复数题型归纳(史上最全)

1、1、1、北师大版数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入自我总结卷、选择题:复数z 1 i （i是虚数单位），则复数（z 1）（zA -1+2iB、-1C、2i1、1、1、a 0是复数aA、充分条件已知复数4考试题3A.4bi4i(a,bB、Z2R）为纯虚数的（必要条件1）虚部是（）【答案】DD、2C、充要条件i ,且4里是实数，则实数D、非充分非必要条t等于（A ）.期中4B.3D.一一一 一 r ，.3.解析 zi -z2=(3+ 4i)(t i)=(3t + 4)+(4t 3)i.因为zi-z2是实数，所以4t3=0,所以 t=4.因此选 A.若复数（m2 3m、，2 一4) (m 5

2、m6）i是虚数，则实数m满足（）【答案】D(A) m 1(B) m 6(C) m 1 或 m 6(D) m 1且 m 6A纯虚数C 虚数D无法确定1、若(x2 1) (x23x 2）i是纯虚数，则实数x的值是（）2.2、已知复数zi mA、22i, Z2B.i表示虚数单位，则i1A. 0已知ZA、i、复数D 以上都不对3 4i,若亘为实数，则实数B. 1若则1z50B、(2 2i)4 妤(1 、3i)5 kZ2m的值为（C、D.i2008的值是（C.D.答案 Az100的值为（AD、答案：BA. 1 石 B.1V3iC. 1V3iD.1 3i2、复数（L）10的值是 （）1 iA. 1 B.

3、1C. 32112、已知x 1 1,则x19963的值为（）xx【答案】AD. 32【答案】A2、f（n） in i n,（n N ）的值域中，元素的个数是（B ）A、2B、3C、4 D、 无数个3、在复平面内，若复数满足|z 1| |z i|,则所对应的点的集合构成的图形直线y x3、|z 3 4i | 2 ,则|z|的最大值为(B )A 3 B 7 C 9 D 53.若z C且|z| 1,则|z 2 2i|的最小值是(C )A. 2 2B, 2 2 1C. 2 . 2 1D,23.如果复数z满足|z+i|+|zi| =2,那么|z+ 1 + i|的最小值是 ().A. 1B.V2C. 2D

4、. 5解析|z+ i|+|zi|=2,则点Z在以(0,1)和(0, 1)为端点的线段上，|z+1 + i|表示点Z至1, 1)的距离.由图知最小值为1.答案 A3.若 z 2且 z i z 1 ,则复数 z=z <2(1 i)或 z/2(1 i)3.如果z C,且H 1,则|z 1 2i的最大值为【答案】5 13 .若z C且|z 2 2i | 1,则|z 2 2i|的最小值是（）答案：BA. 2B. 3C. 413.已知复数z x yi (x, y R , x ),满足z 1D. 5x,那么z在复平面上对应的点（x,y）的轨迹是（）.A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析z=x+yi(

5、x, yGR, x),满足 | z1| = x, . . (x1)2 + y2= x2,故 y2 = 2x 1.答案 D3、已知方程|z 2| |z 2| a表示等轴双曲线，则实数a的值为（A ）A、2 金B、272C、血4.已知复数z 1 i,则Z在复平面内对应的点在第几象限（）【答案】CA. 一B.二C.三D.四4.在复平面内，复数 土对应的点位于 （）【答案】D1 iA.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限4.在复平面内，复数 （1 73i）2对应的点位于（）【答案】B1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知i为虚数单位，则一L所对应的点位于复平面内点（）【

6、答案】A1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 5、（m i）3 R,则实数m的值为（B ）B、D、5、若x C,则方程|x|1 3i x的解是（C ）B、x1 4, x21C、4 3iD、5、复数 z 1 cos i sin ,(2 ）的模是（B ）A 2cos - B 2cos 6. 2- -1的值是()1 2i 1 2iA. i B. 2iC. 06.复数z 3的虚部是()1 iA.2B.2C 2sin 一2D.D 2 tan2【答案】C【答案】BC. 2i D. 2i2/ c . 26 （1 2i）（2 D等于（）【答案】b1 i 1 iA. 3 4i B.36.若复

