),则向量正=(A. (10, 7) B. (10, 5) C. (-4, -3) D. (-4, T)【解答】解：根据题意，点A (0, 1), B (3, 2),则向量，二(3, 1),又由

12、前二(-L 7),贝1向量 AC=AL+BC= ( - 4, - 3);故选：C. (5分)已知i为虚数单位，复数z满足i?z= (1 - 2i) 2,则z=()A. - 4+3iB, - 2+3iC. 2+3iD. - 4-3i【解答】解：= i?z= (1 2i) 2= 3-4i,-3-4iE- ：,2 -i十 3i故选：A.4. （5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从 这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概 率为（）15【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫, 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的

13、彩笔,基本事件总数n=;=10, 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m=c；c；=4,丁取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为_m _ 4 _2n 10 5故选：C.5. （5分）已知点P在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线 C上，抛物线 C的焦点为F,准线为1,过点P作l的垂线，垂足为Q,若/PFQ=J, zPFQ的 面积为6,则焦点F到准线1的距离为（ ）A. 1B. V3C. 2寻.3【解答】解：不妨以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例，如图,由题意， PFQ是等腰三角形，设PQ=PF=a贝尸”=正，解得：a=2，QF="焦点F到准线l的距离为2jl?co哈=3,)

14、,b=f (log故选：D.a=f (l=f ( log25) =f (log25),b=f (log j_3) =f ( log23) =f (log23), T.,0<2 0.8< 1 <log23<2<log25, .f (2 0.8) >f (log23) >f (log25),即 c>b>a,故选：A7. （5分）九章算术中的 两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题： 今有垣厚若 干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何 日相逢，各穿几何？ ”现有墙厚5尺，如下说法：小鼠第二天穿垣半尺；两 鼠相遇需四天；若

15、大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休.则以上说法错误的个数 是（）个.A. 0B. 1C. 2D. 3【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以 1为首项，以2为公比的 等比数列， 前n大打洞之和为 H：=2n - 1 ,1-2小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以方为公比的等比数歹I,小老鼠前n大打洞的距离之和为小鼠第二天穿垣1X二即为半尺，正确;两鼠相遇设为n天，可得2n-1+2-二5,2日解得2<n<3,即最多3天，故错误;若大鼠穿垣两日卒，此时共穿墙1+2+1设小老鼠需要k天,即为2-二2k+1 2显然方程无实数解.则小鼠至死方休，正确.故选：B.8. （5分）已知函数y=A

16、sin （叶小）（0, |祝夕，xC R）的图象如图所示, 则该函数的单调减区间是（）A. 2+16k, 10+16k (kCZ) B, 6+16k, 14+16k (kCZ)C. -2+16k, 6+16k (kZ) D. 6+16k, 2+16k (kC Z)【解答】 解：由图象知A=4, 1=6- (2) =8,即T=162工,2W贝J y=4sin小），由图象知（-2, 0）, （6, 0）的中点为（2, 0）,当 x=2 时，y= - 4,即一4sin (7TX 2+ 小)=4,即 sin ( +() =1, gp2L+(|)2L+2k7t, 442即小 J+2k tt,4,| 4

17、<子,iu则 y=4sin (兀喈），IP 16k+2<x< 16k+10, k Z,即函数的单调递减区间为2+16k, 10+16k （k Z）,故选：A （5 分）在梯形 ABCD 中，/ABC专，AD / BC, BC=2AD=2AB=2 将梯形 ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A. 4ttK （4小巧）冗。6TtD. （5+/2）冗【解答】解：.在梯形 ABCD中，/ABC=-, AD/ BC, BC=2AD=2AB=2将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB=1,高为BC=2的圆柱

18、减去一个底面半径为AB=1,高为BC- AD=2 1=1的圆锥，一几何体的表面积为：S= 7tx 12+2ttX 1 X2+TT X 1 乂 Ji 2 + I 2=(5+) Tt.故选：D.10. （5分）执行如图所示的程序框图，则输出 s的值为（A.B. ' - C.'!' 'D.' 【解答】解：第一次循环，n=1, s=0, s=/2- 1<2017,第二次循环，n=2, s=/2- 1+/3-x=/3- K2017,第三次循环，n=3, s=R- 1K2017,第四次循环，n=4, s=/S- 1,第 2017 次循环，n=2017, s=7

19、201S - 1,第 2018 次循环，n=2018>2017,满足条件，跳出循环，输出s=反而反-1,故选：A.11. （5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（A. 2B. -C. 1D.3【解答】解：多面体的三视图得该多面体是长方体 ABCD- A1B1GD1去掉两个三 棱锥Ai - AED和Bi - BEC剩余的几何体，其中 AB=2, AD=AA=1, E是 A1B1 的中点, 该多面体的体积:v=欣 口-%与3% 一。一喇 一% 寸=2X1X 1-y XyXXyX 1X1X1,J 乙J 乙3故选：B.Bpit-310>012. (5 分)若存在(x, y)满

