专题训练　巧用抛物线的对称性解题

1、.专题训练巧用抛物线的对称性解题类型之一利用对称性求交点1如图3ZT1，抛物线yax2bxca>0的对称轴是直线x1，且经过点P3，0，那么abc的值为A0 B1 C1 D2图3ZT1 图3ZT22如图3ZT2，菱形ABCD的三个顶点在二次函数yax22axa0的图像上，A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，那么点D的坐标为_3如图3ZT3，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x2.点C在抛物线上，且位于点A，B之间点C不与点A，B重合假设ABC的周长为a，那么四边形AOBC的周长为_用含a的式子表示图3ZT34抛

2、物线yax2bxc的顶点坐标为1，4，抛物线与x轴的两个交点间的间隔 为6，求此抛物线的表达式类型之二利用对称性求对称轴5抛物线yax2bxc与x轴的公共点的坐标是4，0，2，0，那么这条抛物线的对称轴是直线_6如图3ZT4，二次函数yx2bxc的图像经过点1，0，2，0，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_图3ZT47抛物线yx26xm3与x轴有两个公共点A，B，且点A，B关于y轴对称求此抛物线的表达式类型之三利用对称性判断函数值的大小8在二次函数yax2bxc中，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x01234y41014点Ax1，y1，Bx2，y2在函数的图像上，那么当1

3、<x1<2，3<x2<4时，y1与y2的大小关系正确的选项是Ay2<y1 By1<y2Cy2y1 Dy1y29抛物线yax2bxca0过A2，0，O0，0，C3，y1，D3，y2四点，那么y1与y2的大小关系是Ay1y2 By1y2Cy1y2 D不能确定10二次函数yx27x，假设自变量x分别取x1，x2，x3，且0x1x2x3，那么对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的选项是Ay1y2y3 B. y3>y2>y1Cy2y3y1 Dy1>y3>y211如图3ZT5，二次函数yax2bxc的图像过原点O与点A3，01判断b的符号，

4、并求出c的值和该二次函数图像的顶点的横坐标；2假设Mm，y1，Nmn，y2n0是该二次函数图像上的两点，当y1y2时，求m，n之间的数量关系图3ZT5类型之四利用对称性求面积12如图3ZT6，在平面直角坐标系中，抛物线yx2经过平移得到抛物线yx22x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A2 B4 C8 D16图3ZT6 图3ZT713二次函数yx2的图像如图3ZT7所示，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数yx2的图像上，四边形OBAC为菱形，且OBA120°，那么菱形OBAC的面积为_类型之五利用对称性解决线段和最小问题14如图3ZT8，二次函数的图像

5、经过点D0， ，且顶点C的横坐标为4，该图像在x轴上截得的线段AB的长为6.1求二次函数的表达式；2在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点P的坐标图3ZT8152019·枣庄如图3ZT9，抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，且抛物线经过A1，0，C0，3两点，与x轴的另一个交点为点B.1假设直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；2在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的间隔 与到点C的间隔 之和最小，求点M的坐标；3设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标图3ZT9老师详解详析1A解析 因为该抛物线的对称轴为直线x

6、1，且经过点3，0，所以由其对称性可知该抛物线也经过点1，0，所以当x1时，abc0.22，解析 抛物线yax22ax的对称轴是直线x1，与y轴的交点坐标是0，点B的坐标是0，菱形ABCD的三个顶点在二次函数yax22axa0的图像上，A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，点B与点D关于直线x1对称，点D的坐标为2，3a4解析 因为二次函数图像的对称轴为直线x2，所以OB4，AOAB.因为ABC的周长ABBCCAa，四边形AOBC的周长AOOBBCCAABBCCAOBa4.4解：设抛物线的表达式为yax124.因为抛物线与x轴的两个交点间的间隔 为6，对称轴为直线x1，所以2，0是抛

7、物线与x轴的一个交点把2，0代入yax124，解得a，那么yx124x2x，所以抛物线的表达式为yx2x.5x1解析 抛物线与x轴的公共点为4，0，2，0，两公共点关于抛物线的对称轴对称，此抛物线的对称轴是直线x1，即x1.6x>解析 由抛物线经过点1，0，2，0，可知抛物线的对称轴为直线x，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x>.7解：因为A，B是抛物线与x轴的公共点，且点A，B关于y轴对称，所以抛物线的对称轴为y轴，即直线x0.解得m6或m6.当m6时，抛物线的表达式为yx23.此时，b24ac024××36>0，方程x230有两个不相等的实数根，

8、抛物线yx23与x轴有两个公共点，符合题意当m6时，抛物线的表达式为yx29.此时，b24ac024××918<0，方程x290没有实数根，抛物线yx29与x轴没有公共点，不符合题意，舍去因此，抛物线的表达式为yx23.8B解析 由表格中的数据可以看出，当x1时，y1，当x3时，y1，所以抛物线的对称轴是直线x2.当x2时，y0，故抛物线的顶点坐标是2，0当x0时，y4，所以c4，由此可判断抛物线的开口向上，因此当1<x1<2，3<x2<4时，y1<y2.9A解析 抛物线过A2，0，O0，0两点，抛物线的对称轴为直线x1.a0，抛物线开口

9、向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知点D离对称轴比点C离对称轴远，y1y2.应选A.10A解析 因为a<0，所以二次函数图像的开口方向向下又因为yx27xx7232，所以抛物线的对称轴为直线x7.当x<7时，y随x的增大而减小，故y1y2y3.11解：1根据图像过原点O与点A3，0，可知c0，对称轴为直线x，即.图像开口向下，a0，b0.对称轴为直线x，顶点的横坐标为.所以b>0，c0，该二次函数图像的顶点的横坐标为.2Mm，y1，Nmn，y2n0是该二次函数图像上的两点，且y1y2，点M，N关于对称轴对称，即，2mn3.12B132 解析 此题考察二次函数、菱形的相关知

10、识连接CB交OA于点D.因为四边形OBAC是菱形，所以CDBD，ADOD，OABC.因为OBA120°，所以OBD60°，BOD30°.设Bx，y，因为点B在抛物线yx2上，所以Bx，x2，即BDx，ODx2，tanBOD，即，所以x1，所以BD1，OD，所以OA2 ，BC2，所以菱形OBAC的面积为AO·BC2 .14解：1设二次函数的表达式为yaxh2k.顶点C的横坐标为4，且过点0， ，yax42k， 16ak.又对称轴为直线x4，图像在x轴上截得的线段长为6，A1，0，B7，0，把点A1，0代入，得09ak.由解得a，k，二次函数的表达式为yx4

11、2.2点A，B关于直线x4对称，PAPB，PAPDPBPDDB，当点P在线段DB上时，PAPD获得最小值，直线DB与对称轴的交点即为所求的点P.设直线x4与x轴交于点M.PMOD，BPMBDO.又PBMDBO，BPMBDO，PM，点P的坐标为4，15解：1依题意，得解得抛物线的表达式为yx22x3.对称轴为直线x1，且抛物线经过点A1，0，B3，0把点B3，0，C0，3分别代入ymxn，得解得直线BC的函数表达式为yx3.2设直线BC与对称轴的交点为M，那么此时MAMC的值最小把x1代入yx3，得y2，M1，2，即当点M到点A的间隔 与到点C的间隔 之和最小时，点M的坐标为1，23设P1，tB3，0，C0，3，BC218