7、数（i是虚数单心A. -1B.16 .已知复数zi 3 bi2 1A. 6 B. -67 .对于两个复数-224i C. 3 4iD. 3 4i)的实部和虚部相等，则实数 a等于()【答案】DC. 1D. 332i,若亘是实数，则实数b的值为()【答案】AZ2C. 0D,-61 i ,有下列四个结论：1 ;2 21,其中正确的结论的个数为)【答案】BA.1B. 2C. 3D. 47 .下面是关于复数z 的四个命题：【答案】C1 iP4 ： z的虚部为1P1: z 2,P2 ： z2 2iP3 :z的共腕复数为 1 i其中真命题为（）A. P2, P3B, P1,P2C P2, P4D, P3,

8、P48 .若复数z满足方程z2 2 0,则z3的值为（）【答案】CA.2 2B.2 2 C 2 2iD.2 2 i12 .定义运算a b =ad bc,则对复数z= x+yi（x, yCR）#合条件z ：. =3 c dz 2i+ 2i的复数z等于:解析z由定义运算，得 z2i =-3 + 2i2zi z = 3 + 2i ,则 z = _1+2i =?3+2i? 1 2i? _ 1 8 ?1+2i? 12i?= 55i.、填空题:1 .若复数 z 2t23t 2 (t24)i(tR)为纯虚数，则t的值为2 .已知i为虚数单位，复数z 则| z | =. 【答案】三101 i23 .若i为虚数

9、单位，则复数 【答案】1 2i1 i4,已知工 1 ni,其中m,n是实数，i是虚数单位，则m ni【答案】1 i2 ibi5 .若(a 2i)i b i ,其中a,b R, i是虚数单位，复数1 2ia 3i6 .若复数 (a R, i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为1 2i【答案】67、设2，i ,则集合 A=x |xkk(k Z)中元素的个数是8、已知复数4 2 i,z2 1 3i ,则复数z2 = i15-9、计算：1 i* 答案：-立二i22, 222三、解答题：【复数的分类问题】1、实数m取什么值时，复数z m(m 1) (m 1)i是(I)实数 (H)纯虚数 (田)虚数【答案

10、】(1) m=1(2) m=0222、已知复数z (2 m 3m 2) (m m 2)i , (m R)根据下列条件，求m值.(IV) z 0.(I ) z是实数；(H ) z是虚数； (田)z是纯虚数;【答案】(1)当m2+m 2=0,即m=2或m=1时，z为实数；(2)当 m2+m 2* 0,即 m w 2 且 m w 1 时，z为虚数;22m +3m 2 = 0 切/口 m当 2,解得m + m 2 0r1,，一 一即m=;时，z为纯虚数;22m + 3m当 2 m + m2 rr,即 m= 2 时，z=0.13、m取何值时，复数(m22m 15)i(H )是纯虚数.-27-15 = 0

11、【答案】(1)咽- 3Ho小士一二厂.当叫二对，工是实数2m 152时，z是纯虚数.4、设复数z lg2_-m 2m 2m2 3m 2i,当m取何实数时?(I ) z是纯虚数；(n) z对应的点位于复平面的第二象限。.2【答案】(1) z是纯虚数当且仅当lg m 2m 202m 3m 2 0解得，m 3,2(2)由lg m 2m 22m 3m 2 01m 1 <3,或 1 73m2或 m 1所以当 1 m 1 J3或1 运 m 3时,z对应的点位于复平面的第二象限。【求复数类型】1、设复数z满足z | 茄，且1 2i z(i是虚数单位)在复平面上对应的点在直线 y x上，求z .【答案】

