固体物理整理(有的不够简洁)

1、一：名称解释1 .初基元胞：又称固体物理学元胞，指一个晶体及其空间点阵中最小的周期性 重复单元。2 .惯用元胞：又称结晶学元胞，指能同时反映晶体周期性与对称性特征的元胞。3 .倒格矢：用这样的一个矢量来综合体现晶面族的间距和法向，矢量的方向代 表晶面族的法向，矢量的模值比例与晶面的间距。4 .简约布里渊区：作所有倒格矢的垂直平分面，被平面所包围的围绕原点的最 小区域称为第一布里渊区，又称简约布里渊区。5 .原子散射因子：原子内所有电子的散射波振幅的几何和Aa与一个电子的散射波振幅Ae之比。6 .几何结构因子：元胞内所有原子的散射波在所考虑方向上的振幅与一个电子 的散射波振幅之比。7 .晶体的结

2、合能：绝对零度下，自由粒子系统的能量 En与由这些粒子组成的晶 体的能量日之差8 .声子：相邻状态的能量差为 先。，谐振子的能量量子，称为声子。9 .格波：原子的振动不是孤立的，原子的运动状态会在晶体中以波的形式传播， 形成格波。10 简谐近似：一般原子间的相对位移 5较小，互作用势能U在平衡点a处的泰 勒展开只取到二阶项。11 .定容比热：单位质量的物质在定容过程中，温度升1*C时系统内能的增量。12 .电子态密度函数：表示在能级 E附近单位能量间隔内的电子态总数。13 .费米能：在热平衡条件下，电子占据能量E的电子态的几率为1f(E,T)=(E_Ef).KbT它是温度T, (E-Ef)的函

3、数，Ef具有能量的量纲，称为 e1费米能或者化学势。14 .费米面：在K空间，能量为费米能Ef的等能面15 .费米半径：自由电子的费米面半径16 .近自由电子近似：假设晶体中存在一个很弱的周期性势场，则电子的运动应 该很接近于自由电子，但同时又能体现出周期性势场中电子状态的新特点，这 样的电子就是近自由电子。在周期场中，若电子的势能随位置的变化(起伏) 比较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大很多，这样，电子的运动几乎 是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影 响看成小的微扰。17 .紧束缚近似：假设有N个相同的原子，分别处于品格常数足够大的晶格格点 上。由于原子

4、之间相隔足够远，相邻原子之间的电子波函数彼此交叠甚微。可 以认为这样的晶体中电子的能量状态与完全孤立原子中的电子态差别很小，但 是既然电子态有微弱交叠，电子就有一定几率从一个原子转移到另一个原子中 区。这样处理晶体中电子能态问题的方法称为紧束缚近似。18 .波包；局限于空间一定范围内的波。19 .空穴：当满带顶附近有空状态 k时，整个能带中的电流以及电流在外电磁场 作用下的变化，完全如同一个带电正电荷 e,具有正有效质量m*和速度V(k)的 粒子情况一样。我们将这种假象的粒子称为空穴二：简答1 .常见晶体的及结构和布拉菲格子答：NaCl结构：a布拉菲格子：面心立方，可以说是 Na忏口 Cl-离

5、子面心立方子品格套构而成的复式晶格。B初基元胞：以Cl-离子为基失，按照面心立方的 初基元胞选取，顶点是Cl-离子，内部含有一个Na +。C其他典型晶体：LiF、KBr、KI金刚石结构：a布拉菲格子：面心立方，金刚石可以看成是沿体对角线相互错开1/4对角线长度的两个面心立方晶格套构而成的b初基元胞：与面心立方一致。C其他典型晶体：Si、Ga Sn2 .正格子格失和倒格子格失以及正格子元胞体积和倒格子元胞体积之间的关系答：正格子基失和倒格子基失的关系：ai bj = 2n，=J 2ni = j 1i,j=1、2、301正格子格失和倒格子格失的关系：R1Kh =2兀收口为整数)正格子元胞体积和倒格

