2004年辽宁省高考数学试卷

1、2004年辽宁省高考数学试卷、选择题共12小题,每题5分,总分值60分1. 5分假设cose >0 ,且sin2日<0 ,那么角0的终边所在象限是A.第一象限C.第三象限D.第四象限2. (5分)对于0<a<1,给出以下四个不等式()小1 loga(1 +a) <loga(1 +-); a loga(1 a) loga(1 1);a1a1书ca'；i1 a . a a ；其中成立的是()A.B.C.D.3. 5分aP是两个不同的平面,直线a匚a ,直线be P,命题p : a与b没有公共点,命题q:o/P,那么p是4的A .充分不必要条件B .必要不充分条

2、件C.充要条件4. 5分设复数z 满足 1z =i,那么 1 +z =(A. 0B. 1D.既不充分也不必要条件C.2D, 25. 5分甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是Pi,乙解决这个问题的概率是P2 ,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 A . P1P2B. R1pz + P21 PiC. 1 - P1P2D. 1-1-口521一26. 5分点A-2,0、B3,0,动点Px,y满足PAJPB =x ,那么点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线7. 5分函数 fx =sinnx二1 ,那么以下命题正确的选项是 2A. fx是周期为1的奇函数B. fx是周期为2的偶函数

3、C. fx是周期为1的非奇非偶函数D. fx是周期为2的非奇非偶函数9. 5分点Fi-j2 , 0、F2拒,0,动点P满足| PF2 | | PFi |=2 ,当点P的纵坐, 一 1 .标是一时,点2A 6A .2P到坐标原点的距离是C.D. 210. 5 分设 A、B、C、D是球面上的四个点,且在同一平面内,AB = BC=CD =DA=3 ,12345678910P232233234235262229mC.8. 5分随机变量 亡的概率分布如下,那么 P仁=10=2B Zi031D-7i031a. 39球心到该平面的距离是球半径的一半,那么球的体积是C. 24 27：D. 72.2二11.

4、5分假设函数f x =sin6x十中的图象局部如下图,那么切和中的取值是12. 5分有两排座位,前排 11个座位,后排C.中二6D.12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这 2人不左右相邻,那么不同排法的种数是C. 350D. 363二、填空题共 4小题,每题4分,总分值16分2213. 4分假设经过点P1,0的直线与圆x +y +4x2y+3=0相切,那么此直线在 y轴上的截距是(x TC)cos x14(4 分)吗二口T15. (4分)如图,四棱柱ABCD -AB1C1 D1的底面ABCD为正方形,侧棱与底面边长均为 2a ,且/AAD =/AAB =60.,那么侧

5、棱 AA和截面BiDDB的距离是16. (4分)口袋内装有10个相同的球,其中5个球标有数字0, 5个球标有数字1,假设从袋 中摸出5个球,那么摸出的 5个球所标数字之和小于 2或大于3的概率是 .(用数 值作答)三、解做题(共6小题,总分值74分)17. (12分)四棱锥 P-ABCD ,底面ABCD是菱形,/DAB =60'PD_L平面ABCD , PD =AD ,点E为AB中点,点F为PD中点.(1)证实平面 PED_L平面PAB;(2)求二面角P -AB -F的平面角的余弦值.18. (12分)设全集U =R .(1)解关于x的不等式| x -1| +a -1 >0(a

6、R R);(2)记 A为(1)中不等式的解集,集合 B = x |sin(nx -) +V3cos(jrx-) =0,假设(eU Ar| B 33恰有3个元素,求a的取值范围.219. (12分)设椭圆方程为 x2+L=1,过点M (0,1)的直线l交椭圆于点 A、B, O是坐标4一. ,11 T I1 1原点,点P满足OP =(OA+OB),点N的坐标为(一,一),当l绕点M旋转时,求：22 2(1)动点P的轨迹方程；(2) | NP|的最小值与最大值.20. (12分)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔

7、付甲方的情况下,乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x=2000jt.假设乙方每生产一吨产品必须赔 付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年 产量；2(2)甲万每年受乙生厂影响的经济损失金额y=0.002t (元),在乙方根据获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s是多少？21. (14分)函数f (x) =ax 3x2的最大值不大于-,又当xW.J-M,f(x )- - - 26|_4 28(1)求a的值；1 .1(2)设 0 CQ <,

