全国文数第14课导数的应用

1、第14课导数的应用普查讲14 I利用导数研究函数的单调性与极值1.利用导数研究函数的单调性或单调区间a.讨论函数的单调性或求单调区间(1)(经典题，10分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线 方程为y=4x+4.(I )求a, b的值；答案：a=4, b= 4解：f 'x) = ex(ax+ b) + aex 2x 4= ex(ax+ a+ b) 2x 4.(2 分)y= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为 y=4x+ 4,f' (0)a+b-4=4,f(0)=b=4,a= 4, b= 4.(4 分)(n )讨论

2、f(x)的单调性.答案：f(x)的单调递增区间为(一8, 2), 层 +8 ；单调递减区间为(一2, 碍解：由(I )知 f(x)=4ex(x+1)x2 4x, f zx) = 4ex(x+ 2) - 2(x+ 2)= 2(x+2)(2ex 1).“. ，.r1令 f x)=0,得 x1=2, x2=ln2.(7 分)当x变化时，f(x), f ' x)的变化情况如下表：x( 8, 2)-2(- 2, 1n2 )1 1n26,十°° :f'x) _十0 _一0十f(x)5极大值极小值.y=f(x)的单调递增区间为 一,2), (ln2, +8),单调递减区间

3、为 2, 碍(10分)2a3，'(2)(2015江苏节选,8分)已知函数f(x)=x3 + ax2+b(a, bCR).试讨论f(x)的单调性.答案：当a = 0时，f(x)在(-oo, +oo)上单调递增；当a>0时，f(x)在巴(0, +8)上单调递增，在12a, 0卜单调递减；当av 0时，f(x)在(8, 0),母，+8)上单调递增，在Io, 2a，单调递减解：由题意，f(x)的定义域为 R, f x)=3x2+2ax,令 f'x)=0,解得 x1=0, x2= 2a.(2 分) 3当a = 0时，有f'x)=3x2>0,所以函数f(x)在(一巴 +

4、oo )上单调递增.(3分)当 a>0 时，令 f 'x)>0,得 xC 巴2a ju(0, +oo )；令x)<0，得 xC 专，0 ；,所以函数f(x)在心8, 2a、；.,(0, +8)上单调递增，在2a，01上单调递减收分)3 . 32a一3一当 a<0 时，令x)>0,得 xC (巴 0)U ( 2a, 十°° j；令>x)<0,得 xC ,与 j所以函数f(x)在(一8, 0),0, -y，上单调递减.(7分),+8 :止单调递增，在综上，当a=0时，f(x)在(一巴 +oo )上单调递增；当a>0时，f(

5、x)在8, 2a； ©+8)上单调递增，在12a, 0；上单调递减；当a<0时，f(x)在( 8, 0), -2a，+oo "单调递增，在o? -2a，上单调递减.(8分)b.已知函数的单调性求参数的取值范围(3)(2019 汇编,15 分)已知函数 f(x) = x3-ax-1.(1)若出力在(-1, 1)上为减函数，则实数 a的取值范围为3. +8)(n )若f(x)的单调递减区间为(一1, 1),则实数a的值为 3;(出)若f(x)在(1, 1)上不单调，则实数 a的取值范围为 J0_a.解析：(1)(法一)由题意，f x)=3x2-a,由f(x)在(1, 1)

6、上为减函数，得f 4产0在 (1, 1)上恒成立，即a>3x2恒成立.又因为当xC(1, 1)时，函数y=3x2的值域是0, 3), 所以实数a的取值范围是3, +oo).(法二)当aw。时，f x) = 3x2-a>0,显然没有单调递减区间，不符合题意当 a>0 时，令 f x)=3x2-a=0,得 x= a,易知当xCv3a .3a时，f(x)单调递减.若 f(x)在(-1,1)上为减函数，则(一1, 1)应为(-手用的子区间,即守1解得a>3,所以实数a的取值范围是3, +8).(n)由(i)知f(x)的单调递减区间为，3a3陪,所以华=1,解得a=3.(出)由(

7、1)知，当aw。时，f(x)在R上单调递增，不符合题意.当a>0时，由f 'x)=0, 得x=4单，因为f(x)在(1, 1)上不单调，所以0厚1,解得0<a<3,所以a的取值范 33围是(0, 3).2.利用导数求函数的极值a.与极值相关的函数图像问题(4)(经典题，5分)设函数f(x)在R上可导，其导函数为 f'(x),且函数y= (1 x)f (x)的图像如图144所示，则下列结论中一定成立的是(D )图 14-4A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(

