挑战中考数学压轴题(全套含答案)

1、第一部分 函数图象中点得存在性问题§ 1.1 因动点产生得相似三角形问题例 12014 年衡阳市中考第28题例 22014 年益阳市中考第21 题例 32015 年湘西州中考第26题例 4 2015 年张家界市中考第 25题例 52016 年常德市中考第26 题例 62016 年岳阳市中考第24 题例 7 2016 年上海市崇明县中考模拟第25 题例 8 2016 年上海市黄浦区中考模拟第26 题§ 1.2 因动点产生得等腰三角形问题例 9 2014 年长沙市中考第 26 题例 10 2014年张家界市第25题例 112014 年邵阳市中考第26 题例 122014年娄底市

2、中考第27题例 132015 年怀化市中考第22题例 142015 年长沙市中考第26 题例 152016 年娄底市中考第26 题例 16 2016 年上海市长宁区金山区中考模拟第 25 题例 172016 年河南省中考第23 题例 182016 年重庆市中考第25题§ 1.3 因动点产生得直角三角形问题例19例 20例 21例 22例 23§ 1.4例 24例 25例 26例 27例 28例 29例 30例 31§ 1.5例 32例 33例 34例 35例 36例 37例 382015 年湘潭市中考第26 题2016 年郴州市中考第26 题2016 年上海市松江

3、区中考模拟第25 题2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题因动点产生得平行四边形问题2014年岳阳市中考第24题2014年益阳市中考第20题2014年邵阳市中考第25题2015 年郴州市中考第25题2015 年黄冈市中考第24题2016 年衡阳市中考第26题2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第 24 题2016 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题因动点产生得面积问题2014年常德市中考第25题2014年永州市中考第25题2014年怀化市中考第24题2015 年邵阳市中考第26题2015 年株洲市中考第23题2015 年衡阳市中考第28题例 392016 年永州市中考第26 题例 40

4、2016 年邵阳市中考第26题例 412016 年陕西省中考第25题§ 1.6 因动点产生得相切问题例 422014年衡阳市中考第27题例 432014年株洲市中考第23题例 442015 年湘潭市中考第25题例 452015 年湘西州中考第25题例 462016 年娄底市中考第25 题例 472016 年湘潭市中考第26题例 48 2016 年上海市闵行区中考模拟第24 题例 49 2016 年上海市普陀区中考模拟中考第25题§ 1.7 因动点产生得线段与差问题例 502014年郴州市中考第26题例 512014年湘西州中考第25题例 522015 年岳阳市中考第24 题

5、例 532015 年济南市中考第28 题例 542015 年沈阳市中考第25题例 552016 年福州市中考第26题例 56 2016 年张家界市中考第 24 题例 57 2016 年益阳市中考第21 题第二部分 图形运动中得函数关系问题§ 2.1 由比例线段产生得函数关系问题例 12014 年常德市中考第26 题例 22014 年湘潭市中考第25 题例 32014 年郴州市中考第25 题例 42015 年常德市中考第25 题例 52015 年郴州市中考第26 题例 62015 年邵阳市中考第25 题例 72015 年娄底市中考第26 题例 82016 年郴州市中考第25 题例 92

6、016 年湘西州中考第26 题例 10 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 25 题例 11 2016 年哈尔滨市中考第 27 题第三部分 图形运动中得计算说理问题§ 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 12014 年长沙市中考第25 题例 22014 年怀化市中考第23 题例 32014 年湘潭市中考第26 题例 42014 年株洲市中考第24 题例 52015 年衡阳市中考第27 题例 62015 年娄底市中考第25 题例 72015 年永州市中考第26 题例 82015 年长沙市中考第25 题例92015 年株洲市中考第24 题例10例11例12例13例14&#

7、167; 3.2例15例16例17例18例19例 20例 21例 22例 23例 24例 25例 26例 27§ 4.12016 年怀化市中考第22题2016 年邵阳市中考第25 题2016 年株洲市中考第26题2016 年长沙市中考第25 题2016 年长沙市中考第26 题几何证明及通过几何计算进行说理问题2014年衡阳市中考第26题2014年娄底市中考第26题2014年岳阳市中考第23题2015 年常德市中考第26 题2015 年益阳市中考第20题2015 年永州市中考第27 题2015 年岳阳市中考第23 题2016 年常德市中考第25 题2016 年衡阳市中考第25题2016

