中考几何证明经典题型

1、几何证明经典题型（提高）1 .如图10-1 ,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合）, 以CG为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG,连结BG, DE.我们探究下列图中线段 BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺日针（或逆日针）方向旋转任意角度,得到如图10-2、如图10-3情形.请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图10-2证明你的判断.(ffl 10-1)a,BC b,CE ka,CG kb（2）将原题中

2、正方形改为矩形（如图10-410-6 ），且AB（a b,k 0），试判断（1）中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断,不必证明1o o(3)在图 10-5 中，连结 DG、BE ,且 a 4,b 2,k 3 ,则 BE2 DG2 =答案：BG=DE;BG± DE;中得到的结论仍然成立(2)BG±DE 成立;DEBG;四边形和四边形取GC汾别是正方形,- CG = CE.：.£居8+£口8= £BCD -tZDCG即 rDCE 二 NECG;ABCGr =二工 CQE = 2DQ0/CQUCEDW ZDQG-ZBGC = 90

3、6; ZGOE = 90©.DEI BG BE2+DG 2=252 .如图 1 , ZABC 中，/ACB = 90° ,AC = BC, BD 是中线，CE± BD 于点 E,交 AB 于 点 F。求证：/ ADF =ZCDEo简证：过点 A作AG，AC交CF的延长线于点 GoG因为/I = 90 ° / 3 =/2 ,AC = BC,所以 Rt /TAG 尔t 怎CD (ASA )。所以 AG = CD = AD, /G = /CDE。因为 Z 4 = 45 ° = Z 5 , AF = AF,所以ADFzAGF (SAS)。所以/ADF

4、=/G = /CDE。3 .如图，四边形 ABCD 中，AC 平分/BAD, CEL AB 于点 E, AE= 1 (AD + AB )。 2求证：/ ADC +/ABC = 180 ° 。简证：过点 C作CFAD交AD的延长线于点 Fo因为/ 2 = / 3 , AC = AC,所以 Rt MCF 不t "CE (AAS )。所以 CF=CE, AF =AEo因为 AD +AB = 2 AE, AB = AE + EB,所以 EB= AE-AD。因为 FD =AF-AD ,所以EB=FD。所以 Rt zTEBRt z2CFD ( SAS)。所以/ABC = /5。所以/A

5、DC + /ABC =/ADC + Z 5 = 1804.已知： MAN , AC 平分 MAN .在图 1 中，若 MAN = 120 ° , ABC = ADC = 90 ° ,AB+AD AC.（填写“>”，“<”，“=”）在图2中，若 MAN = 120 ° , ABC + ADC = 180 ° ,则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.在图3中：若 MAN = 60 ° , ABC + ADC = 180 ° ,判8AB + AD 与 AC 的数量关系，并说明理由；若 MAN = a

6、（ 0° < a <180 ABC + ADC = 180 则 AB + AD =AC（用含a的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）23.解:(1)AB+ADAC. 1分（2）仍然成立.证明：如图2过C作CELAM于E, CF± ANT F,CDEAF B则/CEA= / CFA=90 ° . AC 平分/MAN , / MAN=120ZMAC= / NAC=60又 AC=AC , AECA AFC,AE=AF , CE=CF .在 Rt CEA3, / EAC=60/ ECA=30 ° , AC=2AE .AE+AF=2AE=AC , E

7、D+DA+AF=AC ZABC+ZADC= 180 ° , CDE+ / ADC=180ZCDE= ZCBF.又 CE=CF , ZCED= ZCFB,. CEDA CFB .ED=FB , FB+DA+AF=ACAB+AD=AC AB+AD = <3AC.证明：如图3,方法同（2）可证 AGCA AHC. AG=AH . / MAN=60 ° ,zGAC= / HAC=30 ° .3 AG=AH= - AC.AG+AH=d3AC.GD+DA+AH=由 AC.方法同（2）可证 GDC HBC. GD=HB, HB+DA+AH= m AC .AD+AB=AB

8、+ AD = 2cos万 AC.5.如图所示，四边形 OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4 ,点E为BC的中点，点N的坐标为(3,0), 过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M,现将纸片折叠，使顶点 C落在MN上, 并与MN上的点G重合，折痕为EF,点F为折痕与y轴的交点。斯_1 afJ %(1)求点G的坐标；(2)求折痕EF所在直线的解析式；(3)设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P,使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：(1)二.四边形ABCO是正方

