微分方程与差分方程详解与例题

1、第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方 法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程 的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问 题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程； 伯努利(Bernoulli )方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的 高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于 二阶的某些常系数

2、齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉(Euler)方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方 程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分 方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微 分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方 程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。 理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方

3、程的方法，掌握求解某些 自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。 会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容：1 .常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类 型，并记住解法的推导过程。2 .微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是 几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律 建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。3 .数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概

4、念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如y'=f(x)g(y)的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微 分方程的解题程序：当 g(y) #0时,y'=f(x)g(y)u-dy； =f(x)dx,然后左、右两端积分 g(y)J-dy- =f(x)dx+C,上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数， g(y)J -dy-表示函数.的一个原函数，f f(x)dx表示函数f(x)的一个原函数.g(y)g(y)【例7.1】微分方程y'=xy+x+y+l的通解为 。【详解】y = x 1 y 1 =dy ,券=x 1dx.两边积分得-y-j

5、=j(x+1 dx,1 j 2ln y +1| = -(x + 1) +c1,2121y 1 = ec1 e2 X 1=Ce2 ' 12，二y=Ce【例7.2】微分方程 (xy2 +x dx+(x2y _y dy =0 ,当 x=0 时，y =1 的特解为【详解】分离变量得x(y2 +1 dx +y(x2 -1 dy =0 ,2x dx +2y dy = 0 .x -1 y ，1积分得x -1dx ,.吉 y - 11 ,2)，1 .2 ,dy =C1，二-ln x -1 +-ln y +1 =C1, 22ln x2 -1 (y2 + 1 )= 2C1,即 &2 -1 Sy2

6、+ 1 )=生2c1 =C.令x=0, y=1,则-2=C,，所求特解为&21卜2+1片/ .【例7.3】若连续函数f ( x )满足关系式2x tf x = 0 f 2f (x)等于(A) exln 2. (B)e2x ln2. (C)ex 十ln2. (D) e2x +ln 2.【详解】对所给关系式两边关于 x求导,得f'(x)=2f (x),且有初始条件f(0)=ln2.于f'x) = 2f(x ), fx = 2dx,积分得 f xln| f (x)|=2x+ln|C |,故 f(x尸Ce2x.令乂=0彳1二帖2.故£J)=62*m2.应选(B)。【例

7、7.4已知曲线y =f x过点0 ,-12点(xjyb的切线斜率为-19 -xln (1 +x2、则 f (x )=【详解】y = f (x 泄足 dy x xln (1 +x2 ), y |x=0= - dx一 2y = Jxln(1+x2)dx=gjln(1+x2)d(x2)=g(1+x2 )ln(1+ x2)-1 x2+C将11x = 0, y =代入上式，行C =. 22故f x); = 1 1 x2 In 1 x2 ；-1 .【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积鬲蚯t的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0o假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融

8、化的 3小时内，融化了其体积的7 ,问雪堆全部融化需要多少小时?8432故设雪堆在t时刻【详解】半径为r的球体体积为一nr ,表面积为4灯,而雪堆为半球体状,3232的底面半径为r,于是雪堆在t时刻的体积V =叮3,侧面积S = 2nr2。其中体积V ,半径r3与侧面积S均为时间t的函数。由题意，有虫=-kS.dt2一二 3r32 dr二-k dt2，2nr。dr ,dr =kdt,r = kt + c即匕=-k, dr = -kdt又丁 t=0时，rdt ,，tz0 = r0 ,二0 =C ,即 r = -kt + r0 .而V t=3=V tm ,即一n(3k+r0 f = 1一nr；83

9、8 3,11 ,二 k=-r0, r=-r0t+r0。 66当雪堆全部融化时，r =0,V =0“1，-,，之 0 rOt +r0 ,信 t 6 (小时)。 6【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ,在t =0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为 x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数 k A0 ,求 x(t)。【详解】首先要根据题中所给条件，建立 x(t)的微分方程。由于题中条件很明确，即： x(t)的变 化率以与x(t)N -x(t)成正比，容易得

10、出x(t)的微分方程，再求出特解即得 x(t)。dt.f由已知得意=取例x),分离变量，得 产，=kdt .(xy=x0x(N-x)积分得_d = kdtx N -xdx111111即 kt，c1 = =一 一 - dx = 一 一 一 dxN-xx N x N-xN x x - NNkt Nc1 ,x = eNC1N -xNtk 八 Nkte -CeNktNceNkt - ce,又 x y =xo.二代入得cxoC =,N -xox(t)NktNxoe-7NkT °N -xo -xoe【考点八十四】形如包=中也i的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令 u=，则 dx xxu =