20、足2y-9>。，且使得等式 3x+a (2y-4ex) (lny13 耳 p-lnx) =0成立，其中e为自然对数的底数，则实数 a的取值范围是()as。【解答】解：画出不等式组+2y-9>0 表示的平面区域, 牛-6< 0如图所示；A (1, 4), B (3, 3), C (4, 6);3x+a (2y 4ex) (lnylnx) =0可化为-二二2 (工-2e) ln工，a kk设 t二,其中 10t&4:=2 (t-2e)令 m二(t 2e) Int, (1<t<4),贝U m =ln+ 一当 t>e 时，m'>m' (

21、e) =0,当 0<t< e 时，m' < m' (e) =0,m>m (e) = - e,> 2e,a解得a<0或a>-;又a值不可能为负值，实数a的取值范围是工，+°°）.2e|故选：B.、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）(1口82 (支102) = 2 .(k l<i)(I x |>1),若 f (0) =2,则 a+f (一11口82(艾+声，(|父|(1)10“、，f =2,17FT '(|x|>1)f (0) =log2 (0+a) =2,解得 a=4,f (-

22、2)=-10-2¥3 = 2,a+f (- 2) =4- 2=2.故答案为：2.14. (5分)已知等差数列a,其刖n项和为Sn, a2+a8=2am=24, ai=2,贝U S2m=理2【解答】解：.等差数列an,其前n项和为S, a2+%=2玉=24,m=5, a5=12, ai=2, - a5=2+4d=12,解得 d=-y ,. &m=S0=”X 界吗2 斓障.故答案为：二15. (5分)已知点P和点Q分别为函数丫=3*与丫=版图象上的点，若有且只有一 组点(P, Q)关于直线y=x对称，则k=L或k0 0 .【解答】解：根据题意，函数y=ex的反函数为y=lnx,则

23、函数y=lnx与函数y=ex 关于直线y=x对称， 若有且只有一组点(P, Q)关于直线y=x对称，即函数y=lnx与直线y=kx有且只 有一个交点， 即方程lnx=kx只有一个根, 当k00时，明显成立，当 k>0 时，令 f (x) =lnx kx, (x>0)方程lnx=kx有且只有一个根，即函数f (x)只有一个零点,f，(x) - - k-kK , XK分析可得：在(0, 1)上，f'(x) >0, f (x)为增函数,在(L, +OO)上，f，(x) <0, f (x)为减函数， k则 f (x)有最大值 f (1),必有 f (_) =lnl -1

24、=0, kk k解可得k工； e故有k0 0或k-； e故答案为：k< 0或k.2216. (5分)已知点Fi, F2为椭圆Ci：。且7=1 (a>b>0)和双曲线C2:2不2且亏=1 (a'>0, b'>0)的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足/F1PF2=90°,设椭圆与双曲线的离心率分别为 e” e2,则 与1 = 2el e2【解答】解：可设P为第一象限的点，|PR|二m, |PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a,由双曲线的定义可得 m - n=2a'可得 m=a+a', n=a- a',由/F

25、1PE=90°,可得m2+n2= (2c) 2,即为(a+a') 2+ (a - a') 2=4C2,化为 a2+a'2=2c2,即有1：+=2. e1 e2故答案为：2.三、解答题：(本大题共5小题，共70分，解答请写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)17. (12分)已知 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, bsin (B+C)+acosA=0 且 c=2,sinC=- E(1)求证：A=一+B;2(2)求 ABC的面积.【解答】(本题满分为12分) 解：(1)证明：因为 bsin (B+C) +acosA=Q 可彳bsinA+a

26、cosA=0, 又由正弦定理得：bsinA=asinB 可得：asinB+acosA=Q 可彳cosA=- sinB,所以A为钝角，B为锐角，可得：A4+B；(6 分)ri-a(2)由正弦定理可得：=- b =XP , sinA sinB 3 -cosA 35(9 分)可得：a2+cosC近二所以由余弦定理可得:22=a2+b2 - 2abcosC,可得:4=12_g-2ab解得：ab=,（ 11 分）g贝U： S>aABc=absinC工二工.（12 分）2295 318. （12分）如图，在四棱锥PABCM,底面ABC皿边长为2的正方形，平面PACL平面 PBD.（1）求证：PB=P