8、an邛 = f (an),n u N +.证实 an <.2 n 1x22. (12 分)函数 f(x)=ln(e +a)(a >0).(1)求函数y=f(x)的反函数y = f(x)及f(x)的导数f'(x);(2)假设对任意xln(3a), ln(4a),不等式|m f(x) |出n( f'(x) <0成立,求实数m的取值范围.2004年辽宁省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共12小题,每题5分,总分值60分1. 5分假设cose >0 ,且sin2日<0,那么角日的终边所在象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】

9、解：由sin29=2sin Bcos日,由于cosQ >0 ,所以sin 0 < 0 ,可以判定角日的终边所 在象限第四象限.2. (5 分)对于 0 <a <1 ,给出以下四个不等式G1 loga(1 a) doga(1)a小1 loga(1 a) loga(1)a其中成立的是A.B.C.D.11【斛答】斛：,0 <a <1 , a < -,从而1 +a <1 + . aabga(1 a)bga(11 -又 0 <a <1 ,a + >a a应选：D .3. 5分 " P是两个不同的平面,直线 auot ,直线bu

10、P ,命题p:a与b没有公 共点,命题q:久/ / P ,那么p是q的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】 解：当a, b都平行于a与P的交线时,a与b无公共点,但0与P相交.当口/P时,a与b一定无公共点, 二 q= p ,但 p= /q,一 1 -z4. (5分)设复数z 满足=i,那么 1 +z =(D. 2【解答】解：由于=i ,所以1 _z =i +zi1 z所以 z =H =(1 _i)(1,)刍1 i (1 i)(1 -i) 2那么 |1 - z|=|1 -i|= 2Pi,乙解决这个问题的5. (5分)甲、乙两人独立地解同一问题,甲

11、解决这个问题的概率是概率是P2 ,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ()A . P1 P2B. R(1 -P2)P2(1 - Pi)C . 1 - P1 P2D . 1 - (1 - P1 )(1 一 P2)【解答】解：根据题意,恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决,那么所求概率是 P1(1 -P2) + P2(1 -P1),应选：B . 26. (5分)点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PAJPB =x ,那么点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解答】解：:动点P(x, y)满足pAjPB =x2 ,.(-2-x, y)U：3 -x , y)

12、=x2, 2.二点P的轨迹方程是y =x+6.应选：D .7. (5分)函数 f(x) =sin(nxJ)-1 ,那么以下命题正确的选项是()2A. f(x)是周期为1的奇函数B . f(x)是周期为2的偶函数D. fx是周期为2的非奇非偶函数2 -【斛答】 斛：由于：T =2,且 f(x) =sin(nx)1 =cosnx_1, 二2由于 f (_x) = f (x)f x为偶函数.12345678910P232鼠2不2丁222229m2121C.A .F38. 5分随机变量 之的概率分布如下,那么 Pe=10=B. 30D 30【解答】解：,-由题意知,此题需要先计算出其它的概率之和, 2

13、1 ,根据表格可以看出 9个变量对应的概率组成一个首项是-,公比是-的等比数列,21 931一(3)11 -3=1 -(；)9,3/ 1 9m 二(力,39. 5分点巳7万,0、F2J2, 0,动点P满足| PF2 |-|PFi |=2 ,当点P的纵坐标是1时,点2A 6A .2P到坐标原点的距离是C.D. 2【解答】解：由得a=1, c = J2,点P的轨迹为双曲线x2-y2=1,1C将y =2代入,得x.|OP尸 x2 y210. 5分设A、B、C、D是球面上的四个点,且在同一平面内, AB =BC=CD =DA=3 ,球心到该平面的距离是球半径的一半,那么球的体积是B . 64 .6 二