8、 年永州市中考第27 题2016 年岳阳市中考第23 题2016 年株洲市中考第25题2016 年湘潭市中考第25题第四部分 图形得平移、翻折与旋转图形得平移例 12015 年泰安市中考第15 题例 22015 年咸宁市中考第14 题例 32015 年株洲市中考第14 题例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第 18 题§ 4.2 图形得翻折例 5 2016 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题例 6 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 18 题例 7 2016 年上海市闵行区中考模拟第 18 题例 8 2016 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题例 8 2016 年上海市普

9、陀区中考模拟第 18 题例 102016 年常德市中考第15 题例 11 2016 年张家界市中考第 14 题例 122016 年淮安市中考第18 题例 132016 年金华市中考第15 题例 142016 年雅安市中考第12 题§ 4.3 图形得旋转例 15 2016 年上海昂立教育中学生三模联考第 18 题例 16 2016 年上海市崇明县中考模拟第18 题例 17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第18 题例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第 18 题例 19 2016 年上海市闸北区中考模拟第18 题例 20 2016 年邵阳市中考第13 题2016 年株洲市中

10、考第4 题例 21§ 4.4例 22例 23例 24例 25例 26例 27例 28例 29例 30§ 4.5例 31例 32例 33例 34例 35例 36例 37例 38例 39§ 4.6三角形2016 年安徽省中考第10题2016 年武汉市中考第10题2016 年河北省中考第16 题2016 年娄底市中考第10 题2016 年苏州市中考第9 题2016 年台州市中考第10题2016 年陕西省中考第14题2016 年内江市中考第11题2016 年上海市中考第18题四边形2016 年湘西州中考第11题2016 年益阳市中考第4 题2016 年益阳市中考第6 题2

11、016 年常德市中考第16 题2016 年成都市中考第14 题2016 年广州市中考第13题2016 年福州市中考第18题2016 年无锡市中考第17题2016 年台州市中考第15题例 40 2016 年滨州市中考第16 题例 41 2016 年宁波市中考第17 题例 42 2016 年连云港市中考第 16 题例 432016 年烟台市中考第17题例 442016 年烟台市中考第18题例 452016 年无锡市中考第18题例 462016 年武汉市中考第9 题例 472016 年宿迁市中考第16 题例 482016 年衡阳市中考第17题例 492016 年邵阳市中考第18题例 502016 年

12、湘西州中考第18题例 512016 年永州市中考第20 题§ 4.7函数得图象及性质例 522015 年荆州市中考第9 题例 532015 年德州市中考第12 题例 542015 年烟台市中考第12题例 552015 年中山市中考第10题例 562015 年武威市中考第10 题例 57 2015 年呼与浩特市中考第10 题例 582016 年湘潭市中考第18题例 592016 年衡阳市中考第19题例 602016 年岳阳市中考第15 题例 61 2016 年株洲市中考第9 题例 622016 年永州市中考第19 题例 632016 年岳阳市中考第8 题例 642016 年岳阳市中考第

13、16 题例 652016 年益阳市中考第14 题例 662016 年株洲市中考第10 题例 672016 年株洲市中考第17 题例 682016 年东营市中考第15 题例 692016 年成都市中考第13 题例 702016 年泰州市中考第16 题例 712016 年宿迁市中考第15 题例 722016 年临沂市中考第14 题例 73 2016 年义乌市绍兴市中考第 9 题例 742016 年淄博市中考第12 题例 752016 年嘉兴市中考第16 题§ 1.1 因动点产生得相似三角形问题课前导学相似三角形得判定定理有3 个,其中判定定理1 与判定定理2都有对应角相等得条件,因此探求

14、两个三角形相似得动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理 2 就是最常用得解题依据,一般分三步 :寻找一组等角 ,分两种情况列比例方程,解方程并检验.如果已知/ A=Z D,探求 ABC与 DEF相似，只要把夹/ A与/ D得两边表示出来，按 照对应边成比例 ,分与两种情况列方程.应用判定定理1 解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理3 解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程（组 ）.还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形得锐角三角比就是确定得，那么就转化为讨论另一个三角形就是直角三角形得问题求线段得长，要用

15、到两点间彳#距离公式，而这个公式容易记错.理解记忆比较好.如图1,如果已知A、B两点得坐标，怎样求A、B两点间得距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB得长了 .水平距离竖直距离AC就就是BC得长就就是A、B两点间得水平距离，等于A、B两点得横坐标相减； A、B两点间得竖直距离，等于A、B两点得纵坐标相减.2014图1年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y=ax2+bx+c(aw0)得图象与x轴交于A( 3, 0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3m)(m> 0),顶点为 D.(1)求该二次函数得解析式(系数用含m得代数式表示);

