(初中数学)数的整除性精选题练习及答案

1、初中数学数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a, b是整数,bw0,如果一个整数q使得等式a = bq成立,那么称a能被b整除,或称b整除a ,记作b |a ,又称b为a的约数, 而a称为b的倍数.解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1.数的整除性常见特征：假设整数a的个位数是偶数,那么 2|a；假设整数a的个位数是0或5,那么5|a；假设整数a的各位数字之和是 3或9的倍数,那么31a或9|a；假设整数a的末二位数是4或25的倍数,那么41a 或25|a；假设整数a的末三位数是8或125的倍数,那么81a或I25|a；假设整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数,那么111a.

2、2.整除的根本性质设a , b , c都是整数,有：假设 a|b , b|c,那么 a|c；假设 c|a , c|b ,那么 c|a ± b；假设 b |a , c| a ,那么b , c| a ；假设b|a, c|a ,且b与c互质,那么 bc|a；假设a|bc ,且a与c互质,那么a|b .特别地,假设质数 p |bc ,那么必有p |b或p |c.例题与求解【例1】在1,2, 3, , , 2 000这2 000个自然数中,有 个自然数能同时被 2和3整除,而 且不能被5整除.“五羊杯竞赛试题解题思想：自然数n能同时被2和3整除,那么n能被6整除,从中剔除能被5整除的数,即为所

3、求.【例2】a , b是正整数a > b,对于以下两个结论：在a+b, ab, ab这三个数中必有2的倍数；在a+b, ab, ab这三个数中必有3的倍数.其中A.只有正确B,只有正确C.,都正确D.,都不正确江苏省竞赛试题解题思想：举例验证,或按剩余类深入讨论证实.【例3】整数13ab456能被198整除,求a, b的值.江苏省竞赛试题解题思想：198=2x 9x 11,整数13ab456能被9, 11整除,运用整除的相关特性建立 a , b的等式, 求出a , b的值.【例4】a, b, c都是整数,当代数式 7a+2b+3c的值能被13整除时,那么代数式 5a +7 b 22 c的

4、值是否一定能被 13整除,为什么？“华罗庚金杯邀请赛试题 解题思想：先把5a + 7b 22c构造成均能被13整除的两个代数式的和,再进行判断.【例5】如果将正整数 M放在正整数 m左侧,所得到的新数可被 7整除,那么称 M为m的“魔术 数例如：把86放在415左侧,得到86 415能被7整除,所以称86为415的魔术数,求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a ,a2, ,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a>, ,an中都至少有一个为 m的“魔术数.解题思想：不妨设aj =71+ti =1, 2,3, , , n； t=0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6至少有一个为

5、m的“魔术数.根据题中条件,利用 a10k +mk是m的位数被7除所得余数,分析i的取值.【例6】一只青蛙,位于数轴上的点a ,跳动一次后到达 ak书,ak, ak书满足|ak书一ak|=1,我们把青蛙从a1开始,经n1次跳动的位置依次记作 An ： a1, a2,改,an. 写出一个 A5,使其 a1 =a5 =0 ,且 a1 + a2 + a3 + 4 + a5 >0; 假设 a1=13, a2000 =2 012 ,求 a1000 的值； 对于整数nn>2,如果存在一个 An能同时满足如下两个条件：a1=0 ；a1 + a2 + a3+ ,+ &=0.求整数n n &

6、gt;2被4除的余数,并说理理由.2021年“创新杯邀请赛试题解题思想：& =a5=0 .即从原点出发,经过 4次跳动后回到原点,这就只能两次向右,两次向x步,向左跳了 y步,那么左.为保证 a + a2 + a3 + % + a5 >0.只需将"向右安排在前即可.假设a=13, a2000 =2 0 1 2,从a1经过1 999步到a2.,不妨设向右跳了x y =199913 x -y =2021x=1999,解得x可见,它一直向右跳,没有向左跳.y =0设An同时？两足两个条件： a=0 ；a + a? + a3 + , + & =0 由于a1=0,故从原点

