微分中值定理与导数的应用练习题资料

1、题型1 .利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理 写生证明题2 .根据极限，利用洛比达法则，进行计算3 .根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4 .根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5 .根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一.中值定理1 .罗尔定理2 .拉格朗日中值定理二.洛比达法则一些类型（0、：、09、八g0、00、仔等） 三,函数的单调性与极值1 .单调性2 .极值四.函数的凹凸性与拐点1 .凹凸性2 .拐点五.函数的渐近线水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I方程根的证明题型II不等式(或等式)的证明题型III利用导数确定函数的单调区间与极

2、值题型IV求函数的凹凸区间及拐点自测题三一.填空题二.选择题三.解答题4月13日微分中值定理与导数应用练习题基础题：一.填空题1.函数y=x21在1-1,1】上满足罗尔定理条件的 之=。3. f(x)=x2 -x-1在区间1-1,11上满足拉格朗日中值定理的中值=4. 函数y=ln(x+1城区间0,11上满足拉格朗日中值定理的t =。5. 函数f(x) = arctan x在0,1上使拉格朗日中值定理结论成立的E是个实根，分别位于6. 设 f (x) =(x -1)(x -2)(x-3)(x -5),则 f '(x) =0有区间 中.cos5x57. lim = 一 一x. cos3x

3、321ln(1 -)8. lim -二 0arctan xc , 11、19. lim(-2 )=10. lim(sin x)x二1选择题1.罗尔定理中的三个条件：f（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导，且f （a） = f （b）,是f （x）在（a,b）内至少存在一点二，使f，（0=0成立的（）.A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2 .下列函数在-1,1上满足罗尔定理条件的是（）.A.f(x) =exB. f(x)=|x|C. f (x) =1 - x2D.1 f(x)= xsinx0,3 .若f （x）在（a,b）内可导，且xx2是（a,b）内任意两点，则至

4、少存在一点之，使下式成立（）.A. f(x2) f (x)=(xx2) f«)W(a,b)B. f (x1)一 f (x2) =(x1一x2) f'(t)。在 x1,x2 之间C. f (x1) - f (x2) =(x2-x1) f'(t)x1< t<x2D. f (x2) - f (x1) = (x2-x1) f'(t)x1 < - <x24 .下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）ln n1lim lim 一A. lim v n = ein= enTn = 1nj：B.C.D.x sin x 1 cosx lim= lim x

5、0 x - sin x x 0 1 -cosx2111x sin 2xsin - - coslim x = lim xx 不存在I sin x x 0 cosx5.在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（x21 tanxx sin xA. lim B.lim/-)C. lim xT sin xx 10 xxx综合题：n x d. lim -x > :-e三.证明题1 .验证罗尔定理对函数5 二y = ln sin x在区间一6 6上的正确性。2 .验证拉格朗日中值定理对函数 y =4x3 -5x2 +x 2在区间0,1】上的正确性。3 .试证明对函数 y=px2 qx r应用

6、拉格朗日中值定理时的求得的点 正中间。t总是位于区间的2 x4 .证明万程1，x , 一 23x 一+ =0有且仅有一个实根.65 .证明下列不得等式:(1) arctanx -arctan y < x - y当x . 1时，ex e xa -b, aa-b(3)当 a > b > 0时,< In <a b bji(4)当0 <x M万时,sin x tanx 2xsinx当0 < x <n时，> cosx .x四.计算题10.用洛必达法则求下列极限: lim Jn1xTxx-xe - e limx0 sin xsin x -sin a l

7、im x a x - a1 i ln 1 十一x J lim x J :：1arctan-x1 lim x1"x1 lim (cot x -)x 0x1 lim (cos x)x lim x (、x2 1 - x) x_：i 二sinx -xcosx2x sinxQi) lim 1 -x tan 一x 124月14基础题：一.填空题1.函数y104x3 -9x2 6x,则该函数的单调增区间区间是 2 .函数y = In(x + Jl+ x2 则该函数的单调减区间是 3 .函数y = x3 5x2 +3x +5 ,则该函数的拐点是 4 .函数y =xe",则该函数的凹区间是