16、(2)如图1,当m = 2时，点P为第三象限内抛物线上得一个动点，设4APC得面积为S,试求出S与点P得横坐标x之间得函数关系式及 S得最大值；(3)如图2,当m取何值时，以A、D、C三点为顶点得三角形与 OBC相似?图2动感体验请打开几何画板文件名14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC得中点得正下方时,APC得面积最大.拖动y轴上表示实数 m得点运动，抛物线得形状会改变， 可以体验到，/ACD与/ ADC都可以成为直角.思路点拨1 .用交点式求抛物线得解析式比较简便.2 .连结OPAAPC可以割补为：4AOP与4COP得与，再减去 AOC.3 .讨论 ACD与OBC相似，

17、先确定 ACD就是直角三角形，再验证两个直角三角形就 是否相似.4 .直角三角形ACD存在两种情况图文解析(1)因为抛物线与 x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，设y=a(x+ 3)(x1).代入点 C(0, 3m),得3m = 3a.解得 a= m.所以该二次函数得解析式为y= m(x+ 3)(x- 1) = mx2+ 2mx- 3m.(2)如图3,连结OP.当 m=2 时,C(0, 6),y=2x2 + 4x6，那么 P(x, 2x2+4x6).由于 Saop= (2x2+4x 6)= 3x2 6x+ 9,字 cop= = _ 3x,Saaoc= 9,所以 S= Sa apc =

18、Sa aop+ Sa cop Saaoc = - 3x2 - 9x=.所以当时，S取得最大值，最大彳1为.3m.(3)如图4,过点D作y轴得垂线，垂足为E.过点A作x轴得垂线交DE于F.由 y = m(x+ 3)(x 1)= m(x+ 1)2 4m,得 D( 1, 4m).在 RtAOBC 中,OB ： OC = 1 ： 3m.如果 ADC与 OBC相似，那么 ADC就是直角三角形，而且两条直角边得比为 1 如图4,当/ ACD=90°时,.所以.解得m= 1.此时，.所以.所以 CDAAOBC.如图5,当/ ADC=90°时,.所以.解得. 此时，而.因此 DCA与&am

19、p; OBC不相似. 综上所述，当m= 1时,CDAsOBC.考点伸展第(2)题还可以这样割补：如图6,过点P作x轴得垂线与AC交于点H.由直线 AC:y= 2x6，可得 H(x,-2x- 6).又因为 P(x, 2x2+4x 6),所以 HP = 2x26x.因为 PAH与/ PCH有公共底边 HP,高得与为 A、C两点间得水平距离 3,所以S= SA APC= SaAPH + 5A CPH= (-2x2-6x)例22014 年湖南省益阳市中考第21题如图 1,在直角梯形 ABCD 中,ABCD,AD，AB,/B=60°,AB=10,BC = 4,点 P 沿线段 AB从点A向点B运

20、动，设AP = x.2icnjy(1)求AD得长;(2)点P在运动过程中，就是否存在以A、P、D为顶点得 三角形与以P、C、B为顶点得三角形相似？若存在，求出x 得值;若不存在，请说明理由；(3)设4 ADP与 PCB得外接圆得面积分别为 S1、S2,若 S= S1+S2,求S得最小值、动感体验图1请打开几何画板文件名“ 14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心。得运 动轨迹就是线段 BC得垂直平分线上得一条线段 .观察S随点P运动得图象，可以瞧到，S有最 小值,此时点P瞧上去象就是 AB得中点，其实离得很近而已.思路点拨5 .第(2)题先确定 PCB就是直角三角形，再验证两个三

21、角形就是否相似 .6 .第(3)题理解 PCB得外接圆彳#圆心 O很关键，圆心O在确定得BC得垂直平分线上， 同时又在不确定得 BP得垂直平分线上.而BP与AP就是相关得，这样就可以以AP为自变量, 求S得函数关系式.图文解析(1)如图2,作CHLAB于H,那么AD = CH.在 RtABCH 中,/B=60°,BC = 4,所以 BH = 2,CH=.所以 AD =.(2)因为 APD就是直角三角形，如果 APD与 PCB相似，那么 PCB 一定就是直角三 角形.如图 3,当/ CPB=90° 时,AP= 102=8.所以=，而=.此时 APD与 PCB不相似.如图 4,