11、ux,-dy =u +x，代入得 u +x 士%u ).分离变量，得 -du=。两端积分，得dx dxdxu -u xdu = f包，求出积分后，将u换成3 ,即得齐次方程的通解。:u -u xx【例7.71求初值问题. y+”2 +y2 dx-xdy =0 (x>0 )的解。 y x/ =0【详解】 y x2 y2 dxxdy=0 x 0dy =y、x2 y2 -y. 1. y2dx x x ; x故此方程为齐次方程，其解法是固定的。令 u = , y =xu, =u xdu，故 u x-du 二u，一1 u2 x dx dxdx二,du =2，积分得InQ + J +u2)= In

12、x + c1.1 u2 x2ln x pC1-u 1 u = e 1 = e x = Cx代入 u =Y ,得-1 y2 =Cxxx ；x2即y +%；x2 +y2 =cx2 ,由已知y x =0，代入得0 十1 +02 =C 1 ,C=1.二所求初值问题的解为y +，x2 +y2 =x2 ,化简得y = (x2 -1 ).【例7.8】设函数f (x)在1,十无)上连续。若由曲线 y = f (x),直线x = 1, x = t(t >1)与x轴所围成的平 面图形绕x轴旋转一周所成 的旋转体体积为 V(t) =±t2 f(t)-f (1).试求32y = f (x)所满足的微分

13、方程，并求该微分方程满足条件y x的解。9t 0【详解】由旋转体体积计算公式得V(t)=冗J f 2 (x)dx,于是，依题意得222(x)dx=wt2f(t)-f(1)3两边对 t 求导得 3f 2(t)=2tf (t)+t2f'(t).将上式改写为x2y' = 3y22xy,即 %叱)2-吸9 y令u = 一，则有xdux=3u(u - 1). dx当 u #0,u 01 时，由du- =3dx,两边积分得 u二1 =Cx3 . u(u -1) xu从而方程dy=3(Y)2-2 2的通解为y x =Cx3y(C为任意常数)。 dx x x由已知条件，求得 C=-1,从而所求

14、的解为y-x = -x3y或 y =xr(x 至 1).1 x【例7.9】求微分方程(3x2 +2xy-y2)dx + (x2 -2xy)dy =0的通解.【详解】将微分方程(3(2 + 2X y_ y ) d今(2 » 2 x y与西0T恒等变形，化为12dy _ y -2xy -3xdx2x -2xydux一 二dx3 u2 -u -1,则2u -1Tdu:/dx. u2 -u -1x积分得u2 -u -1 =Cx,iPxy2 -x2y -x3 =C.【考点八十五】1.形如dy + p(x)y = Q(x) # 0的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其 dx通解公式为：y =e

15、-F(x)dx【R(x)e E(x)dx+c.【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分p(x)dx和Q(x)e 1p(x)dxdx ,只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数2 .求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。3 .通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程y' + p(x)y = Q(x)等价于p ( x ) d xp x d(x )e y p (x)y ep(x)dxQ (艮 xeyp(x)dx=e Q(x).两边积分得e p(x)dxy= Q(x)e p(x)dxdx c, |P(x) dxp(x)dxy =e

16、 Q(x)edx c.【例7.10】微分方程xy' + 2y = x ln x满足y(1)=1，-的解为9【分析】直接套用一阶线性微分方程y' + P(x) y = Q(x)的通解公式:一 P(x)dxP(x)dxy =e Q(x)edx +C，再由初始条件确定任意常数即可.2【详解】 原方程等彳介为y +£y = lnx,x2 .dx于是通解为 y = e x ln x e2 .-dx -12一x dx C = 2 x ln xdx C x1 1 c 1=-xln x -x 十C -,39x2111由 y(1)= -一得 C=。，故所求解为 y= xlnxx.939

17、.另外，本题也可如下求【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型 解：原方程可化为2._2_ 2 _ .2一x y +2xy =x In x ,即 x y = x In x ,两边积分得221 313x y= x lnxdx=-x lnx x +C , 3911再代入初始条件即可得所求斛为y= xlnx - x.39【例7.11设y =ex是微邠淞xy'+pt=x"Wf，求此微分方程满足条件 yx42 = 0的特解。【详解】先求p(x) ,/ y =ex是方程xy ' + p(x)y =x的解，代入方程得x -(ex)" p(x)ex =x