7、出发,经过k 1步到达ak,假定这k 1步中,向右跳了xk步,向左跳了yk步,于是ak =xk yk,xk+yk =k1,那么a+a2 +a3+, +an=0 +乂2丫2+乂3丫3+,xn yn=2x1 +乂2+,+xn-x2 +y2n n-1+(X373)+,+ (Xn+yn)“X2+X3 + ,+xn)- -由于ai+a2+ 为 + , 十 % 町所以n(n -1)=4( x? + X3 + , + Xn).即 41n(n 1).水平练习A级11的学生得及格,那么2.11 1 .某班学生不到 50人,在一次测验中,有 一的学生得优,-的学生得良,73有 人不及格.2 .从1到10 000这

8、1万个自然数中,有 个数能被5或能被7整除.上海市竞赛试题3 . 一个五位数3ab98能被11与9整除,这个五位数是 .4 .在小于1 997的自然数中,是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是A. 532B. 665C. 133D. 7985 .能整除任意三个连续整数之和的最大整数是A. 1B . 2C. 3D. 6江苏省竞赛试题6 .用数字1, 2, 3, 4, 5, 6组成的没有重复数字的三位数中,是9的倍数的数有A . 12 个B. 18 个C. 20 个D. 30 个“希望杯邀请赛试题7 .五位数abcde是9的倍数,其中abcd是4的倍数,那么abcde的最小值为多少？黄冈市竞赛试题8

9、. 1, 2, 3, 4, 5, 6每个使用一次组成一个六位数字abcdef,使得三位数 abc, bcd , cde, def能依次被4, 5, 3, 11整除,求这个六位数.上海市竞赛试题9 . 173口是个四位数字,数学老师说：“我在这个口中先后填入 3个数字,所得到的 3个四位数,依次可被9, 11, 6整除.问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？“华罗庚金杯邀请赛试题 B级10 假设一个正整数a被2, 3, , , 9这八个自然数除,所得的余数都为1,那么a的最小值为 a的一般表达式为 .“希望杯邀请赛试题11 m , n都是正整数,假设iwmwnw30,且mn能被21整除,那

10、么满足条件的数对m, n 共有 个.天津市竞赛试题12 一个六位数x1989y能被33整除,这样的六位数中最大是 4.有以下两个数串1,3,5,7, ,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,1987,1990,1993,1996,199洞时出现在这两个数串中的数的个数共有个.A. 333B. 334C. 335D. 3365. 一个六位数a1991b能被12整除,这样的六位数共有 个.A. 4B . 6C. 8D. 126. 假设1 059, 1 417, 2 312分别被自然数n除时,所得的余数都是 m ,那么n m的值为.A . 15B . 1C, 164D.

11、1747. 有一种室内游戏,魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc,然后,魔术师再要求他记下五个数：acb, bac, bca , cab, cba,并把这五个数加起来求出和N.只要讲出N的大小,魔术师就能说出原数abc是什么.如果 N=3 194,请你确定abc.美国数学邀请赛试题8. 一个正整数N的各位数字不全相等,如果将 N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一 个最小数,假设最大数与最小数的差正好等于原来的数N,那么称N为“拷贝数,试求所有的三位“拷贝数.武汉市竞赛试题9. 一个六位数,如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置,那么所得的新六位数恰为原数的 6倍,求这个三位数.“

12、五羊杯竞赛试题10. 一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和为1 999,求这个四位数,并说明理由.重庆市竞赛试题11. 从1, 2, , , 9中任取n个数,其中一定可以找到假设干个数 至少一个,也可以是全部 ,它们 的和能被10整除,求n的最小值.2021年全国初中数学竞赛试题数的整除性答案例 1267 提示：333-66=267.例2 C 提示：关于的证实：对于 a, b假设至少有一个是 3的倍数,那么ab是3的倍数.假设a, b 都不是 3 的倍数,那么有：(1)当 a=3m+ 1, b=3n+1 时,a-b= 3(m- n); (2)当 a=3m+1, b = 3n + 2 时,