22、当/ BCP=90° 时,BP = 2BC=8.所以 AP = 2.所以=.所以/ APD = 60° .此时 APDs cbp.综上所述，当x= 2时,APDs CBP.(3)如图5,设 ADP得外接圆得圆心为 G,那么点G就是斜边DP得中点.设 PCB得外接圆得圆心为 O,那么点O在BC边得垂直平分线上，设这条直线与BC交 于点E,与AB交于点F.设 AP=2m.作 OMBP 于 M,那么 BM=PM=5m.在 RtBEF 中,BE=2,/B=60° ,所以 BF = 4.在 RtAOFM 中,FM = BF BM=4(5m)=m 1,/OFM = 30

23、76; 所以OM = .所以 OB2=BM2+OM2=.在 RtAADP 中,DP2= AD2+AP2= 12+4m2.所以 GP2=3+m2.于就是 S= Si+S2= 4GP2 + OB2)所以当时，S取得最小值，最小彳1为.图5图6考点伸展关于第(3)题我们再讨论个问题.问题1,为什么设 AP = 2m呢？这就是因为线段 AB = AP + PM + BM = AP + 2BM=10.这样BM = 5m,后续可以减少一些分数运算 .这不影响求S得最小值.问题2,如果圆心O在线段EF得延长线上，S关于m得解析式就是什么？如图6,圆心O在线段EF得延长线上时，不同得就是FM = BM-BF=

24、 (5-m)-4=1-m.此时OB2=BM2+OM2=.这并不影响S关于m得解析式.2015年湖南省湘西市中考第26题如图1,已知直线y=x+ 3与x轴、y轴分别交于 A、B两点，抛物线y= x2+bx+c经 过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位得速度匀速运动；同时, 点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位得速度匀速运动，连结PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线得解析式；(2)问:当t为何值时,AAPQ为直角三角形；(3)过点P作PE/y轴，交AB于点E,过点Q作QF/y轴, 交抛物线于点F,连结EF,当EF/PQ时，求点F得坐标；(4)设抛物线顶点为

25、M,连ZBP、BM、MQ,问:就是否 存在t得值，使以B、Q、M为顶点得三角形与以 O、B、P 为顶点得三角形相似？若存在，请求出t得值;若不存在，请 说明理由. 图1 动感体验请打开几何画板文件名“1相西26”拖动点P在OA上运动，可以体验到 QAPQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形,MBQ与ABOP有一次机会相似.思路点拨1 .在 APQ中，/A=45。，夹/ A得两条边AP、AQ都可以用t表示,分两种情况讨论直角 三角形APQ.2 .先用含t得式子表布点P、Q得坐标，进而表布点E、F得坐标，根据PE=QF列方程就 好了 .3.A MBQ与 BOP都

26、就是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析(1)由 y= x+3，得 A(3, 0),B(0, 3).将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y=-x2+bx+ c,得 解得所以抛物线得解析式为 y=-x2+ 2x+ 3.(2)在 APQ 中,/PAQ=45° ,AP = 3-t,AQ = t.分两种情况讨论直角三角形APQ:当/ PQA = 90° 时,AP = AQ.解方程 3 t=2t,得 t= 1(如图 2).当/QFA=90° 时,AQ = AP.解方程 t=(3t),得 t=1、5(如图 3).(3)如图4,因为PE/QF,当EF/PQ

27、时,四边形EPQF就是平行四边形所以 EP=FQ.所以 yEyp=yFyQ.因为 xp= t,xQ = 3 t,所以 yE= 3 t,yQ= t,yF= (3 t)2+ 2(3 t) + 3 = t2+ 4t.因为yEyp= yFyQ,解方程3 t = (- t2+4t)t,得t = 1,或t= 3(舍去).所以点F得坐标为(4)由 y = x2+ 2x+ 3=- (x- 1)2+ 4,得 M(1,4).由A(3, 0)、B(0, 3),可知A、B两点间得水平距离、竖直距离相等，AB=3.由B(0, 3)、M(1,4),可知B、M两点间得水平距离、竖直距离相等,BM = .所以/ MBQ =/

28、 BOP = 90° .因此 MBQ与 BOP相似存在两种可能：当时，.解得(如图5).当时，.整理，得t23t+3 = 0.此方程无实根.考点伸展第(3)题也可以用坐标平移得方法：由P(t, 0),E(t, 3 t),Q(3t, t),按照P-E方向，将点Q向上平移彳导F(3 t, 3).再将 F(3 t, 3)代入y= x2+2x+ 3,得t= 1,或t=3.§ 1.2 因动点产生得等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1 .已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰得等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C得轨迹就 是什么？2 .已知线段AB= 6厘米，以线段AB为底边