6、子元胞体积之间的关系：建G*= (2n)3-:，.->U3 .倒格子基失的表达式：”=2兀a2"3b2=2n a31b3 = 2n a1 ' a2a1 (a2 a3)a1 a2 a3a1 a2 a34 .体心立方和面心立方的消光规律mF =、j=1fjei2 二n(hu j kVj lWj)F hkl对于体心立方的布拉菲品格，元胞内两个原子的基失1 -R = 0, R2 二-a21 一b22fn(h+k+l)为偶数“f1-("*:0n(h+k+l)为奇数即衍射面指数之和nh+nk+nl为奇数的衍射线消失对于面心立方的布拉菲品格，元胞内四个原子的基失1 一1 T

7、 -1 一1 一Ri = 0,R2 a b,R3 a c 223221 r1 -R4 b c2 2Fhkl = f1eih k)f1Jn" l)f1 eiwk ll=4f h 、k、l 为同性数则（h+k）、（h+l）、（K+l）为偶数=0 h 、k、l为异性数即彳损寸面指数h、k、l异性数时，衍射线消失。5 .晶体结合的主要类型及其结合成晶体后核外电子的变化答：晶体结合的主要类型：离子晶体、共价晶体或者原子晶体、金属晶体、 分子晶体。结合成晶体后核外电子的变化：a.离子晶体：离子为结合单元，电子分布高度局域在离子实的附近，形成稳定 的球对称性的电子壳层结构，所以离子键无方向性和饱和

8、性。b.共价晶体：原子之间共用价电子且具有饱和性和方向性c.金属晶体：晶体将形成“公有化”电子6 .范德瓦尔斯力的三种表现形式答：（1）Keesom作用力固有电偶极矩间的作用力（2） Debey作用力诱导力，感应电偶极矩的作用力（3） London作用力色散力，瞬时电偶极矩的作用力7 .T=0K和T>0K时，费米分布函数f（E,T）表达式以及其物理意义答：T=0K时（费米能为EF）费米分布函数为:f(E,0)=0EEf0E Ef在0K时，所有低于eF的能态都填满了电子,而所有高于eF的能态都是空的。T>0K时当 E 比 Ef 小几个 KBT 时，e(E-EF)/KBT «

9、1, f(E,T)=1当 E=Ef 时,f(E,T) -1 2当 E 比 Ef 大几个 KBT 时 e(E_EF)/KBT »1, f(E,T)期0这表明，T>0K时，Ef附近原本能量E<Ef的部分电子，获得能量而跃迁到高于Ef的能级上，使得Ef之下附近能级上电子占据的几率f (E) <1 ,而Ef之上附近能级上电子占据的几率f (E) >00 E=Ef处f (E,T) =1/2 ,表明如果电子能够占据该能量状态则其占据的几率为 0.58 .低温下电子比热不能忽略的原因答：温度高于德拜温度6d时，电子对比热的贡献很小；当温度较低时，电子比 热不能忽略： 1=3

10、警(空)3Cm24 二2 E0 T当Cve =Cvi时，可求出此时的温度：几=j堵舞对于简单金属，4102K,Tf 104K估算出Tc 1K的数量级 低温时金属的总比热为：Cv =Cve+Cvl ='；T+bT3或者Cv=¥+bT2有上述分析：在T比Tc小时，Ce起主要作用，所以低温下电子比热不能忽略9 .电子波动方程的解的特点？会写出自由电子、孤立原子电子和实际晶体中电 子的波函数。答：电子波动方程的解的特点：应该满足布洛赫定理a.自由电子：b.孤立原子电子：44r r A Aeik rr - Cu rc.实际晶体中电子： 士 ik r ' e"r线 r1

