11.1数列极限microsoftword文档doc

1、第十章极限与数知识结构网络函数的连续性函数的导数一导函数f简单函数的求导公式导数的四则运算法则复合函数的求导法则极限f四则运 导数的实际意义算法则与几何意义数列的极限-无穷等比数列的和判断函数的单调性 一判断函数的极在、小值求函数的最大、小值11. 1数列极限一、明确复习目标1 .理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则；2 .会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为0的几种形式，求数列的极根；3 .会求公比绝对值小于 1的无穷等比数列各项的和.二.建构知识网络1 .数列极限的定义：一般地，如果当项数 n无限增大时，无穷数列an的项an无限 地趋近于某个常数 a （即|an-a|无

2、限地接近于0）,那么就说数列an以a为极限.注：a不一定是 an中的项.2 .几个常用的极限： lim C=C （C 为常数）； lim 1 =0;n >:-n >二 n limn=0（ 口1< 1）.无穷等比数列an,当公比的绝对值|q|<1时，前n项和的极限 吗Sn =六.称之为 “各项和”或“所有项的和”.3.数列极限的四则运算法则：设数列an、bn,当 lim-n=a, limbn=b 时，lim(an土 M =a±b;nj 二二lim(an , » =a - b;n-)二二lim 包=a(bw0).n-' bnb说明：极限的四则运算

3、法则，只适合于有限次的四则运算.对于数列前n项和的极限，必须先求和(式)，再取极限.三、双基题目练练手 lim qn=0n_):：1 .下列极限正确的个数是 lim =0 (a >0) n n -2n -3n lim - = 1n_. 2n -3nlim C=C (C为常数)n j二二值是B.2. (2006 陕西)A.13.已知4.5.limn 一 ooC. 41D,都不正确2n(4n2+1 - /n2 1)C.D.a、b、c是实常数,B. 3(2006 重庆)limn 二annim二 bn1 3 III (2n -1)2n2 - n 1将无限循环小数0.12化为分数是等于(c=2,c

4、bn2 - clim 2i ： cn - b2 an c=3,则 lim 2 n J cn aD. 66.(545n)5 4545(6 一5)(62 一52'(6n简答:1-3 . BBDan c 一3.由 lim =2,得 a=2b.n bn clim 2C=3/I|b=3c,，c=1b.n一cn b3c2a.aan cn2 a, , 6 . lim 2= lim 6.cn cn - a n, a cc n4. 1.分子先求和，再求极限.25. 0.1智0. 12+0. 0012+ - 0. 12/(110 01) 4/33.6. -1四、经典例题做一做【例1】求下列极限：2n2 n

5、 7(1) lim 9;(2)limn一5n2 7n，二Yn2 +n n);(3)242nlim ( -2 + + + -+ + 2 n-nnn分析：（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因Jn2 +n与n都没有极限，可先分子有理化再求 极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解：（1）221 -lim 曳4-limn 5n2 7 n7K十52n2 4 6- 2n(3)原式limn ”二lim n(n2 1) lim (1 + 1) -1 . n n n n ，一 2一、lim (2n2n 7).特

6、别提示：:对于(1)要避免下面两种错误：原式 =*Z= -=1lim (5n2 7)n )二：lim (2n 2+n+7) , lim (5n?+7)不存在，原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误: lim ( Jn2 +n n) = lim Vn2 +n lim n=0° 00 =0;原式n_：=lim Vn2 +n lim n=8n-)二二n_：2.400不存在. 对于(3)要避免出现原式=lim = + lim )+ n n ，二 n2n+ lim 不=0+0+0=0这样的错误. n' n【例2】 已知数列 an是由正数构成的数列, 其中n是大于1的整数，c是正数

7、.(1)求数列 an的通项公式及前 n和Sn；a1=3,且满足 lgan=lgan 1+lgc,2n 1 -an 求lim nan的值.52 am解：(1)由已知得an= c an-1, an是以a=3,公比为c的等比数列，则 an=3 - c 丁13n(c=1)“一"且 ”1)._ n 4lim二 2n - am=limn ”二2n-3cn2n 3cn当c=2时，原式=-;4业“(2尸一31当c > 2时，原式=lim =;n - 2 (2)n4 3c cc1 -3(-)nJ1当0V c v 2时，原式=lim 2= 12 3c (旷2评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应