29、得等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C得轨迹 就是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都就是顶点C.已知底边画等腰三角形，顶角得顶点在底边彳#垂直平分线上，垂足要除外.在讨论等腰三角形彳#存在性问题时，一般都要先分类.如果 ABC就是等腰三角形，那么存在AB= AC,BA= BC,CA=CB三种情况.解等腰三角形得存在性问题，有几何法与代数法，把几何法与代数法相结合，可以使得解 题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢?如果 ABC得/ A（得余弦值）就是确定得，夹/ A得两边AB与AC可以用含x得式子表示 出来，那么就用几何法.如图1,如果

30、AB = AC,直接列方程；如图2,如果BA=BC,那么;如图3,如果CA=CB, 那么.代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.如果三角形得三个角都就是不确定得，而三个顶点得坐标可以用含x得式子表示出来，那么根据两点间得距离公式，三边长（得平方）就可以罗列出来.2014年长沙市中考第26题如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c就是常数，aw0)得对称轴为y轴,且经过(0,0)与两 点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心得。P总经过定点 A(0, 2).求a、b、c得值；(2)求证:在点P运动得过程中，OP始终与x轴相交；(3)设。P与x轴相交于M(xi, 0)、N(

31、x2, 0)两点，当 AMN为等腰三角形时，求圆心P得纵 坐标.动感体验请打开几何画板文件名“ 14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总就是相交得，等腰三角形AMN存在五种情况.思路点拨1 .不算不知道，一算真奇妙，原来。P在x轴上截得得弦长 MN=4就是定值.2.等腰三角形 AMN存在五种情况，点P得纵坐标有三个值，根据对称性，MA=MN与NA =NM时，点P得纵坐标就是相等得.图文解析(1)已知抛物线得顶点为(0,0)，所以y= ax2所以b=0,c= 0.将代入y= ax2,得.解得(舍去了负值).(2)抛物线得解析式为，设点P得坐标为.已知A(0, 2),所以

32、 .而圆心P到x轴得距离为，所以半径PA圆心P到x轴得距离.所以在点P运动得过程中，OP始终与x轴相交.(3)如图2,设MN得中点为H,那么PH垂直平分 MN.在 RtAPMH 中,，所以 MH2=4.所以MH = 2.因此MN = 4,为定值.等腰 AMN存在三种情况：如图3,当AM = AN时，点P为原点O重合,此时点P得纵坐标为0.图3如图 4,当 MA=MN 时，在 RtA AOM 中,OA= 2,AM = 4,所以 OM = 2.此时x= OH =2.所以点P得纵坐标为.如图5,当NA=NM时,根据对称性，点P得纵坐标为也为.图4如图 6,当 NA=NM = 4 时，在 RtAAON

33、 中,OA= 2,AN= 4,所以 ON=2.此时x= OH =2.所以点P得纵坐标为.如图7,当MN = MA = 4时，根据对称性，点P得纵坐标也为.考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心得。P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动得过 程中，。P始终与直线y= 1相切.这就是因为：设点P得坐标为.已知B(0, 1)，所以.而圆心P到直线y=1得距离也为，所以半径PB=圆心P到直线y= 1得距离.所以 在点P运动得过程中,。P始终与直线y = 1相切.例102014年湖南省张家界市中考第25题如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y= ax2+bx+c(aw 0)过。、B

34、、C 点,B、C坐标分别为(10, 0)与，以OB为直径得。A经过C点，直线l垂直x轴于B点.(1) 求直线BC 得解析式 ;(2) 求抛物线解析式及顶点坐标;点M就是O A上一动点(不同于 O、B),过点M作。A得切线，交y轴于点E,交直线l于点F,设线段ME长为m,MF长为n,请猜想mn得值,并证明您得结 论;(4)若点 P 从 O 出发 ,以每秒1 个单位得速度向点B 作直线运动,点 Q 同时从 B 出发 ,以相同速度向点C作直线运动，经过1(018)秒时恰好使 BPQ为等腰三角形,请求出满足条件得t 值 .图图1动感体验请打开几何画板文件名“ 14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以

35、体验到,AEAF保持 直角三角形得形状 AM就是斜边上得高.拖动点Q在BC上运动，可以体验到BPQ有三个时 刻可以成为等腰三角形.思路点拨1 .从直线BC得解析式可以得到/ OBC得三角比，为讨论等腰三角形 BPQ作铺垫.2 .设交点式求抛物线得解析式比较简便.3 .第 (3)题连结AE、 AF 容易瞧到 AM 就是直角三角形EAF 斜边上得高.4.第(4)题得 PBQ中,/ B就是确定得，夹/ B得两条边可以用含t得式子表示.分三种情 况讨论等腰三角形.图文解析(1)直线BC 得解析式为.(2)因为抛物线与 x轴交于O、B(10, 0)两点，设y=ax(x10).代入点C,得.解得.所以 .

