平面向量测试题及详解

1、一、选择题1.已知向量a=（1,1）平面向量b= (2, x),若 a+b 与 4b2a平行,则实数x的值为（）A. -2 B. 0C. 1D. 2A. -3 B .1 C.1 D . 36.已知P是边长为2的正AABCi BC上的动点，则舜（。醴（）A.最大值为8 B .是定值6 C ,最小值为2 D .与P的位置有关7.设a, b都是非零向量，那么命题“ a与b共线”是命题”|a+ b| =2.已知点 A( 1,0) , B(1,3),向量 a=(2k1,2),若ABLa,|a| +|b|" 的()的值为（）A. -23.如果向量a=(k, 1)与 b= (6 ,k+1）共线且方

2、向相反，那么A. -3则实数kk的值为4.在平行四边形ABC前，E、F分别是BC CD勺中点，DK AF于H,4记砧反分别为a、b,则AH= （） a5b4 a+5bC.A.充分不必要条件充分非必要条件8.已知向量 a=（1,2）则a与c的夹角为（A. 30B .必要不充分条件C.充要条件b=( 2, 4), |c|D .非5. c=5609.设。为坐标原点x2+y2 2x 2y+ 1 >0,1<x<21<y<2点 A(1,1)若点B(x ,y）满足则OAOt取得最大值时，点 B的个数是245a+5D . -|a-4b555.已知向量 a=(1,1) , b=(2

3、 , n),若 | a+b| = a b,则 n=(10 . a, b是不共线的向量，若ABJ=入ia + b, AC> a+入2b(入1,入26R), 则A、B C三点共线的充要条件为()A.入 1=入2=-1 B .入 1=入2=1 C .入 1 ,入 2+1=0D.入1 入 21 = 011 .如图，在矩形OAC酷，E和F分别是边ACffi BC的点，满足AC=3AE, BG= 3BF,若OC=入0耳O膜中入，6 R,则入十 是().1 AB AC -aB AC12.已知非零向量 ABfACM足 + BC= 0,且 二I 南 I ACI AB | AC1 i ,2,则ABC勺形大为

4、()A.等腰非等边三角形B.等边三角形C .三边均不相等的三角形D.直角三角形第II卷(非选择题共90分)13 .平面向量a与b的夹角为60° , a=(2,0) , |b|=1,则|a + 2b| =14 .已知a= (2 +入，1), b= (3 ,入)，若a, b>为钝角，则入的取 值范围是.15 .已知二次函数y=f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意 x£R 都有 f(1 +x) =f (1 x).若向量 a=(yfm 1), b=(JM -2),则满 足不等式f(a b)>f( 1)的m的取值范围为.1- 一16 .已知向重 a= sin 8 ,

5、 4 , b=(cos。，1) , c=(2 , m满足 aXb 且 (a+ b) / c,贝U实数 m=.三、解答题17 .已知向量 a=( cosx,sin x) ,b= (cosx,V3cosx)，函数 f(x) = a - b, x60,兀.(1)求函数f(x)的最大值；(2)当函数f(x)取得最大值时， 求向量a与b夹角的大小.、填空题求 a b 及 | a+ b| ；Fl、F2在坐标轴上，离心率为42,18 .已知双曲线的中心在原点，焦点 且过点(4, yio).(2)求函数f (x) = a b+| a+b|的最大值，并求使函数取得最大值 时x的值.求双曲线方程；(2)若点m3,

6、 m在双曲线上，求证麻施=0.19. zABC中，a、b、c分别是角AB C的对边，向量m= (2sin B,2若a一cos2B), n=(2sin 2(彳+ |), 1), mn.(1)求角 B的大小;=#, b=1,求c的值.21.已知 OA= (2asin2x, a), Ob= (-1,2V3sin xcosx+1),。为坐标原 点，a#0,设f(x)=OA 血b, b>a. (1) 若 a>0,写出函数 y=f(x) 的单调递增区间；.一., 兀 、(2)若函数y=f(x)的定义域为,，兀,值域为2,5,求实数a 与b的值.， 一3x3x20.已知向重 a= cosy, s

7、in,b=x . x - 兀cos2, 一Sin2,且 x6 万，兀.(1)3 x+1工心36=玉三，'x = 2,故选D.a, /.2(2k-1)+3X2=0,*=1, .选 B.22.已知点M4,0) , N1,0),若动点p满足Mn Mp= 6|前(1)求动点 2解幅(23).0P的轨迹C的方程;3.解由条件知，存在实数入0,使a=1b,：(k, 1)=(6入，(k+1)入),k= - 3,故选 A.k = 6入k+1入=1' 设过点N的直线l交轨迹 A, B两点，若*NANfec-12V，求直线l的斜率的取值范围.514.角牛析祚=b+2a星a-2b,设N入DE则区入a

8、曰入61、)1-X b, .加刖线且a、b不共线，.1 =2=2, AH=2a+4b.5555.解析. a + b = (3,1 + n) , . . | a + b| =勺9+ n+1=n2+2n+ 10,又2 b=2+n, ., | a+b| =a b, .Hn2+2n+10=n + 2,解之得 n=3,平面向量答案故选D.6.解析设BC边中点为D,则AP(丽 AC=AP(2AD =2| Ap |AD1.解 a+b= (3 , x+1) , 4b2a=(6,4 x-2) ,a+b与 4b2a平行，| cos/ PAD= 2|前2=6.7 .解析| a + b| =| a| + | b| ?