8、2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：当xv 2时，1x>0,(1 x)f ' x)>0 ,，f'x)>0,即函数 f(x)在( 8, 2)上是增函数;当一2vxv1 时，1 x>0, .(1x)f'x)<0,，f'x)<0,即函数f(x)在(-2, 1)上是减函数；当 1vxv 2 时，1 x<0, .(1x)f'x)>0,，f'x)<0,即函数f(x)在(1 , 2)上是减函数；当 x>2 时，1 x<0, .(1x)f'x)<0,，f'

9、;x)>0,即函数f(x)在(2, + °°)上是增函数.综上，f(2)为极大值，f(2)为极小值.故选D.b.已知函数求极值(5)(2018 北京东城二模，13 分)设函数 f(x)=2lnx x2+ax+2.(I )当a=3时，求f(x)的单调区间和极值；答案：f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为(2, +8)；极大值为21n2+ 4,无极小值解：根据题意知f(x)的定义域为(0, +8).(1分)当 a = 3 时，f(x)=2lnx x2+3x+ 2,(x+ 2) ( 2x+ 1).(2 分)而，X 2 ° -2x2+3x+2 所以

10、f x) = 2x + 3=xx令 f' x) = 0,得(x+2)(2x+ 1)=0.因为x>0,所以x=2.当x变化时，f' x), f(x)在区间(0, +8 )上的变化情况如下表:x(0, 2)2(2, 十00)f'x)+0-f(x)%极大值21n2+ 4A(4分)所以f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为(2, +8)； f(x)有极大值21n2 + 4, 无极小值.(6分)(n)若直线y= x+1是曲线y=f(x)的切线，求a的值.答案：a=- 1解：因为 f(x)=21nx x2+ax+ 2,2所以 f x) = x 2x+ a.设直线

11、y=x+1与曲线y=f(x)的切点为(x0, f(x。)，则 f' x0)=2 2x0+a= 2x0+ ax-2 =1,即 2x0(a+1)x02=0.(9 分)'x0x0又因为 f(x0)= 21nx0 x0 + ax0+2= x0+1,即 21nx0x0+(a+1)x0+1 = 0,与式联立，所以 21nx0+ x2 1 = 0.(10分)o一一 .2 (1+x2)设 g(x) = 21nx+x 1 (x>0),因为 g x)= x >0,所以g(x)在区间(0,)上单调递增，易知 g(1) = 0,所以g(x)在区间(0, +8 )上有且只有一个零点，即x0=

12、1,代入式，解得 a=- 1.(13分)(6)(2017 山东，13 分)已知函数 f(x)=1x3 1ax2, aCR.32(I)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程;答案：3x-y-9 = 0解：当 a=2 时，f(x)=X-x2,3则 f 'x)=x22x,f '(. 3.又f(3) = 0,曲线 y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程为 y 0=3(x-3),即 3x y9 = 0.(3 分)(n)设函数g(x)= f(x) + (x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.答案：当a=0时，g(x)

13、在R上单调递增，无极值；当a<。时，g(x)在(一8, a),(0, +oo )上单调递增，在(a, 0)上单调递减，极大值为1a3-sina,极小值为a;当a>0时，g(x)6在(8, 0), (a, +°° )上单调递增，在 (0, a)上单调递减，极大值为a,极小值为一1a3 sina61 3 12解： 由题忌，g(x)= 3x -2ax + (x- a)cosxsinx,g x)= x2 ax (x a)sinx= (x a)(x sinx).(4 分)令 m(x) = x sinx,则 m' (x)= 1 cosx > 0,所以m(x)在

14、R上单调递增.又因为m(0)=0,所以当 x>0 时，m(x)>0;当 x<0 时，m(x)<0.(6 分)令 g' (x)=0,得 x=0, x2= a.当a=0时，g'x)>0恒成立，此时g(x)在R上单调递增，无极值；(8分)当a<0时，令g'x)>0,得x<a或x>0,即g(x)在(一°°, a), (0, + 8 )上单调递增， 同理可得g(x)在(a, 0)上单调递减，g(x)的极大值为 g(a) = - 1a3- sina, g(x)的极小值为 g(0) = a; (10 分)6当a