36、抛物线得顶点为 .(3)如图2,因为EF切。A于M,所以AMXEF.由 AE= AE,AO = AM,可得 RtA AOE RtAAME .所以/ 1 = Z 2.同理/ 3=/ 4.于就是可得/ EAF = 90° .所以/ 5=/ 1.由 tan / 5= tan/1,得.所以 ME MF = MA2,即 mn=25.(4)在 BPQ 中,cos/B = ,BP= 10t,BQ = t.分三种情况讨论等腰三角形BPQ：如图3,当BP=BQ时,10t=t.解得t=5.如图4,当PB=PQ时，.解方程，得.如图5,当QB=QP时，.解方程 相.考点伸展A.在第(3)题条彳下，以EF为

37、直径得。G与x轴相切于点如图6,这就是因为AG既就是直角三角形 EAF斜边上彳#中线，也就是直角梯形 EOBF得 中位线，因此圆心G到x轴得距离等于圆得半径，所以。G与x轴相切于点A.例112014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 (m+n)x+mn( m>n)与x轴相交于A、B两点(点A 位于点B得右侧，与y轴相交于点C.(1)若m= 2, n= 1,求A、B两点得坐标；(2)若A、B两点分别位于y轴得两侧，C点坐标就是(0, 1)，求/ ACB得大小；(3)若m= 2, ABC就是等腰三角形，求n得值.动感体验请打开几何画板文件名“ 14邵阳26”，点击屏

38、幕左下方得按钮(2),拖动点A在x轴正半 轴上运动，可以体验到， ABC保持直角三角形得形状.点击屏幕左下方得按钮(3),拖动点B在 x轴上运动，观察 ABC得顶点能否落在对边得垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况.思路点拨1 .抛物线得解析式可以化为交点式，用m,n表示点A、B、C得坐标.2 .第（2）题判定直角三角形 ABC,可以用勾股定理得逆定理，也可以用锐角得三角比3.第（3）题讨论等腰三角形 ABC,先把三边长（得平方）罗列出来，再分类解方程.图文解析(1)由 y=x2-(m+ n)x+mn= (x m)(x n),且 m>n,点 A位于点 B 得右侧,可知 A

39、(m, 0),B(n, 0).若 m=2,n=1,那么 A(2, 0),B(1,0).(2)如图1,由于C(0, mn),当点C得坐标就是(0,1),mn= 1,OC = 1.若A、B两点分别位于y轴得两侧，那么OA OB = m(n)=mn= 1.所以OC2 = OA OB.所以.所以 tan/ 1 = tanZ 2.所以/ 1 = / 2.又因为/ 1与/ 3互余，所以/ 2与/ 3互余.所以/ ACB = 90° .图1图2在4ABC 中，已知 A（2, 0）,B（n, 0）,C（0, 2n）.讨论等腰三角形ABC,用代数法解比较方便：由两点间得距离公式，得AB2= (n-2)

40、2,BC2= 5n2,AC2= 4+ 4n2.当AB = AC时,解方程（n2）2= 4+ 4n2,得（如图2）.当CA = CB时,解方程4+4n2=5n2,#n=-2（如图3）,或n=2（A、B重合，舍去）.当BA=BC时,解方程（n2）2=5n2,得（如图4）,或（如图5）.考点伸展第（2）题常用得方法还有勾股定理得逆定理由于C(0, mn),当点C得坐标就是(0,1),mn= 1.由 A(m, 0),B(n, 0),C(0, 1),得 AB2= (m n)2= m2 2mn+ n2= m2 + n2 + 2,BC2= n2+ 1,AC2= m2+ 1.所以 AB2=BC2+AC2 于就

41、是得到 RtAABC,/ACB= 90°第(3)题在讨论等月三角形 ABC时，对于CA=CB得情况，此日A、B两点关于y轴对称， 可以直接写出 B( 2, 0),n=- 2.例122014年湖南省娄底市中考第27题如图1,在 ABC中,/ ACB = 90°,AC=4cm,BC = 3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们得速度均为1cm/s.连结PQ,设运动时间为t(s)(0vt<4),解答下列问题设4APQ得面积为S,当t为何值时，S取得最大值？ S得最大值就是多少?图1图2当t为何值时 AAPQ就是(2