8、用.【例 3】 已知直线 l:xny=0 (nC N *),圆 M: (x+1) 2+ (y+1) 2=1,抛物线中：y= (xT) 2,又l与M交于点A、B, l与学交于点C、D,求lim|AB |22分析:要求lim网!的值，必须先求它与n 4|CD |2n的关系.解:设圆心M ( 1,1)到直线l的距离为2d,则 d2=2 n2 122、 8n又 r=1,，|AB| =4 (1d ) =21 n设点 C(X1,y1), D (x2,y2),x-ny=02 一 .、 一由12 = nx (2n+1) x+n=0,y =(x -1)，2n 1 .一 x1 + x2= , xi x2=1 .n

9、/ - -、2 ,、24n 1, 一、2 , xix2、2 4n 1(x1 x2) = x x1 + x2) - 4x1x2=2 , ( y1 y2) = ( - ) =4-nn n n |CD |2= (xl x2)2+ (y1一y2)12=(4n+1) (n2+1).|AB |22|CD |2n8n58=lim 22 = lim =2.(4n 1)(n2 1)2 n >:(4 . 1)(1 . 1)2n n评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求|ab |22 |CD|2，这就要求掌握求弦长的方法.【例4】若数列an的首项为a1=1，且对任意nCN *, an与an

10、+1恰为方程x2-bnx+cn=0 的两根淇中0v|c|<1,当lim (b1+b2+ - +bn) w 3时，求c的取值范围. n :，解:首先，由题意对任意n N*, an an+1=cn恒成立.n 1an 1 an -2 an 2 c = - =c.又 a1 a2=a2=c.an an 1 an c，ai,a3,a5,a2n-1,是首项为1,公比为c的等比数列，a2,a4,a6,a2n,是首项为 c,公比 为c的等比数列.其次，由于对任意nCN*,an+an+i = bn恒成立.bn 2 _ an 2 ' an 3bnan ' an 1=c.又 bi=ai+a2=1

11、 + c,b2=a2+a3=2c,，b1,b3,b5,b2n-1,是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,，b2n,是首项为2G 公比为c的等比数列，lim(b1+b2+b3+-+bn)n_.=lim (b+b3+b5+)+ lim(b2+b4+)1 c 2c=+3.1 -c 1-c11解得 c< 或 c>1 . < 0<|c|<1,.-.0<c< 或一1 vcv 0.33故c的取值范围是(一1,0) U ( 0, 2 =2 - ( -r2)1 r .3提炼方法：本题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式，即将 bn的各项和

12、表示为关于 c的解析式；关键是对数列特点的分析和运用；显然“起点”应是一元二次方程根与系数的关系.【研讨.欣赏】在大沙漠上进行勘测工作时，先选定一点作为坐标原点，然后采用如下 方法进行：从原点出发，在x轴上向正方向前进 a (a>0)个单位后，向左转90° ,前进a r (0 vr<1=个单位，再向左转90° ,又前进a r2个单位，如此连续下去.(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系，且可以断定此小分队的行动与原定方案相同则大本营在何处寻找小分队 ？(2)若其中的r为变量，且0vrv1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上？剖析：(1)小分队按原

13、方案走，小分队最终应在运动的极限位置.(2)可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.解：(1)由已知可知即求这样运动的极限点，设运动的极限位置为 Q (x,y),则x=a ar2+ar4 ,a a35ary=ar ar +ar =,1 r a ar大本营应在点( 上w,上下)附近去寻找小分队.1 r 1 rX 2 ，1 +r消去2即行动的最终目的地在以（-,0）为圆心，亘为半径的圆上. 22r 得(x 2) 2+y2=a_ (其中 x>a,y>0),242五.提炼总结以为师1 .极限的四则运算法则只用于有限次的运算，对于n项和的极限，要先求和再求极限02 .对“0、一、七8”型的极