14、C. 24 2D. 722：【解答】解：设球的半径为 R,由题意可得还2+R2=r2 22R：球的体积是：1.R3 =8J6 n应选：A .11. 5分假设函数fx=sin6x+中的图象局部如下图,那么 与和邛的取值是A . 6=1,邛B . .=1 ,邛=一三 C.切=,甲D. ?=-,邛=一三332626【解答】解：由图象知,T =4 +- =4n = , © =-,33,2.2 IT又当x=时,y =1 ,31 2-sin-Xy+P =1,中=2而+万,kWZ,当 k=0 时, = _ .应选：C .12. 5分有两排座位,前排 11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定

15、前排中 间的3个座位不能坐,并且这 2人不左右相邻,那么不同排法的种数是A. 234B. 346C. 350D. 363【解答】解：由题意知此题需要分类讨论1前排中间的3个座位不能坐,并且这 2人不左右相邻,前排一个,后排一个共有 2C1匕I =192 .2后排坐两个不相邻,210 +9 +8 + 1=110.3前排坐两个 26 +5 + 1+2 =44个.总共有 192 +110 +44 =346 个.应选：B .二、填空题共 4小题,每题4分,总分值16分2213. 4分假设经过点P1,0的直线与圆x +y +4x2y+3=0相切,那么此直线在 y轴上的第8页共15页截距是 1【解答】解：

16、把P代入到圆方程中,左右两边相等,所以P在圆上,由圆心坐标为C_2,1,得至U kPC0 -1一1一2所以此直线的斜率为1,方程为y =x+1 ,令x=0得到y轴上的截距是1.故答案为：114. 4 分x -二cos x 网一 x.；【解答】解：|而x二江"x =lim 或一洞"里c0s x -.方+如cosx一行.x1二,x -二xf：、.；x -二xf：15. 4分如图,四棱柱ABCD -ABQD的底面ABCD为正方形,侧棱与底面边长均为 2a ,且/AAD =/A AB =60% 那么侧棱 AA和截面BiDDB的距离是 _a_.【解答】 解：由题意知平面 BQQB垂直

17、于A ACC1连 A D , AB, AC1 , AC设AG交BiDi于Q点AC交BD于O点7 ABCD为正方形.BD =A1cl =2 2a.A1O1 = 2a又 /A AD =/AAB =60,AD =AB =2a222ADAi B = B1D1那么4 ABD为等腰直角三角形那么 A.二+2a =AO1在 AO1O中AO =AQ =12 a又 OO1 =2a. AQO为等腰直角三角形二Ai至ij OOi的距离为a即侧棱AA和平面Bi Di DB的距离是a16. 4分口袋内装有10个相同的球,其中5个球标有数字0, 5个球标有数字1,假设从袋中摸出5个球,那么摸出的 5个球所标数字之和小于

18、2或大于3的概率是_短_.用一63 一数值作答【解答】 解：随机变量巳=i表示摸出的5个球所标数字之和为ii=0, 1, 2, 3, 4, 5,那么 P(0),P(1)=等,P(4)=等,P(5),C10C10C10C10故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为P(0) P(1) P(4) P(5)2(C； +c5c：)C1502 26 13252 - 63故答案为.63三、解做题共6小题,总分值74分)17. 12分四棱锥P -ABCD ,底面ABCD是菱形,/DAB =60'PD_L平面ABCD ,PD =AD ,点E为AB中点,点F为PD中点.1证实平面 PED_L平面P

19、AB；2求二面角P -AB -F的平面角的余弦值.【解答】1证实：连接 BD.,：AB=AD, /DAB =60AADB为等边三角形.1'E 是 AB 中点,AB 1 DE . 2分PD,面 ABCD , ABU 面 ABCD, AB_L PD .I'DEu 面 PED, PD 仁面 PED, DeR PD = D ,二八8,面 PED .4 分,:ABU 面 PAB,面 PED_L面PAB.6 分2解：,：AB_L 平面 PED, PE 仁面 PED ,AB_LPE.连接 EF , ；EF PED , AB_ EF.NPEF为二面角PAB F的平面角.9分设 AD =2 ,那