18、,解出p(x) =xe* _x.代入原方程得xy，+(xe-xx)y =x ,即 y，+ (e-x1)y = 1.这是一阶线性非齐次微分方程，而 y' + p(x)y =Q(x)的通解公式为-fp(x)dx (p(x)dxIy =e J |JQ(x)e J dx +C j对应地，P(x) =ex -1,Q(x) =1=e&l ：胪上。(-eC 1 =ek* 1途/ +c =ex +Ce(x为”)11又由 y x±2 = 0，得 0 =2 +2e2 C ,即 c = -e 2 , x x HI 4/ /(x e I-)a y = ex -e2。【例7.12设f(x)为连

19、续函数，(1)求初值问题y '+av = f (x) 一 .J、 y ()的解y(x),其中a是正常数；(2)若f (x) <k ( k为常数)。 y x=o =0证明：当x之0时，有y(x) Mk1飞心) a【详解】原方程的通解为y=e-adx 卜f(x)efdxdx+C 卜eax j f (x)eaxdx +C , = Cex .e® f(x)eaxdx由于在本题中未给出函数f(x)的具体表达式，在上式中想利用初始条件yx曰=。来确定常数 Cx很困难。而通解中的式子Jf(x)eaxdx实为f (x)eax的一个原函数，因此改写为工f(t)e dt,于是通解为 y =

20、Ce® +e；x j f (t)eatdt。x令 x=0,由 y(0)=0,得 0=C+0 即 c=0 .故所求的解是 y=e&x J f (t)eatdt。(2)由题设| f (x) <k及x"知,当 x 之0 时，y =e，x / f (t)eatdt-ax，(f (t)eatdt<e'x : f (t)eatdt Mke皿:eatdt =ke eax-11 -e皿aa2,若x <10,若x >1【例7.13】设有微分方程y'_2y=%x),其中 试求在(q,依)内的连续函数y = y(x),使之在(-,1抑(1,收W都满

21、足所给方程，且满足条件 y(0)=0。【详解】线性方程 y'_2y =9(x)中的非齐次项9(x)有间断点x =1。在点x = 1处玖x)无定义，且x=1为9(x)的第一类间断点中的跳跃间断点。当x<1及x>1时均可求出方程的解 y = y(x),二者相等。又因为y=y(x)是连续函数，故lim y(x) = lim y(x) = y(1),从而可以确定y(x)中的任 x >1-0x 1 0意常数，得到解y(x)。当x<1时方程为y'2y =2,其通解是y =e-2dx 2e_2dxdx / =e2xff2exdx +c1 =c1e2x -1。将初始条件

22、y (0)=0代入通解中，得到c1 =1，得特解 y=e2x1(x<1).又:当 x>1 时方程为 yr-2y=0,即包=2y,包=2乂，两端积分得lny=2x + 0,dx y即y =耳。2 e2x =Ce2x .因为y = y(x)是连续函数，所以有lim e2x -1 = lim Ce2xx1 -0x1 0故当x >1时)特解为y =1 e-2补充y=y(x)在x=1处的函数值 y(1) =e2 _1 ,则得到在(*,拈c )上的连续函数，即所求解为e2x -1,若 x <1y（x）=，e/e2x,若 x>1 【例7.14】设F(x)=f(x)g(x),其中

23、函数f(x),g(x)在(_«,也)内满足以下条件：f'(x) = g(x),g '(x) = f (x),且 f(0)=0, f (x) +g(x) =2ex.(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程【详解】(1)由.一._.2_ 2F (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) = g (x) f (x)，、.2 x、2= f(x) g(x) -2f (x)g(x)=(2e )

24、-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为F '(x) +2F (x) = 4e2x._ 2 dx2 x2dx(2) F(x) = e 4e e dx C= e°x,4e4xdx C = e2x Ce'x.将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C=-1.于是 F(x) =e2x e/x.【例7.15】f (u , v)具有连续偏导数，且满足f；(u,v)+ fv'(u,v) = uv.求y(x) =e/x f (x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解 .【分析】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程。先求y，利用已知关系fU(u,v) + f

25、v(u,v) =uv,可得到关于y的一阶微分方程.【详解】因为y'= 2e_2x f (x,x) +e_2x f；(x, x) +e-2xfv(x,x) = -2y + x2e_2x ,所以，所求的一阶微分方程为y 2y =x2e'x.解得 y =e-'2dx(fx2e-2xe'2dxdx+C) =(1x3+C)e_2x(C 为任意常数).3_2_2【例7.16】设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程 =+= = e2xz,求f (u)。:x2y:y.2 :z:x2.2二 z2:y【详解】三=f (u)ex sin y,三=f (u)e