42、)如图2,连结PCA PQC沿QC翻折，得到四边形 PQP C,当四边形PQP C为菱形时 求t得值；动感体验请打开几何画板文件名“ 14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动 到AB得中点时，4APQ得面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况.还可以体验到，当QC = 2HC时,四边形PQPC就是菱形.思路点拨1 .在 APQ中，/ A就是确定得，夹/ A得两条边可以用含t得式子表示.2.四边形PQP C得对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它就是菱形,.图文解析在 RtAABC 中,AC = 4,BC= 3,所以 AB= 5,sinA= ,cosA=.作 QDAB 于 D,

43、那么 QD = AQ sinA= t.所以 S= SbAPQ= = = =.当时,S取得最大值，最大值为.(2)设 PP'与 AC 交于点 H,那么 PP' ± QC,AH = APcosA=.如果四边形PQPC为菱形，那么PQ=PC.所以QC = 2HC.解方程，得.图3图4(3)等腰三角形APQ存在三种情况：如图5,当AP=AQ时,5t=t.解得.如图6,当PA=PQ时，.解方程，得.如图7,当QA=QP时，.解方程，得.图5图6图7考点伸展在本题f#境下，如果点Q就是 PP C得重心，求t得值.如图8,如果点Q就是 PPC得重心，那么QC=HC.解方程，得.图8

44、例132015年湖南省怀化市中考第22题如图1,已知RtAABC中，/C=90°,AC=8,BC=6,点P以每秒1个单位得速度从 A向C 运动，同时点Q以每秒2个单位得速度从 A- B-C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点 P、Q运动得时间为t秒.(1)在运动过程中，求P、Q两点间距离得最大值；(2)经过t秒得运动，求 ABC被直线PQ扫过得面积S与时间t得函数关系式；(3)P,Q两点在运动过程中，就是否存在时间t,使得 PQC为等腰三角形.若存在，求出此时 得t值，若不存在，请说明理由.(,结果保留一位小数)A PC图1动感体验请打开几何画板文件名“ 15怀化22”，拖动点P在

45、AC上运动，可以体验到，PQ与BD保 持平行，等腰三角形PQC存在三种情况.思路点拨1 .过点B作QP得平行线交AC于D，那么BD得长就就是PQ得最大值.2 .线段PQ扫过得面积S要分两种f#况讨论，点Q分别在AB、BC上.3 .等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长.图文解析在 RtAABC 中,AC=8,BC= 6,所以 AB= 10.如图2,当点Q在AB上时作BD/PQ交AC于点D,那么.所以AD=5.所以CD = 3.如图3,当点Q在BC上时,.又因为，所以.因此PQ/BD.所以PQ得最大值就就是 BD.在RtABCD中,BC=6,CD=3,所以BD=.所以PQ得最大值就是.AP

46、QC ADP CAH图2图3图4(2)如图2,当点Q在AB上时,0V tW5,S3=15.由 AQPs/ ABD,得.所以 S= Saaqp=.如图3,当点Q在BC上时,5<tW8,SAabc=24.因为 SaCQP= = =,所以 S= Sa ABC 一 Sa cqp= 24 (t 8)2= - t2+ 16t 40.(3)如图3,当点Q在BC上时,CQ = 2CP,/C=90°,所以 PQC不可能成为等腰三角形 当点Q在AB上时，我们先用t表示 PQC得三边长：易知CP = 8-t.如图2,由QP/BD,得，即.所以.如图 4,作 QH LAC 于 H.在 RtAQH 中,

47、QH = AQ sin/A=,AH=.在RtCQH中，由勾股定理，得CQ = =.分三种情况讨论等腰三角形 PQC:当PC =PQ时,解方程，得美、4(如图5所示).当QC= QP时,.整理得.所以(11t 40)(t 8)= 0.解得 3 6(如图6所示)，或t= 8(舍去).当CP=CQ时,.整理，得.解得=3、2(如图7所示)，或t= 0(舍去).综上所述，当t得值约为3、4,3、6,或等于3、2时,APQC就是等腰三角形图7考点伸展第(1)题求P、Q两点间距离得最大值，可以用代数计算说理得方法如图8,当点Q在AB上时,PQ= =.当Q与B重合时，PQ最大，此时t=5,PQ得最大值为如图