15、>0时，令g'x)>0,得x<0或x>a,即g(x)在(一°°, 0), (a, + 8 )上单调递增， 同理可得g(x)在(0, a)上单调递减，1 Q八，g(x)的极大值为 g(0) = a, g(x)的极小值为 g(a)= 6a3sina.(12 分)综上，当a=0时，g(x)在R上单调递增，无极值；当 a<0时，g(x)在(一00, a), (0, + 8)上单调递增，在 0)上单调递减，极大值为；a3sina,极小值为a;当a>0时，g(x)在(00, 0), (a, +8 )上单调递增，在(0 , a)上单调递减，极大

16、值为a,极小值为一1a3sina.(13 分) 6c.已知极值点或极值求参数的值或取值范围(经典题，5分)已知函数f(x) = x3+ax .(8)(2016 山东,13 分)设 f(x) = xlnx ax +(2a-1)x, aCR.(I )令g(x) = f '(x),求g(x)的单调区间；答案：当aW0时，g(x)的单调递增区间为(0, +OO),无单调递减区间；当a>0时，g(x)的单调递增区间为0, 2a 单调递减区间为 服，+8 ；解：由题意，f(x)的定义域为(0, +°° ), f x)= lnx+ 1 -2ax+ 2a1 = lnx2ax+

17、2a, 即 g(x) = lnx 2ax+2a, x>0.贝U g'x)=12a = 1 2ax (2 分)xx当aw。时，g'x)>0在(0,+8)上恒成立，函数g(x)单调递增；1当 a>0 时，令 g x)= 0,得 x=-,2a当xC 10, 2a，时，g'xO>0,函数g(x)单调递增，当xC 2 +°°巾，g'x)<0,函数g(x)单调递减.综上，当aw0时，g(x)的单调递增区间为(0, +8),无单调递减区间；+bxa27a在x= 1处取得极大值 10,则(的 值为(A ),2D. 2 或一2 3

18、aTB.-2,2C. 一2 或一2 33+2a+b=0, 解析：由题意，f'x) = 3x2+2ax+b, f'0, f(1)=10,即；+2 7a10a = 1 2解得1b= 1,a= - 6, 或b= 9.a= 1 2经验证，当 时，f(x)在x= 1处取极小值，不符合题意;b= 1a= - 6,而 满足函数f(x)在x= 1处取得极大值10,b= 9所以a= 2.故选A.b 3,+8卜5分)当a>0时，g(x)的单调递增区间为io, 1-单调递减区间为2a(n )已知f(x)在x= 1处取得极大值，求实数 a的取值范围.答案：2，+°°解：由(I

19、)知,f' go.当aw。时，f'x)单调递增，所以当xC(0, 1)时，f'x0<0, f(x)单调递减；当xC (1, +8)时，>x)>0 , f(x)单调递增.所以f(x)在x= 1处取得极小值，不符合题 意.(7分)由(I )知f 'x)在当0<a<，时，>1 2 2a0, 2a户单调递增，可得当xe (0, 1)时，f'x)0;当xCf x)>0.所以f(x)在(01)内单调递减，在21a ；内单调递增，所以f(x)在x= 1处取得极小值,不符合题意.(9分)当a=2<,=1, f'x)

20、在(0, 1)内单调递增，在(1, +8)内单调递减，所以当xC (0, +8 )时，f'x)w0,f(x)单调递减，不符合题意.(11分)当a>2>时,0<2a<1,由(I)知f,x)在号，十°°)内单调递减，可得当xe玲，1 j时，f' (x)>0, f(x)单调递增；当 xC(1, +8)时，f，x0<0, f(x)单调递减，所以 f(x)在 x= 1 处取得极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为2, +8 ；(13分)(9)(2018 北京模拟，13 分)已知函数 f(x) = ex-a(lnx+ 1)(a

21、C R).(I )求函数y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;答案：y=(ea)x解：根据题意可知函数f(x)的定义域为(0, +8), f,x)=ex-；.(2分)因为f(1) = e a, f'(今e a,所以曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y-(e-a) = (e a)(x 1),即 y= (ea)x.(4 分)(n )若函数y = f(x)在(2, 1 ”有极值，求a的取值范围.答案:2e e解：由(I )知 f'x) = exa. x(i )当aw。时，对于彳E意xC § 1 j,都有f' x)>0,所以函数