12、设z x yi （ x、y R） |z| 10, x210而(1 2i)z (1 2i)(x yi) (x 2y) (2x y)i2i z在复平面上对应的点在直线y x上,2y2x2y3y(3i)2、求虚数z解：设z a/击 9 使z zbi(a, b 9 z zbi9b3.0)9a bi(a9aa2 I(b9bb2)i0,2b 0,故 a2b29;又由z3得:.(a 3)2 b23,由得323,323i23、把复数z的共腕复数记作已知（12i)z解：设 z a bi(a, b R),则 zbi ，由已知得（12i)(a bi) 43i化简彳导:(a 2b) (2a b)i所以z2i,z 2i

13、34.-i。z 2i553i ，所以a 2b4,2a b 3,解得a4、设a,b为共腕复数，且(ab)23abi求a,b的值【教师用书】解：设a xyi,byi,（x,y R）。带入原方程得2_24x 3(x2vy )i12i ,由复数相等的条件得4x23(x24,2_y ) 12.x解得y1厂或'.3.对应四组解略。5、已知z,为复数，（1 3i）求复数（教师用书章末小结题）解法 1：设 z x yi,(x, y R),则(1 3i) z = (x 3y) (3x y)i 为纯虚数，所以x 3y 0,因为|2-z-T | 5J2,所以 |z| JTy7解得 x 15, y 5; x1

14、5, y 5 所以15 5i2 i(7 i)。（还可以直接计算）解法 2：设？=x+yi(x, yC R),i (xyi) 2l?l依题意得(1+3i)(2+i)? = (1+7i)?为实数,且0507x y22x y,、，口x解之得y?= 1+7i 或？= 1 -7io解法3：（提示：设复数乙直接按照已知计算，先纯虚数得a 3b再模长得7b bi)5求。6、已知复数满足|z 4| |z 4i|,且z "二为实数, z 1解：z x yi,(x, y R),因为 | z4|z 4i |,带入得x y ,所以zxi, x R14 z - 一又因为z 14二为实数，所以14 zz 114

15、 z化简得，所以有1|2130 ;由 | z 1|2 13得 x2,或 x 3。所以z 0； z2i;z 3 3.（也可以直接用代数形式带入运算）7、求同时满足下列两个条件的所有复数;/八 10(1) z zR,且 1 z10(2)的实部与虚部都是整数。解：设z xyi,(x, y R)10x yi x yiyi10(x yi)22x y10x(1 -2)x yy(1因为z10 一一 R,所以 zy(1102) 0。所以y 0或x y10 。当y 0时,10z x,又 1 z z以在实数范围内无解。102 10【根的问题】当x2,1010时，则z zz2x。由 12x因为x, y为正整数，所以

16、x的值为x 1时，y1 3i或，z1、关于x的方程是x(tan解：设实数根是1,2,或 3。3;当x 2时,yi)x(2i)0；若方程有实数根，求锐角和实数根;(tani)x(2i)0,即 a2 atan(a1)i- a、 tanR,a tan1 0;0,4 ,a1;2、若关于x的方程x2(12i)x 3m0有实根,则实数1 A12 【答案】AB. L12C.12D.1 .一 i12【向量计算】1、在复平面上，设点 A、B、C,对应的复数分别为i,1,4 2i过A、B、C做平行四边形ABCD ,求此平行四边形的对角线BD的长。解：由题知平行四边形三顶点坐标为A(0,1), B(1,0),C(4

17、,2),D点的坐标为uuur uuurxD(x, y)。因为 BA CD ,得(1,1) (x 4, y 2),得 y1,得1.uuur即 D(3,3)所以 BD (2,3)2、(本小题满分12分)在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A,B对应的复数分别为1 2i ,3 5i。求另外两个顶点C, D对应的复数解：设 D (x,y)uuur ADx yi(1 2i)x 1 (y 2)i (x1,y 2)uuurADuuuAB(x 1)7(y 2)0uuurAD由 zbucZdZcAB7 uuurzAD4 7i,53ZbZdZc102一 21) (y 2)53Zd6或Zd8 4iZd ZaZcZdZaZb4i3iuuu3、在复平面内，。是原点，OAuuur ,OCuuu,AB表示的复数分别为2uuu那么BC表示的复数为4-4j4.如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 正方形的第四个顶点对应的复数为 （）.A. 3+iB. 3-iC