20、么 PF =FD =1 , DE =曲 在妒EF 中,PE =",EF =2,PF =1 ,.cos. PEF =五*1 =5J , 2 2 714即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 亚.12分1418. 12分设全集U =R .1解关于x的不等式|x1|为1A0aWR；2记 A为1中不等式的解集,集合 B=x|sinnx - +V3cosJix- =0,假设eU Afi B 33恰有3个元素,求a的取值范围.【解答】 解：1由|x1|+a1>0得|x1?1a.当a >1时,解集是R;当a, 1时,解集是x|x <a ,或x >2 _a.(2)当a>

21、1时,euA=0,不满足条件.当 a,1 时,eUA=x|a强版 2 _a , .2-a -1 .因 sin(二x-) 3cos(二x 二)=2sin(二x _)cos cos(二x _)sin _ = 2sin 二 x .333333由 sinnx=0,得 nx=kn(kwZ), IP x =k Z ,所以 B=Z.12 -a a2当(句A)|B恰有3个元素时,a满足42aa <4成立,解得-1 < a, 0 .a, 12O是坐标求：19. (12分)设椭圆方程为 x2十工=1,过点M (0,1)的直线l交椭圆于点 A、B,4一. ,1 T 11 1原点,点P满足OP =(OA+

22、OB),点N的坐标为(,),当l绕点M旋转时,22 2(1)动点P的轨迹方程；(2) |部|的最小值与最大值.【解答】 解：(1)直线l过点M(0,1)设其斜率为k ,那么l的方程为y = kx+1.记 A(x, y)、B(x2 ,V2),由题设可得点 A、B的坐标是方程组y = kx 1 2x2 =1 4的解.将代入并化简得,22(4 +k )x +2kx 3 =0 ,Xi所以iy1X2 二72 二1于是 OP =-(OA OB)=(Xi X2 y1 '2、-k4 、2,2" 4 k2 ,4 k2 ,设点P的坐标为-k x(x,y),那么 $4 /4y 4 k22k4 k2

23、消去参数k得4x2 + y2 y =0当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为 4x2 +y2 -y =0 .(2 ) 解：由点 P的轨迹方程知x2 1 , 即殛1 . 所以 1644o 12121212127|N P|= (X 2 )>= X(-)/ 4 =玄32( )222461 21- 1 .1-故当x=- , |NP|取得最小值,最小值为 ；当x = _一时,|NP|取得最大值, 446620. 12分甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方

24、的年利润x 元与年产量t 吨满足函数关系x=2000jf.假设乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元以下称s为赔付价格.1将乙方的年利润 w 元表示为年产量t 吨的函数,并求出乙方获得最大利润的年 产量；2甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t2 元,在乙方根据获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少？【解答】 解：1由于赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000jf-st.10001000 -si田 w =-L -s =f= ,. t,.t令 w,=0,得 t =t0 k10002.s当 t<to 时,w

25、9;A0；当 t Ato 时,w'<0,所以t =to时,w取得最大值.因此乙方取得最大年利润的年产量10为!°002 吨；s2设甲方净收入为v元,那么v = st -0.002t2 .100010629将tq10002代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v=10-?乂109.ss sP . 106 80 00 -s3又 v =一,s令 v'=0 ,得 s =20 .当 s <20 时,v'aO ;当 sa20 时,v'<0,所以s =20时,v取得最大值.s=20 (元/吨)时,获最大净收入.因此甲方应向乙方要求赔

26、付价格21. (14分)函数f (x) =ax _3x2的最大值不大于 L 又当xW时,ffx )4.264 28(1)求a的值；1 1(2)设 0<& <,an=f(an),n = N +.证实 an <.2 n 12【解答】解：(1)由于f(x) =ax_3x2的最大值不大于1 ,所以f (-)=26361 1.1 一一 .又xE,时f(x)-,所以4 28,1、1 a 3 2 1 i f (-),- - i - - a 2 2 8 即 J2 88 解得 a-1.1f J)11.484 328由得a =1.(2)由(1)知 f(x)=x-x221 一1 一当n =1时,0 <a1 <5 ,不等式0 <an < 成乂；2 1 1因 f(x)0,xW(0,_),所以 0<a2=f(a1),故 n = 2时不等式也成立.3 6 313 c1假设n=k(k2)时,不等式0 <ak <成乂,由于f(x)=x -