14、限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除 0以分子、分母的最高次哥、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值。3 .对含参数的题目要看是否需要分类讨论；4 .在日常学习过程中，注意化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.同步练习【选择题】A .2.1、lm子n (1 -)0 B. 1(2003北京)若数列4C. 2an二3.5D.an的通项公式是3q 25(-1)n(35-2q)1124217 B.24（2004湖南）数列an中C.(1L)1等于 () n 2,n=1,2,，则 lim (a+a2+ an)等于c 19C.24,a1二 一 ,an+an+1 =n_):：c 25D.246.、

15、一gn4,n C N *，则 lim(a1+a2+an)等于4D.254. （2006山东）若i 1一,如(. n a fn)5. （2004上海）设等比数列an （nCN）的公比q=工，且吧（a+a3+a5+a2n-1)=8，则 a1 =36. （2004春上海）在数列an中，a1=3,且对任意大于1的正整数 "点（花,痴 -1 ）在直线x-y-掷=0上，则liman 2n 1二（n 1）简答.提示:1-3. CCC;234 n 1 _1. 原式 =lim nx x x 1345 n 2=lim 2n =2.n- 1 n 223 .)2- (n为奇数)，an= 3 (n为偶数).a

16、1+a2+-+an= (2 1+2 3+2 5+)+ (3 2+3 4+3 6+)- lim (a1+a2+ . +an)n_):：11493. 2 (a+a2+an)=a1+ (a+a2)+ (a2+a3)+ (an-1+an)1 +an1 6= -+ +55266F + +an-535n6原式=+ 25 + lim an】25 1 _1n，二5=1 ( 1 + + lim an).25 10 n，二an+an+1= _,.,. lim an+ lim an+1=0.5nl n )二nj：. nm0.答案：c4. 2; 5. 2; 6. 3.【解答题】7.求下列极限:圳十(1)lim n :

17、二2n 1)；1 2 42n(2)lim(-).n 1 3 9 "I 3n1“，八35斛：(1)lim ( 2 十 2nr ： n1 n 172n 1、2-2)n 1 n 1n3 (2n 1)= lim 3 5 7 ”(2n 1n , n2 1=limn :2n2 1= lim n : n2 11 2= limn = 1nn lim(n ;1 2 4 |ll 2nd2n -11 3 9川3n)=lim n-2(3n-1)= lim中n : 3n -1n-= lim-3- =0n 二 “1%8.已知数列an、bn都是无穷等差数列，其中a1=3,b1=2,b2是a?与a3的等差中项，li

18、mn-j 二：anbnn一j 二二+aQ a2 b2+ )的值.an bn解:an、bn的公差分别为di、d2.2b2=a2+a3,即 2 (2+d2)= (3+di) + (3+2d1)， .,2d2-3d1=2.-V an 3 (n-1)d1d11日又 lim -= lim - =-,IPd2=2d1,n bn n二 2 (n7)d2d22,"d1=2,d2=4.an=a1+ (n 1) d1=2n+1,bn=b1+ (n1) d2=4n 2.111/11、-=(一).an bn(2n 1) (4n - 2) 4 2n -1 2n 1原式=lim 1 (1-)=.4 2n 149

19、. (2003年北京)如图，在边长为 l的等边 ABC中，圆O1为 ABC的内切圆， 圆O2与圆。1外切，且与 AB、BC相切，圆On+1与圆On外切，且与 AB、BC相切，如 此无限继续下去，记圆On的面积为% (nC N*).(1)证明an是等比数列；(2)求lim (a+a2+an)的值n_：(1)证明：记rn为圆On的半径,l贝U r 1= tan30 =2rn J -rn =sin30rn J - rn1一n13(n>2).2qC _. 2.兀1a1=兀 r 1 =12anan Janan JS) 2=1rn9an成等比数歹U.(2)解：因为an =1)9n 1 a1(nCN*),a1所以 lim (a+a2+ + an)=n二d 11 -93 M23210.已知数列 an、bn都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q淇中p>q且pW1,qW1,设Cn=an+bn,Sn为数歹U 品的前n项和，求1mSnSn解:Sn=a1(1pn)+b1(1-qn),1。p 1 -qq(1 -pn)“(1 -qn)Sn_1 _ p 1 _qSn4a1(1 - pn')b1(1 -qnb1 -p1-q当p>1时，p>q>0,得0v q <1,上式分子、分母同除以pl1,得p/ 1、卜 / 1 qn、ai（F -P）bif