9、形.BC=OA=4. .E 为 CB 中点，EB=2. MNy 轴，N (3, 0). MN ± EB,且 MB=NA=1 . EM=1 NJT 1EG = EC= i sinZEGM =-而一二.zEGM=30 ° , MG=EG cos30 °=T3. G (3, %-鸟(2) /EGM=30 ° JMEG= ZFEG= /CEF=60 °. CF=CE tan60。二坤. FO= 4 - 2,柩。.f(0, 4 - 2忑)，E (2, 4)设直线EF的解析式为"吟匕化工”2k,I：,4Lb = 4 - 2 后Lk = m与h =

10、 4 - 2-3折痕EF所在直线解析式为y一底; "2出V（3）如图所示，时收一动）弓。,4-回P式后-2心 ”地）。6.如图，在梯形 ABCD中，AD /BC, ZB= 90°, AD=AB=2,点E是AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连结ED,过ED的中点F作K,过点K作KM XAD于M .t , DM-（1）当E为AB中点时，求的值；DG什AE 1DM上苫/（2）若 ，则 的值等于；AB 3DG.AE 1（3）若E 一（”为正整数），则DM 的值等于（用含n的式子表示）DG答案：（1）连接GE. . KM ±AD , KG是DE的垂直平分线ZKMG=

11、/DFG=90 °，/GKM= /GDF .MK=AB=AD, ZKMG= ZDAE=90 AKMG ZQAE.MG = AE. E是AB中点，且 AB=AD=2，AE=MG=1,KG是DE的垂直平分线.GE=GD设 GE=GD=x则 AG=2-x在 Rt AAEG 中,/ EAG=90由勾股定理得(2-x ) 2+1 2=x2DM 1/ 、 2一（2）DG 5551. x= .DM=GD-GM= 447.如图所示，等腰RtABC的直角边 AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度做直线运动。已知点 P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC 相交于点D。

12、(1)设AP的长为x, APCQ的面积为S,求出S关于x的函数关系式;(2)当AP的长为何值时，/B =1匹?(3)作PEXAC于E,当点P、Q运动时，线段 DE的长度是否改变？证明你的结论。 答案：(1)当点P在线段AB上时，如图(1)所示,.AP=CQ=xPB=2 -x当点P在AB延长线上时，如图(2)所示*UCQ =,CQ- PB. AP=CQ=x , PB=x 2-§ jpcq =虱3 - 2)S = - S3 -> 2)即 -令4二口，此方程无实根;，茗3 -x = 2A2,即底z_3女 一4=1。笈=1土秀，舍去负值。，嚣=1+石O故当AP的长为1 +后时，港B=0

13、3(3)作 PF/BC 交 AC 的延长线于 F,贝U AP=PF=CQ , AE=EF,，1 - 1. DF=CD当点P在线段AB上时,DE = EF+ FD=1aF + 1lcF=-AC = J2 22当点P在AB的延长线上时,= -AF- 1CF：. DE=EFFD -AC= V2二故当P、Q运动时，线段DE的长度保持不变，始终等于8.我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2：1.请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点 。为等腰直角三角形 ABC的重心， CAB 90 ,直线m过点。

14、，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点 D、(1)当直线m与BC平行时(如图1),请你猜想线段 BE、关系并证明；(2)当直线m绕点。旋转到与BC不平行时，分别探究在图述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AJA又他价的数量关系？请写出你的结论,方近证明.E、F .CF和AD三者之间的数量2、图3这两种情况下，上AD、BE、CF三者之间ABCB图1图2答案：（1）猜想：BE+CF=AD证明：如图，延长 AO交BC于M点， 点。为等腰直角三角形 ABC的重心 .AO=2OM 且 AM ±BC又EF/BC. .AM ±EF . BEX EF,CFJ_

15、EF .EB/ZOM /CF .EB=OM=CF. EB+CF=2OM=ADCC图3AEF mM .O 7BMC图1龄 /屋'mBGC图2(2)图 2 结论：BE+CF=AD证明：联结AO并延长交BC于点G,过G做GH LEF于H由重心性质可得 AO=2OG. "DO= /OHG=90 °, ZAOD= /HOG.AOD s&oh. AD=2HG- O为重心.G为BC中点. GH ±EF,BE± EF,CF± EF. EB/7HG /CF. H为EF中点1.HG= (EB+CF)2. EB+CF=AD(3)CF BE= AD9.