26、x cos y,二 f (u)exsiny f (u)e2xsin2 y,-f (u)ex sin y f (u)e2xcos2 y代入原方程，得 f "(u) f (u) =0。特征方程为r21=0,特征根为r=1,-1,故 f (u) =Cieu +C2e【例7.17设f(x)是可微函数且对任何 x,y恒有f(x + y) =ey f(x)+exf(y),又f'(0)=2,求f(x)所满足的一阶微分方程，并求 f(x) 【详解】令 x=y=0,得 f(0)=2f(0),故 f(0)=0。在方程f (x + y) =ey f (x) +ex f (y)两边对y求偏导数，有f

27、 (x+y) =ey f (x)+ex f'(y)。令y=0,得f (x) = f(x) +exf '(0)。于是求f(x),归法为求解下列初值问题：；f '(x) f (x) =2ex J '(0) =2, f (0) =0解得 f (x) = e 'dx C + 2exe-Mdx L cex +2xex。由 f(0)=0 ,得 C=0,故 f (x) = 2xex 。【例 7.18】求 y ln ydx +(x -ln y )dy =0 的通解。【详解】化为标准型：dx= 1,dy y ln y y对比公式： 包+p(x)x=Q(x),通解为dx-p

28、(x)dx y =e -p(x)dxe dx -cdx得新公式： + P(y)，x = Q(y),通解为 dy-p(y)dy x =ep(y)dy(y)e dy cdy=In In y , yin y11而本题：P(y)=,Q(y)=_, P(y)dy =yin yy- P(y)dy1ininy112Q(y)e dy : e dy 二 in ydy =-ln y, yy2通解为 x =eJnln y Jin2 y+c=一,in2 y+ c ,一2in y IL22.即 2xin y = in y C【例7.19设y(x)连续,求解方程 jy(s)dx+ y(x) =x2 .【详解】因为原方程中

29、x2, /y(s)dx均可导，故y(x)可导。对方程两边同时求导，将积分方程转化为微分方程：1.一.y(x) +2 y (x) =2x ,即 y (x)+2y(x) =4x .根据一阶线性微分方程通解公式，得y(x) =e-2dx .| f4xe dxdx +c =e"x 4xe2xdx +c】=(2x -1 汁Ce”x又 y(x) =2x2 (y(s)ds , .当 x=0时，y(0)=0 .代入得 0 - -1 C . C =1. . y(x) =e °、2x -1【例7.20】设函数在区间a, b】上连续，且满足方程 -112 f (x)dx =1f (x1) + f

30、 (x2)I x1 ¥ x2 , x2 -x1 x12且 x1, x2 w a,b ,求 f (x)。【详解】当xwa,bh寸，由已知条件lxf(t)dt =- lf(a) + f(x),x a a2即|x f(t)dt =£=a f (a)十f (x) 1 两边对x求导得 a2f (x) =- f (a) + f (x) l+-xa f (x),即 f (x) -1- f (x) = f-(a .22x-axa这是一阶线性微分方程，代入通解公式，得-(-)dxf(a) (-)dxf(x)=eixHH_(a2eJx. dx + C |=C(xa) + f(a)：x-a一令

31、x=b,得 c = f(b)-f,故 f(x)= f(b)_f(a) (x_a) + f(a)。 b -ab -a【例7.21】过点,1,0 i且满足关系式y'arcsinx+3= =1的曲线方程为y =1-x22,yarcsinx【详解】方程化为y yarcsinx、1 - x211设P： =,Q).arcsinx .1 -x2arcsinx darcsixn ，于是arcs<i nPdxla r c s ixn通解 y = en arcsin x eln arcsin xdx C 二 x-丫二qx-1 .arcsin x .2arcsin xarcsin x由y U 1 =

32、0可定出C =故曲线方程为 22【例 7.22 求微 分方程xdy + (x 2y )dx = 0的一个解y = y(x )，使得 由曲线y = y (x 直线x =1,x = 2以及x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周的旋转体体积最小。【详解】题设方程可化为 dy 2 y = 1.利用求解公式，得通解dx xf2dx-J2dx2y =e x -Je x dx+C =x+Cx*29231 9157旋转体体积 VC =:二x - Cx2 dx -: 31C215C - 7.1523由 V'(C )=n'62-C 1 1 = 0 解得 C =画.由于 V'(C) = 62n