11、0.能隙是简并微扰还是非简并微扰的结果？产生于什么布里渊区什么位置？ 答：能隙是简并微扰的结果产生于什么布里渊区的边界11电子可看成准经典粒子的条件答：电子坐标的不准确度AX只要比外场发生明显变化的空间尺度 九小得多，而 又比元胞尺度大得多即：a小二二x ：12 .会根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性答：金属：在一系列能带中除了电子填充满的能带以外， 还有部分被电子填充 的能带一导带，后者起着导电作用。半导体：依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能力。绝缘体：原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好填满了许可的能带， 形成满带，导带和价带之间存在一个很宽的禁带，在一

12、般情况下，价带之上的 能带没有电子；在电场的作用下没有电流产生。13 .有效质量及其物理意义答：1.有效质量：有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下，有 效质量是一个张量，在特殊情况下也可以退化为标量。有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近，有效质量总是正的；而在能带顶附近，有效质量总是负的。这是因为在能带底和能带顶E(K)分别取极小值和极大值，分别具有正的和负的二价微商。有效质量 m概可以小于 解 也可以大于 成 甚至还 可以为负值。这都取决于晶格力的大小与正负，即周期场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边界附近发生Bragg反射而在电子与晶格之间交换动量这种形式

13、反映出来的。有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电 子准经典运动的加速度与外力联系起来。2.物理意义：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它 的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典 力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问 题。14.满带电子不导电以及导带导电的原因答：1.满带电子不导电的原因：4在K空间中，对于同一能带有：En (k户En(-k)同一能带，处于K态和处于-K态的电子具有大小相等方向相反的速度。-1_ Tv k = e ' ：En k k n1 414144v - k =力工 En - k kEn

14、 k = - v k无外电场时在一定温度下，电子占据 K态和-K态的概率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。所以，无宏观电流I = 0。有外电场时：电子受到的作用力:dkd( k)电子动量的变化:dtdt这表明所有电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动，能带始终处于均匀 填满的状态，并不产生电流。2.导带导电的原因：无外电场时：热平衡状态下，电子占据两个状态的几率相等, 有外电场时：外场的作用会使布里渊区的状态分布发生变化, 较多。因此，在外场作用下，导带中的电子产生电流 15.k空间和实空间电子在恒定磁场中运行的轨迹 答：准经典运动的基本方程：不产生电流。逆电场方向上运动的电子d d

15、kndt在K空间中的运动图象dk二B dt)沿磁场方向K的分量不随时间而变，即在 K空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动。T 4 KF _ v Lorentz、在等能面上运动。力不做功，电子的能量 E(K)不随时间而变，即电子在K空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场的平面，与等能面的交线，即电子在垂v k B dt直于磁场的等能线上运动。在k空间中，电子作循环运动：dk =电子的循环周期：丁 川 小T -电能线dtdk回转圆频率:eB能线v kg = 2 NT = 2兀 eB/日dk以自由电子为例:E k二用 2m电子的回旋轨道为圆在等能线上Kconst.00= =22eBBdkkeB m在实空

16、间中的运动图象在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。以自由电子为例:力 k = mvU 嘤 ='dtm dt如设磁场沿z轴方向，B= (0, 0, B),则有:dk x _ eBdtmdVxdteB mvydVy eBVx dt mdVzdtV。= Vx2y，eBdk yeB-=kdtmdk z dtK (Vx = V0COS °t v Vy = v°sin °tvz = const.在垂直于磁在实空间中电子的运动图象：沿磁场方向(z方向)电子作匀速运动;场的平面内，电子作匀速圆周运动。回转频率：,二eB -0md v 1 n对于晶体中的电子：一I二一二

17、Fdt 一 m*4 4F = ev B在主轴坐标系中有dvx1 F 四:F x, dtmx * 出右磁场方向取在z轴方向，b的一个格波的平均能量1 .=先切2后oO' exp(-n =0nKbT)exp(/KbT) -11=3 n( ,T)1 Fdvz _ 1 Fmy * y， dtmz* zBk，即可写出其相应的准经典运动方程dvxeBdvyeBdvz 八xzIX7 vy，v vx，0dtmx*dtmv*dtx y16 .波恩-卡曼边界条件及其后果答：假设在有限晶体之外，有无限多个和这个有限晶体完全相同的假想晶体， 它们和实际晶体彼此毫无缝隙地衔接在一起，组成一个无限的晶体。一维晶格