16、已知：如图所示，梯形 ABCD中，AB/CD , ZC=90,AB=BC=4 , CD=6。(1)点E为BC边上一点,EF/AD ,交CD边于点F, FG/EA ,交AD边于点G,若四边形AEFG为矩形，求BE的长;(2)如图所示，将(1)中的/人£5绕AEF ,EP交cd边于Fi点,且点与D点不重合，射线交ab边于点m ,作Fi n EA交ad边于点N ,设BM 为x,&WD中，PD边上的高为y,求y关于x的函数解析式及自变量 x的取值范围。答案：（1）作AH LCD于点H （如图所示） 四边形AEFG为矩形. zAEF=90. /+ Z3=90. zC=90 °

17、 , .,.2+ Z3=90./= Z2. EF/AD。Z2= ZD. /= ZD. AB=BC=CH=4HD=CD -CH=2tanD= = 1 = 3HD 2AB. tan Z1= E -. BE=2，即E为BC的中点。（2）如图所示，作可得/4= Z5= Z6,它们的正切值相等。 .BM _ CE _ PF® tanD 4 - xy .CF'=-tBE CP PN k 2 PFNP ±CD 于点 P,贝U PN=y© CD =CF 午 PF4PD12k-8y =:整理，得一十二当点及与点D重合时（如图所示）tanZEDC/BEM= /EDC,_ BM

18、 _ x_ 1. tan /BEM BE 232,3C =一3-<k.x的取值范围为3CE_ 1CD- 310. 在 ZABC 中，AC=BC ,ACB 90，点D为AC的中点.（1）如图1, E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90。得到线段DF,连结CF,过点F作FHFC ,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明.（2）如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.答案：(1) FH与FC的数量关系是：FH FC. 证明：延长DF交AB于点G,由题意，知 ZEDF= ZAC

19、B= 90 , DE=DF . . DG /CB.点D为AC的中点，1点G为AB的中点，且DC AC.2DG为 ABC的中位线.-1 -. .DG -BC .2. AC=BC ,. DC=DG .DC- DE =DG- DF .即 EC =FG.ZEDF = 90 , FH FC ,. ./+/CFD = 90 , N+/CFD=90 ./ = Z2.11如图1,在QBCD中，AEXBCT E, E恰为BC的中点，tanB 2.(1)求证：AD = AE;(2)如图2,点P在BE上，作EF± DP于点F,连结AF.求证：DF EF V2AF ；(3)请你在图3中画图探究：当 P为射线

20、EC上任意一点(P不与点E重合)时，作EF± DP于点F,连结AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写 出你的结论.图1图2图3.E为BC的中点,ACE图8答案：（1）在 RtZABE 中，ZAEB= 90AEtan B 2BEAE 2BE . BC 2BE .ABCD是平行四边形,. AD=BC.AE=AD .（2）在DP上截取DH = EF （如图四边形ABCD是平行四边形,ZEAD= 90.EF1PD, Z1 = Z2,.zADH = ZAEF.H图9 .AD = AE, .ADH AEF./HAD = ZFAE, AH = AF.zFAH =90 .在 Rt疔A

21、H 中，AH= AF, .FH <2AF . FH FD HD FD EF V2AF .即 DF EF V2AF .(3)按题目要求所画图形见图9线段DF、EF、AF之间的数量 关系为： DF EF V2AF .12 .小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形(1)如图所示 ABC, ADBE,两直角边交于点 F,过点F作FG/BC交AB于点G, 连结BF、AD,则线段BF与线段AD的数量关系是 ;直线BF与直 线AD的位置关系是 ,并求证：FG+DC = AC；(2)如果小华将两块三角板4 ABC, 4DBE如图所示摆放，使 D、B、C三点在一条 直线上，AC、DE的延长线相交

22、于点 F,过点F作FG/BC,交直线AE于点G, 连结AD, FB,则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是 ;(3)在(2)的条件下，若 AG=7j2, DC = 5,将一个45。角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点(如图)，线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG = 2,求线段MN的长.答案(1)结论:A则线段BF于线段AC的数量关系是:相等；直线BF于直线AC的位置关系是：互相垂直;证明： ABC、 BDE是等腰直角三角形ABC BAC BDE 45 ,AD BCCFD 45CD CFFG / BCAGF ABC 45FG AFAD AF