9、 a与b方向相同，或a、b至少有一个为 0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，; a、b都是非零向量， 故选B.8 .解析 由条件知 |a|=，5, |b| =2，5, a+b= (1, 2),.|a +55b| =a/5, . (a+b) c=万，-y5xy15 - cos 6 =/,其中。为 a+b与 c 的夹角，8=60 . . a+ b= a, . .a+ b 与 a 方向相反，a 与 c 的夹角为120 .9 .解析x2+y2-2x-2y+1>0,即(x1)2+(y 1)2n 1,画出不等 式组表示的平面区域如图，OA OB= x+y,设x+ y = t,则当直线y = x

10、平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即04.10 .解析/A> B C共线，.AC AB共线，根据向量共线的条件知存在实数人使得AC=入曲 即a+入2b=入(入均+ b),由于a, b不共线,1 =入入1根据平面向量基本定理得，消去入得入1入2=1.入2=入11 .解析gO瓦上O跳38 OiOAAEOA3OB.4 4 3 33 3相加得O曰O之3(0A两=3OC -.OG= 4O曰4OF .入 + =4+1=32. .AB AC12 .解析根据 鬲 +府 BC= 0知，角A的内角平分线与BC力 ABAC垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及 - - |AB | A

11、C12可知A= 120 .故三角形是等腰非等边的三角形.12213 .解析a - b= | a| | b|cos60 =2X1x-= 1, | a+ 2b12= | a| 2+4| b| 2+4a - b= 4 + 4+4X1=12,.| a+2b| =2/3.14 .解析.a, b为钝角，. a b=3(2 + 入)+ 入=4 入+6<0, 3 3 一入 <一万，当a与b方向相反时，入=3,入< "2且入土 3.15 .解析由条件知f(x)的图象关于直线 x=1对称，f( 1)= f(3) , .俏0, /.a - b=出2A2,由 f(a b)>f( 1)

12、得 f(出2)>f(3), . f(x)在1 , +0°)上为减函数,nn-2<3,md, .俏0,0Wn<1.1116 .解析. a，b,sin 8 cos 8 +4=0, sin2 6 = ,又a+b5=sin 6 + cos 6 ,-42 sin 6 + cos 6'5,(a+b)/c,mjsin 8+cos。)一万=0, . m=. (sin 6 + cos 6 )2= 1 +sin2。=2，sin 9 +(2)证明：R(273, 0), F2QV3,。)，M(F=(3273, n),麻=(- 3 + 28-n),.加施=3+ m,又 m点在双曲线上

13、，9m=6,即m23=0,加 MF= 0,即 MFaMFcose=士*, .e士乎 2 '217.解析(1)f(x)=a . b = - cos2x + sin xcosx =邛sin2 x- 219.解析(1) ; mln,m- n=0,4sin B si n2-4 +£ + cos2B 2=0,-1.兀cos2x一二=sin 2x一八12. x60 ,.当 X= 小时，f(X)max= 11932 2 2sin B1 cos 方 + B + cos2B- 2 = 0,2sin B+ 2sin 2B+ 1 2 . 一 一2sin B-2=0,1 .sin B= 2,兀 5。

14、毋兀，万或5(2)由(1)知x=", a= 1,设向量a与b夹角为322221f ra，b21兀,t , , r,民,则cos民= a|1 b| = 1 X =2, 二民="3.因此，两向重 a与b的(2)2=仙,b=1, /. a>b,此时 B=9,6夹角为:.方法一：由余弦定理得：b2= a2 + c2 2accosB,2_ c 3c +2=0,. . c= 2 或 c= 1.18.解析(1)解：: e=y2, 可设双曲线方程为 x2-y2=入，;过 (4, 版)点，. 16 10=入，即入=6, .双曲线方程为x2-y2=6. ba万法二：由正弦定理得s-A-1

15、:出.1 sin A2.sin A=夕0<A< 兀，兀2asin 2x+-6 +"若人=?,因为B=力，所以角 0三：边c=2;若A= 2兀，则3623.a>0, 由 2k 兀一2<2x+-6兀/日兀w 2 k兀+ 2彳寸,k兀3 w x w k兀+2c2 兀 兀角金兀3兀一百=否，兀6,k£Z.边 c=b,c= 1.综上 c=2 或 c= 1. 兀函数y=f(x)的单调递增区间是kTtF 3,兀 k 兀+石(kZ)3xx20.角牛析(1) a - b= cos-2cos2 3xxsin-2sin 2= cos2x, |a+b| =cos3+ cos

16、x 2+ sin 3x-sin x 2 =22223xx 3x x2 + 2 cos"2"cos2 sin "2sin "613兀6 ,兀sin 2x+-6 6T，12当 a>0时，f(x)2a + b, a+ b=2 + 2cos2x = 2|cos x| ,x 6 学-2a+b= 2a+ b=5a= 1，得 b = 4,cosx<0, . . | a+ b| =2cosx.当 a<0时，f(x)a+ b, 2a + ba+b= 22a+b=5a= 1，得 b= 3(2) f(x) = a - b + | a + b| = cos2x

17、 2cosx = 2cos2x 2cosx 1 =-1 2 32 cosx-2 -2a=一综上知，b= 3a= 1或b=422.解析设动点P(x, y),则MP= (x 4, y), Mn(-3,0) , PN= (1兀x6万,兀,1WcosxW0, 当 cosx=1,即 x=兀 时x, -y) .f maX( X)3.21.解析 f (x) = 2asin 2x + 2 V3 asin xcosx + a + b =由已知得一3(x-4)=6/ 1-x 2+y 2,化简得 3x2+4y2=22x y12,得Z + ：=1.22所以点p的轨迹c是椭圆，c的方程为"+y=i. 4 3(2)由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过 N的直线l的方程 为 y=k(x1),设A, B两点的坐标分别为A(xi, yi), B(X2, y2) .y=k x1 ,由 x2 y2消去 y 得