33、 >0.故C =工5为惟一极521245124小值点，也是最小值点，于是得 y = x -匹 x2.124【考点八十六】可降阶的高阶微分方程:1 .大纲要求：会用降阶法解下列高阶微分方程：y =f (x);y*=f(x,y)(缺 y)；y *=f (y, y)(缺 x)。2 .方程y(n) =f(x):直接求n次积分，即可求解。3 .方程y,=f(x,y):这类方程的特点是不显含未知函数y o令p =y则化为关于P的一阶微分方程u，= f (x, p),然后再用解一阶微分方程 的解法解之。4 .方程y"=f(y,y)：这类方程的特点是不显含自变量x。令 P =P(y) =y 则

34、d2yddydpdpdydpy=-2-= P.dx2dxdxdxdydxdy因而原方程化为关于P的一阶微分方程：P曳 = f(y, p).dy【例7.23】求初值问题1+y2 =2yy： 的解。、y(1) =1,y'(1)=1【详解】丁方程1 +v*2 =2yy “不显含x ,，令 p =yd2y dx2dydxdp dxdp dydp=p - dy dxdy2代入原方程得1 p2=2y嚅，即黄。分离变量，得2十两边积分，得 ln1 + p2 = ln y+C1,，1+p2 =：fec1 y =Cy由初始条件：y=1 时，p=1,故 C=2, j.P2=2y1.P = r'2

35、y 1 , p v2y 1 （不合题意舍去）.二色=r 2y -1 ,即 W = -dx .两边积分得 V2y _1 = -x +C1 , dx,2y-1再由 y(1)=1,得 Ci =2.所求特解为,/27=1=2_x ,即 y=l(x2-4x+5).【例7.24】微分方程xy "+3y，=0的通解为【详解】设y，= P,则y- dpdx.方程化为xdp+3P =0 。分离变量，得dxdp=-辿o两端积分，得P xIn p = -3ln x + Cix积分得y =，口 C22 x2£3 ,x包二 x即* dy =+C2 .因此应填y 二C xC3 -2 xdx .C2 .

36、【例7.25】设对任意x>0,曲线y = f （x）上点（x, f （x）河的切线在y轴上的截距等于*f(t)dt，求f （x）的一般表达式。【详解】曲线y =f(x)在点仅f(x)世的切线为Y - f(x) =(x)(X -x卜令x =0 ,得切线在y轴上的截距为Y = f (x) xf '(x)。由已知 f(x) -xf x) =- x f(t)dt ,即 xf(x)x2f'(x) = /f(t)dt。 x 00两端对x求导，得 xf *(x) + f '(x) =0 。令P=f (x),则f6)=曲。代入得x+P=0, dxdx分离变量，得曲=.P=C1即也

37、上。 p xx dx x积分得 f (x) = C1 In x 十C2。【例7.26】求微分方程y 十-(y)2 =2y满足条件 3 =2 , y'xm=2的特解。【详解】设 p=y',于是y=d£,dy = pd£.代入原方程，得p型+-p2=2y,即dx dy dx dydy 2,2, 21 dp 12c dp 2,-+- p =2y. ., p p p =4y。2 dy 2dy 这是关于p2和y的一阶线性方程，其通解为p2 =e'dy | J4ye jdydy +C1 = e-y.Myeydy +C1 . p2 =e y 4yey -4ey -

38、 C1 =C1e_y 4 y -1 .解出P ,则P+4（y -1 ）或p =33 +4（y-1 ）（不合题意舍去）二 P =y'=dcie, +4(y 1 卜又丫 y 旦=2 , y x旦=2 ,二。=0,即 y' = T4TT) , dy =2/71，分离变量，得 _=2dx. dx-.y -1两边积分得 jTi =x +C , . y =(x +c j +1 ,代入 y x卫=2,得 c=1. . y =(x+1 2 +1 =x2+2x+2 .【例7.27函数f(x而0,y)上可导，f (0) = 1.且满足等式11 xf x f x；f t dt=0,x(1)求导数f

39、'(x );(2)证明：当x之0时,成立不等式：ex Ef (x)M1.【详解】(1)原方程两边乘x+1后再求导，得x 1 f x =-x2 f x .，故dp PCe-xx 1设(x) = p，则 f “(x)=虫.方程化为(x+1)dp = -(x + 2)p,dxdxx 2 dx ，x 1xe由 f (0) = 1 及 f (0)+f (0) = 0,知 f (0)=1,从而 C = 1,故 f P(x)=-(2)对f'(x)=-上一两端积分，得x 1-t-tf (x)f (0)= -0Mdt，即初七出=1一 f(X)当 x 之01 有0 M f-edt < etdt =1ex.0 t，10于是0E1 f(x)E1e