18、 振动的边界条件：un 一 un N一iqNa则可得：e 12 二所以: qH (20，-1，-2 )这说明格波的波矢q只可取一系列不连续的值17 .平均声子数的公式，会讨论相关问题 答：温度 T 时，频率为01 一1 一v (n ) exp-(n)/KbT己一 n团22为：E 一 二1、exp-(n)/KbTn田2n(%T)就是频率为8的格波在温度t时的平均声子数，定量的表示出一个格波被热激发的程度。18.比热的爱因斯坦模型和德拜模型，以及其和实验符合或不符合的原因。答：爱因斯坦模型假定晶体内所有原子都以相同频率独立振动，每个原子都是一个量子谐振子。Ns个原子组成的晶体振动内能 U(T):八

19、一一114U1) = 3NSE0 ,T)= 3NS|2 +产匚1 加 e7则比热为：一 ”U、Cv=l=3NsKbT vKbT Je方切/kbte，KbT _ 1 2式中的频率切还是个待定的量。为了确定o ,引入爱因斯坦温度6e ,定义:.2丁。=3NsKb 2t -i2在Cv显著变化的温度范围内，使比热的理论曲线尽可能好地与实验曲线拟合 从而确定爱因斯坦温度 %。对于大多数固体，出在100300K范围。德拜模型假定三21单式(S=1)晶体为各向同性的连续弹性媒质，由N个初基元胞组成。晶 体中传播的弹性波有纵波和横波两种，对于三维单式晶体，有一支纵波和两支 横波。对于一定的波矢q,纵波波速为C

20、i,横波波速为Ct,波矢空间单位体积q数为73)3,所以体积dqxdqydqz内的点数目为:(4jdqxdqydqz2Vdqxdqydqz（2 二）体积dq内的简正振动频率数目为： q纵波： V 3 dqxdqydqz 横波： (2 二)因为=cq :2224dqxdqydqz q sin 口 d【d dq 4 q dq -3 d c所以在 L d范围内的频率数为:（2 二）324 二，3Cl十 (22V3Ct.(!_2 3Cl2-3Ct2d 假定一个截至频率D，则:- -Dg ( )d3N（3"为格波总效） 'DB0/kbteKbTD : Debye温度拄coKbT)3(K

21、bT)4- -/KbTe9ND(KbT)4一 3xm0 ex-1dx可继续化为U 二 3NKbT(: xmxm0ex- 1dx)- 3NKBTf(xm)两种模型和实验结果偏离的原因： 高温情况：高温下两种模型都假设全部格波已经充分激发。两种模型均是接近于经典理论的分析，尽管两个模型对格波频率及其分布作了不同的假设 ，但 都趋于经典极限，因此结果都是正确的。低温情况：前面讨论平均声子数的时候，曾经定性认为只有满足%WKbT的格波在温度T时才可以被激发，而融aKbT的格波被“冻结”，对比热无贡献。在爱因斯坦模型中，假设品格中所有原子均以相同频率独立地振 动，即设不论在什么温度下所有格波激发，显然与实际不符，这就是低温下爱 因斯坦模型定量上与实验不符的原因。德拜模型考虑了格波的频率分布，把晶体当作弹性连续介质来处理的。低温情 况下，温度越低，能被激发的格波频率也越低，对应的波长便越长，而波长越 长，把晶体视为连续弹性介质的近似程度越好 .即温度越低，德拜模型越接近 实际情况。19.简谐效应和非简谐效应各自所能解释的物理现象答：简谐近似解释了比热（尤其是低温下比热），但不能解释热胀 三：计算题 1.一维周期场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。若品格常数为，电子的波函数为：