23、 FCAD FG DC(2) FG、DC、AD之间满足的数量关系式是 FG AD DC ;(3)过点B作BH FG垂足为H ,过点P作PK AG垂足为KFGBC,C、D、B在一条直线上,可证 AFG、 DCF是等腰直角三角形，AG 7、2,CD 5根据勾股定理得： AF FG 7,FD 5.2AC BC 2BD 3BH FG ,BH/CF , BHF 90FG / BC四边形CFHB是矩形BH 5, FH 2,FG / BCG 45HG BH 5 , BG 572PK AG, PG 2PK KG 正BK 5 V2 & 4 V2PBQ 45 , HGB 45GBH 4512PK AG ,

24、 BH FGBHQ BKP 90BQH s BPKPK BKQH BHQHFQ 34FG / BCD MFQ, DBM FQMFQM s DBMDM 4 2BDN s pfnDN年8D MFQ, DNB FNPDN BDFN PF15.217.2MN 4 . 2 13. (1)已知：如图1, 4ABC中，分别以AB、AC为一边向 ABC外作正方形ABGE和88ACHF ,直线AN BC于N,若EP AN于P , FQ AN于Q .判断线段EP、FQ的数量关系，并证明；(2)如图2,梯形ABCD中，AD /BC,分别以两腰 AB、CD为一边向梯形 ABCD外 作正方形ABGE和DCHF ,线段A

25、D的垂直平分线交线段 AD于点M，交BC于 点N ,若EP MN于P , FQ MN于Q . (1)中结论还成立吗？请说明理由.图1答案：(1)线段EP、FQ的数量关系为才隹皂. EP ANAN BCP ANB 9013 90图1又.四边形ABGE是正方形，EAB 90 , AE AB ,12 90 .32.EPA ANB . .EP AN .同理可证 FQ AN .EP FQ .(2)过点A作JK，AD交EP于J ,交BC于K ,过点D作RT，AD交FQ于R,交BC于T .PN ± AD 于 M ,. JK / PN . AD /BC,.四边形AKNM为平行四边形. .AK MN

26、.同理可得DT MN . AK DT .又. EP MN , JK / PN ,AD / BC ,. JK EP , JK BC ,同（1）的证明可得EJ AKFR DT . EJ FR.由平行四边形JAMP和QMDR可知JP AM , QR MD .又AM MD ,. JP QR . EJ JP QR RF ，EP FQ .DEF与AADG都是等腰直角三角形，ZDEF = ZDGA = 45 . XEF =/FGH = 135.wef zFGH.，CF=FH.(2) FH与FC仍然相等.14 如图，正方形ABCD的对角线 AC与BD相交于点 M ,正方形MNPQ 与正方形ABCD全等，射线M

27、N与MQ不过A、B、C、D四点且分别交 ABCD的边于E、F两点.(1)求证：ME=MF ;(2)若将原题中的正方形改为矩形，且BC 2AB 4 ,其他条件不变，探索线段 ME与线段MF的数量关系.答案： 过点M作MG, BC于点G, MHI± CD于点H.dMGE= ZMHF= 900.NM为正方形对角线 AC、BD的交点，MG=MHX-.Z1+ ZGMQ= /2+ /GMQ= 900,./= Z2.在dMGE和网MHF中'/1=/2,MG=MH ,ZMGE= ZMHF .dMGEMHF .ME=MF (2)解：当 MN 交BC于点E, MQ交CD于点F时.过点M作MG,

28、BC于点G, MH, CD于点H.5GE= ZMHF= 900. .M为矩形对角线 AC、BD的交点, /+/GMQ= Z2+ ZGMQ= 900. ./= Z2.在dMGE和WHF中，Z1= Z2 一ZMGE= ZMHF ZMGEs/mhF .JME JMG .MF MH,.M为矩形对角线 AB、AC的交点，MB=MD=MC又; MG± BC,MH ±CD, .点 G、H 分别是 BC、DC 的中点. BC 2AB 4_11八 .MG AB,MH BC.22ME 1MF 2当MN的延长线交 AB于点E, MQ交BC于点F时.过点M作MG ±AB于点G, MHI± BC于点H.JMGE= ZMHF= 900.M为矩形对角线 AC、BD的交点，/+/GMQ= /2+ /GMQ= 900./= /2.在HMGE和网MHF中,Z1= Z2,ZMGE= ZMHF .ZMGEs/mhf .ME MG.MF MH,.M为矩形对角线 AC、BD的交点，MB=MA=MC又 MG_LAB, MHI± BC,，点G、H分另1J是AB、BC的中点. BC 2AB 4,，MG1 BC,MH21 AB.2ME 2.MF当MN、MQ