48、9,当点Q在BC上时,PQ=.当Q与B重合时，PQ最大，此时t=5,PQ得最大值为 综上所述，PQ得最大值为.图8图9§ 1.3 因动点产生得直角三角形问题课前导学我们先瞧三个问题：1 .已知线段AB,以线段AB为直角边得直角三角形 ABC有多少个？顶点 C得轨迹就是什 么？2 .已知线段AB,以线段AB为斜边得直角三角形 ABC有多少个？顶点 C得轨迹就是什 么？3 .已知点A(4,0)，如果 OAB就是等腰直角三角形，求符合条件得点 B得坐标.图3图1图2如图1,点C在垂线上，垂足除外.如图2,点C在以AB为直径得圆上,A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形，除了 O、A

49、两点以外得顶点与正方形对角线得交点，都就是符合题意得点B,共6个.解直角三角形得存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根.一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半列方程更简便解直角三角形得问题，常常与相似三角形、三角比得问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行得直线，可以构造两个新得相似直角三角形，这样列比例方程比较简便.如图4,已知A(3, 0),B(1,4)，如果直角三角形 ABC得顶点C在y轴上，求点C得坐标.我们可以用几何得方法，作AB为直径得圆

50、，快速找到两个符合条件得点C.如果作BDy轴于D,那么 AOCs CDB.设OC = m,那么.这个方程有两个解 ，分别对应图中圆与y轴得两个交点.图4例192015年湖南省益阳市中考第21题如图1,已知抛物线E<y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点得抛物线 E2经过点B(2,2)，点A、 B关于y轴得对称点分别为点 A'、B'.(1)求m得值及抛物线 E2所表示得二次函数得表达式；(2)如图1,在第一象限内，抛物线E1上就是否存在点 Q,使得以点Q、B、B为顶点得三角 形为直角三角形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,P为第一象限内得抛物线

51、日上与点A不重合彳#一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P；求4PAA与APB得面积之比.动感体验请打开几何画板文件名 “15益阳21”，拖动点P在抛物线Ei上运动，可以体验到，点P始 终就是线段OP得中点.还可以体验到，直角三角形 QBB有两个.思路点拨1 .判断点P就是线段 OP得中点就是解决问题得突破口 ，这样就可以用一个字母表示点 P、P得坐标.2 .分别求线段 AA'： BB,点P至ij AA得距离：点 P '到BB得距离，就可以比较 PAA与 PBB得面积之比.图文解析当 x = 1 时,y=x2= 1,所以 A(1, 1),m= 1.设抛物线E2得表达式为y=

52、 ax2代入点B(2,2)，可得a=.所以y=x2(2)点Q在第一象限内得抛物线E1上，直角三角形QBB存在两种情况：图3图4如图3,过点B作BB'得垂线交抛物线 E1于Q,那么Q(2, 4).如图4,以BB'为直径得圆D与抛物线E1交于点Q,那么QD = = 2.设 Q(x, x2)，因为 D(0, 2),根据 QD2=4 列方程 x2+(x22)2=4.解得x=.此时Q.(3)如图5,因为点P、P分别在抛物线 E1、E2上，设P(b, b2),P(c,).因为O、P、P'三点在同一条直线上，所以，即.所以 c=2b.所以 P(2b, 2b2).如图 6,由 A(1,

53、 1)、B(2,2)，可得 AA'= 2,BB'= 4.由A(1, 1)、P(b, b2),可得点P到直线AA得距离PM '= b2-1.由B(2,2)、P(2b, 2b2),可得点P到直线BB得距离PN'= 2b2-2.所以 PAA与 PBB 得面积比=2(b2 1) ： 4(2b2 2)= 1 : 4.图5图6考点延伸第(2)中当/ BQB'= 90。时，求点Q(x, x2)得坐标有三种常用得方法方法二，由勾股定理，得BQ2+ B'Q2= B B2.所以(x- 2)2+ (x2 2)2+ (x+ 2)2+ (x2-2)2= 42.方法三，作Q

54、HLBB于H,那么QH2 = BH - BH.所以(x22)2= (x+2)(2 x).例202015年湖南省湘潭市中考第26题如图1,二次函数y=x2+bx+c得图象与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C,连结BC.动点P以每秒1个单位长度得速度从点 A向点B运动，动点Q以每秒个单位长度 得速度从点B向点C运动,P、Q两点同时出发，连结PQ,当点Q到达点C时,P、Q两点同时 停止运动 设运动得时间为t秒.(1)求二次函数得解析式；(2)如图1,当4 BPQ为直角三角形时，求t得值；(3)如图2,当t<2时，延长QP交y轴于点M,在抛物线上就是否存在一点N,使得PQ得中点恰为MN得中点 若存在，求出点N得坐标与t得值;若不存在，请说明理由.