13、a+b = 3(m+n+1); (3)当 a=3m+2, b=3n+1 时,a+b= 3(m +n+1); (4)当 a=3m+2, b = 3n + 2 时, a b = 3(m n).例 3 a=8. b=0提示：由 9 I (19+a+b)得 a+b=8 或 17;由 11|(3+ab)得 ab=8 或一3.例 4 设 x, y, z, t是整数,并且假设 5a+ 7b22c= x(7a+2b+ 3c) + 13(ya+zb+tc).比拟上式 a, b, c 7x 13y =5的系数,应当有2x+13z=7 ,取x= 3,可以得到y=2, z=1, t=1, 3x 13t =-22贝U有

14、 13 (2a+bc) 3(7a +2b+3c)=5a + 7b22c.既然 3(7a+2b+ 3c)和 13(2a+bc)者B能被 13 整除, 贝U 5a + 7b22c就能被13整除.例5考虑到“魔术数均为7的倍数,又a1,a2, , ,an互不相等,不妨设a1<a2<, <an,余数必为 1, 2, 3,4,5, 6,0,设ai=ki + t(i=1,2,3, , , n； t= 0,1,2,3, 4,5,6),至少有一个为 m的“魔术数,由于ai 10k+m(k是m的位数),是7的倍数,当iw b时,而ai t除以7的余数都是0, 1,2,3, 4, 5, 6中的6

15、个；当i=7时,而aiT0k除以7的余数都是0,1, 2,3,4,5, 6这7个数字循环出现,当i=7时,依抽屉原理,ai 10k与m二者余数的和至少有一个是 7,此时ai - 10k+ m被 7整除,即n=7.例 6(1)A5：0,1, 2, 1,0.(或A5：0,1, 0, 1, 0)(2)a1000=13+ 999 = 1 012.(3)n 被 4 除余数为0或1 .A级1. 12. 3 1433. 39 7984. A 5. C 6. B7. 五位数abcde= 10X abcd + e.又; abcd为4的倍数.故最值为 1 000 ,又由于abcde为9的倍数.故1+ 0+0+0+

16、e能被9整除,所以e只能取8.因此abcde最小值为10 008.8. 324 561 提示：d + f-e是 11 的倍数,但 6<d+f< 5+6=11, 1<e< 6,故 0Wd + f e< 10,因此 d + fe= 0,即 5+f=e,又 e< d, f > 1,故 f=l, e= 6,9. 19提示：1+7+3 + 口的和能被9整除,故口里只能填 7,同理,得到后两个数为8, 4.B级 十1. 2 521 a=2 520n+ 1(nC N )2. 573. 719 895提示：这个数能被 33整除,故也能被3整除.于是,各位数字之和 (x

17、+ 1 + 9+8+9+y)也能 被3整除,故x+y能被3整除.4. B5. B6. A提示：两两差能被 n整除,n=179, m = 164.7. 由题意得 acb + bac + bca + cab + cba = 3 194,两边加上 abc .得 222(a+b+c) = 3194+ abc.222(a+b+c) = 222X14+86+ abc ,那么 abc + 86是 222 的倍数.且a+b+c>14,设abc +86 = 222n考虑到abc是三位数,依次取 n= 1, 2, 3, 4.分别彳#出abc的可能值为 136, 358, 580, 802,又由于 a+b+c

18、> 14,故bc=358.8. 设N为所求的三位“拷贝数,它的各位数字分别为 a, b, c(a, b, c不全相等).将其数码重新排列后,设其中最大数为abc ,那么最小数为 cba .故 N = abc cba = (100a+ 10b+ c) (100c + 10b + a)=99(a c).可知N为99的倍数.这样的三位数可能是 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990.而 这9个数中,只有954 459 =495.故495是唯一的三位“拷贝数.9. 设原六位数为 abcdef,那么 6x abcdef = defabc,即 6x (1000x abc + def )= 1000 x def + abc ,所以 994X def -5 999x abc ,即 142X def = 857x abc ,/ (142, 857)= 1,142| abc , 857| def ,而 abc , def 为三位数,abc = 142, def