22、f(x)在g, 1 j上为增函数， 没有极值，不合题意.(7分)(ii)当 a>0 时，令 g(x) = ex3 x则 g x)= ex+ 乌>0, x所以g(x)在，i单调递增，即f' x)在g 1 单调递增.(9分)因为函数f(x)在0, 1有极值，所以f'x)在1上有零点， >°， e-a>0,所以：即弓六0,Ne 2a<0,e所以寄<a<e.(12分)综上，a的取值范围是 吗,e；.(13分)3.利用导数研究函数的最值x3-3x, x<a,(10)(2016 北京，5 分)设函数 f(x)=S .- 2x)x&g

23、t;a.(I )若a=0,则f(x)的最大值为 2;(n )若f(x)无最大值，则实数 a的取值范围是 (巴 1).解析：令 g(x) = x3 3x,所以 g'x)=3x23.令 g'x)<0,得1<x<1;令 g'x)>0,得 x<1或x>1.所以g(x)在(1, 1)上单调递减，在(00, 1), (1, +8)上单调递增，且易 知g(1)=2, g(1) = -2,因此在直角坐标系中作出y=g(x)与y= 2x的大致图像如图，易知它们的交点为 A(-1, 2), 0(0, 0), B(1, - 2).X3 3x, x<

24、0，,(I )当a=0时，f(x)=则y=f(x)的图像大致如下:-2x, x>0.因此f(x)的最大值是f( 1) = 2.(n)由图像可知，当一1waW2 时，f(a)=a3-3a<f(-1), f(x)的最大值为 f(1)=2. 当a>2时，f(a) = a3-3a>f(-1), f(x)的最大值为f(a)=a3-3a,所以若f(x)无最大值，只需 a<1即可(如下图所示)，所以所求a的取值范围是(一8, 1).(11)(经典题，12 分)已知函数 f(x)=(4x2 + 4ax+a2)Vx,其中 a<0.(I)当a=4时，求f(x)的单调递增区间;答

25、案:2>口(2, +8)解：f(x)的定义域为0, +OO ).小 ，g ,，Y 2 (5x 2) (x2)当 a = 4 时，f x)=产；x2 ，、令 f x) > 0 得 0<x< 三或 x>2, 5故函数f(x)的单调递增区间为+ °0 ).(4 分)(n )若f(x)在区间1 , 4上的最小值为8,求a的值.答案：10解:(10x+a) (2x+a)f刈=部'由 f，x) = 0,得 x=一磊或 x= a.当 xC 10 J寸，f'x)>0, f(x)单调递增；当xC -木，-2，寸，f'x)<0, f(x)

26、单调递减;当 乂6 :21，+°°，此 f'x)>0, f(x)单调递增.(7 分)易知 f(x)=(2x+ a)S/x>0,且 f (一 a "5 f(0)=0.当一|w 1,即一2Wav0时，f(x)在1, 4上的最小值为f(1).由f(1)=(2+a)2=8,得a= ±22-2,均不符合题意；当1<jw 4,即一8Wav 2时，f(x)在1 , 4上的最小值为f 彳卜0,不符合题当2>4,即av8时，f(x)在1 , 4上的最小值可能在 x=1或x=4处取得，而由 知 f(1)w8,由 f(4)=2(8+a)2=8

27、得 a=- 10 或 a=6(舍去).当 a=10 时,f(x)在(1, 4) 上单调递减，f(x)在1, 4上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上，a=10.(12 分)4.利用导数解决生活中的优化问题为进一步改善山区的记两条相互垂直的公路为(12)(2015江苏，14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路, 交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路.11, a山区边界曲线为 C,计划修建的公路为l.如图14 8所示，M, N为C的两个端点， 测得点M到li, 12的距离分别为5千米和40千米，点N到li, I2的距离分别为20千米和2.5 千米.以12, li所在的直线

28、分别为 x, y轴，建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线C符合函数ay = x2+ b(其中a, b为常数)模型.(I )求a, b的值;答案：a= 1000, b=0解：由题意知，点 M, N的坐标分别为(5, 40), (20, 2.5).分别代入y= 2，'f-a=40, 25+b得a c l、400+b=.'a= 1000, 解得b= 0.(4分)(n)设公路l与曲线C相切于p点，p的横坐标为t.(i)请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;答案：f(t) =4X 106+t4,定义域为5, 201000(5<x<20),则点P的坐标为已t2