27、D（2）若M为PD的中点，AM,平面PCD求三棱锥DACM的体积.【解答】证明：（1）连结AG BD,交于点点，连结PO,二.在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面 PACL平面 PBD. BO=DQAC± BD, BDL平面 PAC 又 AB=AD,（ 4 分） .PB=PD（ 6 分） 解：（2）;AM，平面PCD AM ± PD, PD的中点为 M,（8分）AP=AD=2由 AM，平面 PCD,可得 AM LCD,又 ADXCD, AMAAD=A, .CD,平面 PAD,CD，PAA又由（1）可知 BD± PAA BDA CD=D,

28、PAL平面 ABCD（ 10 分）故 Vdacm=Vmacd- x"ax & AC xX2x1x2X2=-.323223（12 分）19. (12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他 们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒而就 诊的人数，得到如下资料：日 期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x (C)1011131286就诊人数y (个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据 求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.(I)求选取

29、的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(H)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程J=bx+a；(田)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的， 试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：线性回归方程的系数公式为b=54厂E Y FXE （町-K）Li i1-1a可1bx.【解答】解：（I）设抽到相邻两个月的数据为事件 A,从6组数据中选取2组数据共有G2=15种情况，每种情况是等可能出现的, 其中抽到相邻两个月的数据的情况有 5种，P（4）:去*（4 分） 1D J（II）由数据求得x=

30、11, y=24,由公式求得g考，由；求得£二号.y关于x的线性回归方程为，*累耳（9分）（III）当 x=10时，尸手，|早_22|二义；当 x=6时，产苧，1-12 |.|<2,所以该小组所得线性回归方程是理想的.（12分）20. （12分）已知曲线C的方程为ax2+ay2- 2a2x-4y=0 （aw0, a为常数）.（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A, B （A, B不同于原点O）,试判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l: y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M, N,且OM?）N = -三，求a b的值.【解答】解：

31、(1)将曲线C的方程化为x2+y2-2ax-y=0,(x- a) 2+(y) 2=a2 号可知曲线C是以点(a,二)为圆心，以为半径的圆.(2) zAOB的面积S为定值.0),证明如下：在曲线C的方程中令y=0,彳4 ax (x-2a) =0,得点A (2a,在曲线C方程中令x=0,彳# y (ay-4) =0,得点B (0,U), a-s|OAIOB 312aH |=4 (为定值),(3)直线l与曲线C方程联立可得5ax2- (2a2+16a-8) x+16a-16=0,设 M (x1，y1)，N (x2, v2 ，9rnr1 ,2司 +1 &a_8贝 U x1+x2=,5aL6aT

32、65a . 0M?0N=x1x2+y1y2=5x1x2+8 (x1+x2)+16=-=55a80a -80- 16a2 - 128a+64+80a) = Y5即 2a2 - 5a+2=0,当a=2或,都满足> 0,21. (12 分)已知函数 f (x) =a (x2 - x) - Inx (a R).(1)若f (x)在x=1处取到极值，求a的值;(2)若f (x) >0在1, +oo)上恒成立，求a的取值范围;(3)求证：当n>2时,In2 ln3 Inn n【解答】解：(1)(x)的定义域为(0, +8),f' (x) =2ax- a ,y=f (x)在x=1处

33、取得极小值,f'(1) =0,即 a=1,此时，经验证x=1是f (x)的极小值点，故a=1,(2) . f'(x) =2ax- a -当 a<0 时，f'(x) <0,f (x)在1, +°°)上单调递减，:当 x>1 时，f (x) < f (1) =0 矛盾.当 a>0 时，f'(x) -2日二=才+8a >0恒成立,令f'(X)=0,解得xjT户8a(舍去)，地三容通4a4a(i)当 氧相+8.<1时，即a>1时，f (x)在1, +oo)单调性递增 4a - f(X)>f

34、 (x) min=f (1) =0,满足题意,(ii)当史也上亘>1时，即0<a<1时,4a.xe (1,空屋垃)时，f'(x) <0,即 f (x)递减, 4af (x) < f (1) =0,矛盾.综上，f (x)0在1, +8)上恒成立，a> 1,(3)证明：由(1)知令 a=1 时，f (x) =x2 x lnx,当 x>2 时，x2 xlnx>0,即lux令 x=n,22J_+LZL+n-l-=1 一n1 -n-1选彳4-4：坐标系与参数方程22. (10分)以直角坐标系的原 。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线 l的参数方程为(t为参数)， 尸2十t圆C的极坐标方程为p =2(I)写出直线l的一般方程及圆C标准方程;(H)设P(- 1, 1),直线l和圆C相交于A, B两点，求| PA -| PB|的化【解答】解：(I)二直线l的参数方程为卜?(t为参数)，由直线l的参数方程消去参数t可得x-1=2 (y-2),化简并整理可得直