8、5 .函数y =x4(12ln x 7 )的拐点是6 . 点(1,3 )为曲线 y = ax3 +bx2的拐点，则a=,b=x27 .函数f (x )=r ,其极大值为 ,极小值为 1 x8 .函数y =x十J1 一x ,在区间-5,1 上的最大值为 ,最小值为9 .函数y =4x2 -l nx2)的单调增加区间是,单调减少区间.f(x) 一10 .若函数f (x)二阶导数存在，且 f (x) A0, f (0) = 0 ,则F (x) =在0< x <十8上x是单调.x11 .函数y=x2取极小值的点是2112.函数f(x) =x3 (x2 1)3在区间0,2上的最大值为,最小值

9、为.二.选择题1下列函数中，()在指定区间内是单调减少的函数.a. y=2、(-二，二)b. y 二ex (-二，0)C. y = ln x (0,二)D. y = sin x (0,二)一.12 设 f (x) = (x -1)(2x 十 1),则在区间 q ,1)内().A. y = f(x)单调增加，曲线 y = f(x)为凹的B. y = f(x)单调减少，曲线y = f(x)为凹的c. y = f (x)单调减少，曲线y = f(x)为凸的D. y = f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凸的3 f(X)在(_oo,+=c)内可导，且 /X1,X2，当 X1 >*2时，f (

10、X1) > f (X2)，则(A.任意 X, f '(x) >0 B.任意 X, f'(x) < 0C. f(_x)单调增D. _ f ( -x)单调增4设函数f (X)在0,1上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是()A. f (1) . f (0) . f (1) - f (0)B. f (1) f (1) - f (0) f (0)C. f(1) - f (0) f (1) f (0)D. f (1) . f (0) - f (1) . f (0)5.设f (X)在(g,一)内有二阶导数,(X0)=0,问f(x)还要满足以下哪个条件，则f(X0)必是f(

11、x)的最大值？()A. X = X0是f (X)的唯一驻点B. X = X0是f (x)的极大值点C. f "(X)在(-=0,+=c)内恒为负D. f"(x)不为零2_x6.已知 f (x)对任意 y = f (x)满足 xf (x) +3x f (x) =1 e ，右 f (%)=0 (x0 #0),则()A. f (X。)为f (X)的极大值 B. f (X0)为f (X)的极小值C. (X0, f (X0)为拐点D. f (X0)不是极值点，(X°, f(x0)不是拐点-一-“口f (X) - f (X0)_,7.若f(x)在X0至少二阶可导，且lim1,

12、则函数f (X)在X0处()X M° (X-X0)A.取得极大值B .取得极小值综合题：三.求下列函数的单点区间(1) y =ln(X +31 +x2)4 .求下列函数的极值(1) y = x + tanx5 .求下列函数的最值(1) y=x + j1-x, 5Mx<1C.无极值 D.不一定有极值(2) y = (2x-5)3x2 f x = X - 3 x2/32(3) y = 2x3 + 3x2 12x+14, 3,4arctan x(1) y =e六.求函数图形的凹或凸区间及拐点，、x(2) y = x x -1七.证明题(1)利用函数的单调性，证明:当 x a 0时，1

13、 + x ln k +，1 + x2 )>+ x2(2)利用函数的凹凸性，证明不等式八.试确定曲线y=ax3+bx2 +cx+d中的a、b、c、d,使得x =2处曲线有水平切线,(1,10)为拐点,且点(2,44)在曲线上.九.工厂C与铁路线的垂直距离 AC为20km, A点到火车站B的距离为100km.欲修一 条从工厂到铁路的公路 CD,已知铁路与公路每公里运费之比为 3: 5,为了使火车站 B与工 厂C间的运费最省，问D点应选在何处？4月15日微分中值定理与导数的应用练习题一、选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有()A、y = x2 7x+10 2, 51B、y =2x