29、/,设在点P处的切线l分别交x, y轴于A2000B 点，y一 丁则l的方程为v t210002000t3 (x-t),由此得A年,故 f(t)=；3t 2+ 3000 2= 32 4X106t +t4, te 5, 20.(9 分)(ii )当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.答案：当t=ioy2时，公路i的长度最短,最短长度为15 . 3千米66m 、几2 4X1016X10解：设 g(t)=t+t4 ,则 g'tx = 2t 丁一.令 g'tx= 0,解得 t= 10>/2.当 te(5, 10平)时,g'(t)<0, g(t)是减函数；当t

30、e(1042, 20)时，g't)>0, g是增函数.从而，当t= 10姆时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min = 300,此时f(t) min = 153.答：当t=10m时，公路l的长度最短,最短长度为15/3千米.(14分)随堂普查练14 I1 . (2017 全国出，12 分)已知函数 f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(I )讨论f(x)的单调性;答案：当a>0时，f(x)在(0, +8)上单调递增；当a<0时，f(x)在0， 2a单调递增，在羡，+8 /单调递减解：由题意，函数的定义域为(0, +°0 ).一，1因为

31、 f x)=x+ 2ax+2a+ 仁2ax2+ (2a+1) x+1(2ax+ 1) ( x+ 1)(x>0).(2 分)当a>0时，f'x)>0,则f(x)在(0, +8)上单调递增;1当 a<0 时，令 f x0= 0,得 x= , 2a令刈>0,得0<x<一,，令刈<°,得 x>2a，故 f(x)在0, 2a)单调递增，在综上，当a>0时，f(x)在(0, +8)上单调递增;当 a<0 时，f(x)在0, -21a)单调递增,在击，+°0 ,单调递减.(5分)(n)当 a<0 时，证明 f

32、(x)<-3-2. 4a答案：见证明过程证明:由(I )知，当 a<0 时，f(x)max=f要想证3 f(x)w4r 2,只需证f(x)maxW 4a2,即证f2a IT-2.因为f1一 2a/：2 1 in4a故只需证 ln (- 2y+ i+1<0.令 t=go,故只需证 lnt t+1W0, (8 分)1(t>0).(1 , +°° )上单调递减,构造函数 g(t)=lnt-t+1(t>0),则 g'tX=:令 g't)<0,得 t>1；令 g't)>0,得 0<t<1, 所以g(t

33、)=lnt 1+1在(0, 1)上单调递增,在所以 g(t)max= g(1) = 0 ,所以 g(t)<0,3八即 Kx) 12.(12 分)，、，12 .(经典题，12 分)已知函数 f(x)=lnx, g(x) = 2ax+b.(I )若曲线f(x)与g(x)在x= 1处相切，求g(x)的表达式;答案：g(x)=x11斛：. f(x)=lnx, g(x)=ax+b,1,1,.f x) = -, g x) = -a.又曲线f(x)与g(x)在x= 1处相切，一1 -f (1)=1 = 11a,即 a= 2.(2 分)一 一 一一 1又 g(1) = f(1),即2a+b = 0, .

34、 b= 1,1- g(x) = x 1.(5 分)(n)若(j)(x)= m ； ；)f(x)在1 ,)内是减函数，求实数 m的取值范围.答案：(一巴2解：.(Xx) = m(xT)- f(x)= m (x-1) Inx在1 , + 8 )内是减函数， x+ 1x+1一 x2+ 1 2m 2) x 1x)=；<0在1, +8)内恒成立.(8 分)x (x+ 1. x(x+ 1)2>0, .只需 x2-(2m-2)x+1>0在1 , +8)内恒成立，1- 2m 2< x+xC1,+8).x1. x+x;>2,当且仅当x= 1时取等号，-2m-2<2,即 mW

35、2.故实数m的取值范围是( 8, 2.(12分)3.(经典题,5分)设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf (x)的图像的一部分如图(D )图 14- 101410所示，则下列说法中正确的是A.B.C.D.f(x)的极大值为 f(x)的极大值为 f(x)的极大值为 f(x)的极大值为fh/3),极小值为f(-3) f( 43),极小值为f(j3) f(-3),极小值为f(3)f(3),极小值为f(3)解析：观察图像知，当 xv3时，y=x f'x)>0, f'x)<0.当一3v x<0 时，y=x f 'x)v 0, . f

36、9;x)>0.由此知存在极小值f(-3).当 0vxv 3 时，y= x f x)>0, 1- f x)> 0.当 x>3 时，y= x f ' x) v 0, . f ' x) v 0.由此知存在极大值f(3).故选D.4.(经典题，5分)若函数f(x) = x33bx+ 3b在(0, 1)内有极小值，则(A )A.0V bv 1B. bv 1C.b>0<0,-3b<0,即>0,|3-3b>0,解析：由题意，f 'x)=3x23b,该函数在(0, +8)上单调递增，若函数 f(x)在(0, 1)f ' (0

37、)内有极小值，则需F' (1)解得0vbv 1.故选A.ax5. (2015 安徽，13分)已知函数 f(x)= ax2(a>0, r>0).(x十 r)、''(I )求函数f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；答案：定义域为(一00, r)U(r, 十°°),函数f(x)的单调递减区间为( 8, r), (r, +°°),单调递增区间为(一r, r)解：由题意知xw r,所以定乂域为(-00, r)U( r, +°°).(2分)因为f(x)=(;2,所以f 'x0 =(x + r)a

38、(x+ r) 2 ax 2 (x+r)a (r x)(x+r) 4(x+r)3,所以当x<r或x>r时，f'x)<0,即函数f(x)的单调递减区间为(一°°, r), (r, +°°)； 当一r<x<r时，f' x)>0 ,即函数f(x)的单调递增区间为(一r, r).综上，f(x)的单调递减区间为(一00, r),(r,+°°),单调递增区间为(一r,r).(6分)(n)若;=400,求f(x)在(0, +8)内的极值.答案：f(x)在(0, +8)内的极大值为100,无极小值解：

39、由(I)知f'r)=0, f(x)在(0, r)上单调递增，在(r,)上单调递减，所以当 x= r时，f(x)取得极大值，为f=券=4r400丁 =100，故 f(x)在(0,+ 8)内的极大值为100,无极小值.(13分)6.(经典题,5分)已知f(x) = x3_ ax2在(一1, 1)上没有最小值，则a的取值范围(T,+ 0° )解析：由题意，f x)= 3x2- 2ax= x(3x- 2a),一2a令 f x)=0,得 *=0或*=1.当aw 3-,即包< -1时，23易知f(x)在(-1, 0)上单调递减，在(0, 1)上单调递增，所以当x=0时, 不符合题意

40、.f(x)取最小值,当一!<a<0,即一1<2a<0 时,23令f'x)<0,得2a<x<0,即f(x)在停,0卜单调递减;” 一 2a令 f x)>0,得1<x<w或 0vx<1 ,3即 f(x)在1, 2a(0所以f(0)为极小值.此时要满足f(x)在(1,1)上单调递增,1)上没有最小值，需 f(-1)<f(0),即1 a<0,解得a> 1.P 3又, 一 2<a<0, 1< a<0,付合题息.当a=0时，f'x)>0恒成立，显然f(x)在(一1当 0<

41、a<|,即 0<2a<1 时， 231)上没有最小值.易知f(x)在(Q, 2a产单调递减，在(T, 0), (2a1)上单调递增，则虑;为极小值.f(-1)<f即1 - a< -27a3,此时要满足f(x)在(1 , 1)上没有最小值，需 即(a3)(2a+3)2<0,解得a<3,且aw 2.3 . 一、，0<a<；,符合题意.当a；，即21 > 1时，易知f(x)在(一1, 0)上单调递增，在(0, 1)上单调递减, 显然在(1, 1)上没有最小值，符合题意.综上，a的取值范围是(1, +8).7. (2017 北京，13 分)已

42、知函数 f(x)=excosxx.(I )求曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;答案：y=l解：f(x) = ex cosx x,1- f(0) = 1, f' x)= ex(cosx sinx) 1,，f'(今 0,曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线过点(0,1),斜率k=0,，切线方程为y= 1.(5分) (n)求函数f(x)在区间0, 上的最大值和最小值.答案：最大值为1,最小值为2解：f'x) = ex(cosx sinx)-1,设 g(x)=f'x), ，g'x)= 2sinx ex,在区间 0, 21 上，g'

43、x)w。，1 g(x)在 0, 2"1上单调递减，g(x)<g(0)=0, ，f'x)w0, . . f(x)在 0, 2卜单调递减，(10 分) f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f g)= - 2.综上，函数f(x)在区间0, 21上的最大值为1,最小值为一2.(13分)普查讲14 n导数的综合应用5.与函数零点相关的问题(13)(经典题，12分)已知函数f(x) = x33x2+ax+ 2,曲线y= f(x)在点(0, 2)处的切线与x轴交点的横坐标为一2.(I )求 a;答案：a=1解：函数 f(x)的导数 f 'x)= 3x26x+a, f