14、- 30,2y2'x + 2 - 1 e x y 1-xr r a ic一C、y = xe 0, 1 D 、y = 、1 x = 12、下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的有()一， xxA、y =7-1,1 B 、y=1,11 x2xc、y = | x| -2, 2x + 1-1 E x 0= 、x2+10MxM13、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,a < x1 < x2 < b,则下式中不一定成立的是A、f (b)-f (a) = f )(b-a) : £ (a, b)B、f (b)-f (a) = f (D(b a) - C(x

15、1，X2)C、f(X2)f (xi) = f*( - ) ( X2 Xi)- C(a, b)D>f(X2) f (Xi) = f'伐)(X2 Xi) C(xi, X2)4 4、函数y = X + 一的单调减少区间为()XA、 (- 8,- 2) U(2,+ 8)b、 (- 2, 2)C (- 00, 0) u( 0,+ oo)D、(- 2, 0) U ( 0, 2)5、设f(X)在a, b上连续，在(a, b)内可导，且当XC(a, b)时，有f'(X)>0,又知f( a) < 0,则()A f(X)在a, b上单调增加,且 f(b)>0B f(X)在a

16、, b上单调增加,且 f(b) < 0C f(X)在a, b上单调减少,且 f(b)<0D f(X)在a, b上单调增加，f( b)的符号无法确定6、函数f(X)在x = X0处取得极小值，则必有()A fX0)=0B、f"(X0)>0C f'(X0)=0,且 f"(X0)>0 D 、f'(X0)=0 或 f'(X0)不存在7、设函数 f( x)在 x = % 处 f '(X) =0,且 f "(X) = 0 ,则 f( x)在 x = x0 点()A、一定有最大值B、一定有极小值C不一定有极值D、一定没有极

17、值8、点(i,2)是曲线y = ax3+ bx2的拐点，则()A a =i,b=3B、a =0, b=iC a为任意数，b=30 a = i, b为任意数.aeX/、9、曲线 y =()i xA、有一个拐点B、有二个拐点C有三个拐点H无拐点Xi0、曲线y =的渐近线(3-x2A、无水平渐近线，也无斜渐近线B X= J3为垂直渐近线，无水平渐近线C有水平渐近线，也有垂直渐近线D只有水平渐近线2 i e" ii、曲线y =三()i -eA、没有渐近线；C、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线D、既有水平渐近线又有铅直渐近线二、填空题1、2、曲线 y = x33x+ 1要使点(1,3)x4的拐

18、点是是曲线y =x2ax3 + bx2的拐点，则a =3、曲线12 + x + 1的凹区间为 24、曲线3x2x2f (x) =2x 1- 1Q人”八,的斜渐近线为5、曲线6、7、函数函数(x-3)2y =,其垂直渐近线方程是 _4(x -1)f (x)= x4-2x2+5 在2, 2的最小值为 f (x)= 3x4+6x2 1 在2,2的最小值为,斜渐近线方程是8、函数2f (x)=x 3-(x2 -1) 3在0,2的最大值为9、函数2xf (x)=一-2x 1-在(8 , +8)的取大值为x 1x -110、函数 f (x)=x 1在0,4的最大值为三、计算题1、求下列极限(1)2x(2)

19、 lim J° cosx - 1(3)tgx - x lim x Q x - sin xlilimXFlsin 3x、tg5x /，、2 ,一 lxm0x ctg2x(6) lim(x >1 x2 -1x-xe - elim xT sin xm m x - a (8) limx X xn _ an(9limx >0<x21_ 2sin x>(10)limx0x2 -1 ln xxe - e(ii) lim -x )二ln(1 ex)，1 x2(12) limx 02二. x (cosx)2(13) lim +ln xctgxx(14)lim(x *1 ln xln x(15)xm0x xcosx k x - sin x(16) lim(1 +sin x)x(17)(18)lim x2 In xx_02、求下列函数的增减区间(1) y = x2+ x(3) y =2x2 - In x y = <x2 - 1 y = 1x1一八-4x3(4) y = arctg x- x(6) y = (x-2)