44、 ' (0) a,曲线y = f(x)在点(0, 2)处的切线方程为 y=ax+ 2,由题设得一 2a + 2=0,所以a= 1.(4分)(n)证明：当k<1时，曲线y= f(x)与直线y= kx2只有一个交点.答案：见证明过程证明：由(I)知，f(x) = x3-3x2 + x+2.设 g(x) = f(x) kx+2= x3 3x2+ (1 k)x+ 4.由题设知1 k>0.当 xw。时，gx)=3x2-6x+1-k>0, g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0, g(0) = 4>0,所以g(x)=0在( 8, 0上有唯一实根.(8分)当 x>

45、;0 时，令 h(x)=x33x2 +4,则 g(x)= h(x)+ (1 k)x>h(x).h x) = 3x2-6x=3x(x-2), h(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +)上单调递增，所以g(x) >h(x)>h(2)=0,所以 g(x) = 0 在(0, +8)上没有实根.综上，g(x) = 0在R上有唯一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx2只有一个交点.(12分)2x(14)(2015 北东,13 分)设函数 f(x) = ?klnx, k>0.(I )求f(x)的单调区间和极值；答案：f(x)的单调递减区间是(0,、&),单调递增区间是

46、(、&, 十 °° )； f(x)在x=yk处取 得极小值 f(<k) = k (1-lnk)解：由 f(x) = x klnx(k>0, x>0),得 f'x)=x k= "x.由 f'x)=0,解得 x=4k(负值 舍去).(2分)当x变化时，f(x)与f 'x)在区间(0, +oo )上的变化情况如下:f(x)(0,水)水(乖,+°° )一0十k (1 Ink)23ff 'x)所以f(x)的单调递减区间是(0, 啊 单调递增区间是(楙,+8).所以f(x)在x =水处取得极小值f(

47、小上k(12lnk).(5分)(n)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,粕上仅有一个零点.答案：见证明过程证明：由(I)知，f(x)在区间(0, +8)上的最小值为f(Vk)=k (1lnk).若f(x)存在零点，则k(1；lnk)wo,从而k> e.(7分)当k=e时，f(x)在区间(0,4)上单调递减，且f(ye)=o,所以x=ye是f(x)在区间(1,京上的唯一零点.(9分)当k>e时，f(x)在区间(0,正)上单调递减，且f(1) = ；>0, f(Ve) = e-2-k<。，所以f(x)在区间(1, 一上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，

48、则f(x)在区间(1,造上仅有一个零点.(13分)(15)(2018 北京朝阳二模，13 分)已知函数 f(x)=xex+ ax2+2ax(a C R).(I )若曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为3x+y= 0,求a的值；答案：a=- 2解：根据题意知 f'x)=(x+1)ex+2ax+2a=(x+1) (ex+2a).(1 分)(I)因为曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为3x+y=0, 所以 f' (0)-3,即 e°+2a= 3,得 a= 2.(3 分)5 )当2w a<0时，讨论函数f(x)的零点个数.当aC 1 ；

49、-2田寸，函数f(x)有两个答案：当aC ：, 0 M,函数f(x)有一个零点;零点；当aC ( ；, 1 1寸，函数f(x)有三个零点1解：(法一)当一W a<0 时，令 f x)= (x+1)(e + 2a)= 0,解得 x= 1 或 x= ln( 2a).(4分)当ln(2a)<1,即aC5得，01时，当x变化时，f x),f(x)的变化情况如卜表：x(00, ln( 2a)ln( 2a)(ln(-2a), -1)-1(1, +8 )f' x)+0-0+1f(x)极大值极小值所以函数f(x)在(ln(-2a), 1)上单调递减，在( 8, ln( 2a)和(1 增.又

50、因为 f(ln(-2a)=aln2(-2a)<0, f(0) = 0,+8)上单调递所以函数f(x)有一个零点.(6分)_1 一，当 ln(2a)=1,即 a=2e时，当x艾化时，f x), f(x)的艾化情况如卜表：x(°0, -1)-1(1, +8)f' x)+0+f(x)1一2e所以函数f(x)在(一8, +oo )上单调递增.又因为f(0)=0,所以函数f(x)有一个零点.(8分)当一1<ln( 2a)<0,即 aC 卜 2, - 2 M, 当x变化时，f x), f(x)的变化情况如卜表：x(一°°, -1)-1(巴 in( 2

51、a)ln( 2a)(ln(2a), +0°)f'x)+0-0+f(x)极大值%极小值增.所以函数f(x)在(1, ln( 2a)上单调递减，在( 8, 1)和(ln( 2a), + 00 )上单调递又因为 f(2) = 2e 2 + 4a 4a= 2e 2<0, f(1)= af(ln( 2a)= aln2( 2a)<0 ,f(0) = 0,所以当aC1一 1，一祗 此 f(1) = a ；<0,函数f(x)有一个零点；当a = 1时，f(1)=0，函数f(x)有两个零点；当 aCL2, e e J寸，f(1) = a e>0,函数 f(x)有三个零点

52、.(10 分)当 ln(2a)=0,即 a= 2时，当x变化时，f' x), f(x)的变化情况如下表：x(一°°, -1)-1(-1, 0)0(0, +°°)f'x)+0-0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)在(1, 0)上单调递减，在( 8, 1)和(0,+8)上单调递增.又因为 f(1) = 2 1>0, f(0)=0, f(-2)=- 2e 2<0,所以函数 f(x)有两个零点.(12 分) e e综上所述，当a -；, 01时，函数f(x)有一个零点；当aC：, - 1卜，函数f(x)有两个零点；当aC -2-,

53、 ；/时，函数f(x)有三个零点.(13分)(法二)f(x)=xex+ ax若x20,即2<a< ；则f(x)有三个零点，分别为 x1，x2, 0.+ 2ax= x(ex+ ax+ 2a),令 g(x) = ex+ax+2a,则 g'x)=ex+ a,其中一2wa<0.(4 分)当 x<ln(a)时，g'x)<0, g(x)递减;当 x>ln(a)时，g'x)>0, g(x)递增,所以 g(x)的最小值为 g(ln( a) = a+aln( a) + 2a= aln( ea).(5 分)1.一. .当g(x)min = aln(

54、-ea)>0,即e<a<0时，g(x)>0恒成立，所以g(x)无零点，f(x)恰有一个零点0; (7分)当 g(x)min = aln(-ea)= 0,即 a= 1时，g(x)恰有一个零点 x1= ln( a) = 1,所以 f(x) e恰有两个零点，分别为1, 0; (9分)当 g(x)min=aln(-ea)<0,即一；wa< 1时，因为 g(-2)=e 2>0, g(0)=1 + 2a>0, 2 e且2<ln( a)<0,所以g(x)在( 2, ln( a)和(ln( a), 0上各有一个零点,分别记为x1, x2.1若x2=0

55、,即a=；则f(x)恰有两个零点，分别为x1，0; (12分)综上所述，当aC ! 0 ；时，函数f(x)有一个零点；当aC j，- 21时，函数f(x)有两个零点；当aC卜；，一；,寸，函数f(x)有三个零点.(13分)(16)(2016 北京，13 分)设函数 f(x) = x3+ax2+ bx+c.(I)求曲线y= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；答案：y=bx+c解：由 f(x)=x3+ax2+bx+c,彳导 f 'x)= 3x2+2ax+b.因为f(0) = c, f'(男b,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为 y=bx+c.(3分)(n

56、)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；答案：6 37)解：当 a=b=4 时，f(x) = x3+4x2 + 4x+c,所以 f x) = 3x2 + 8x+ 4.令 f 'x)=0,得 3x2+8x+ 4=0,解得 x= 2 或 x= 23当x变化时，f(x)与f 'x)在区间(一8, +oo )上的变化情况如下:x(- 8, -2)-2(- 2, - 3)232、(-o，+0° )3f'x)+10-0+f(x)c-432 c 27所以当 c>0 且 c 32y< 0,即 0<c<27时，有 f( 4)= c 16<0, f(0) = c>0,此时存在xi C ( 4, 2), x2 e - 2, 3 j, x3 3, 0 i,使得 f(x1 ) = f(x2) = f(x3) = 0.由f(x)的单调性知，当且仅当 c ”，32 W 函数f(x) = x3+4x2+4x+c有三个不同零 点.(8分)(出)求证：a23b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.答案：见证明过程证明：当 A= 4a212bv0 时，f 'x)= 3x2+2ax+b>0 , xC ( 0°, +oo),此时函数 f(x) 在区间(一0&