第三章差分方程方法

1、第三章差分方程方法3.1差分方程的平衡点及其稳定性设有未知序列 xn ,称F(n；Xn,Xni,Xnk) 0(3.1)为k阶差分方程。若有xn x(n),满足F(n; x(n), x(n 1), , x(n k) 0则称xnx(n)是差分方程(3.1)的解，包含k个任意常数的解称为(3.1)的通解，X0,X1,Xk1为已知时，称其为(3.1)的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(3.1)的特解。形如xn k a(n)xnk1ak(n)xnf (n)(3.2)的差分方程，称为 k阶线性差分方程。ai(n)为已知系数，且ak(n)0。若差分方程(3.2)中的f(n) 0,则称差分

2、方程(3.2)为k阶齐次线性差分方程，否则 称为k阶非齐次线性差分方程。若有常数是差分方程(3.1)的解，即F(n； , , , ) 0,则称是差分方程(3.1)的平衡点，又对差分方程(3.1)的任意由初始条件确定的解xn x(n),都有xn(n ),则称这个平衡点是稳定的。若X0,X1, ,Xk1已知，则形如 xn kg(n;xn,xn 1, ,Xn k 1)的差分方程的解可以在计算机上实现。下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。一阶常系数线性差分方程xn 1xn b ,(3.3)(其中 2为常数，且 1,0)的通解为xnC( )n b (a 1)(3.4)易知b/(1)是方程(3.3)

3、的平衡点，由(3.4)式知，当且仅当 1时，b( 1)是稳定的平衡点。二阶常系数线性差分方程Xn 2Xn i bXnr ,(3.5)其中a,b,r为常数，当r 0时，它有一特解x 0；当r 0,且a b 1 0时，它有一特解Xr/(a b 1)。不管是哪种情形，X是方程(3.5)的平衡点。设方程(3.5)的特征方程2 a b 0的两个根分别为1,2，则当1,2是两个不同实根时，方程(3.5)的通解为Xn X* Ci( i)n C2( 2)n；当1,2是两个相同实根时，万程 (3.5)的通解为Xnx (C1 C2n) n ；当1,2 (cos isin )是一对共轲复卞P寸，方程 (3.5)的通

4、解为* nXn x(C1 cosnC2sinn )一* 一 >，.、 一一 一一* . *易知，当且仅当特征万程的任一特征根i 1时，平衡点X是稳定的。二阶方程的上述结果可以推广到k阶线性方程，即k阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程白根i(i 1,2,k)均满足：i 1 ,即均在复平面上的单位圆内。下面讨论一阶非线性差分方程Xn 1f(Xn)(3.6)，一，一、一，> * *的平衡点的稳定性。其平衡点X由代数方程X f(x)解出，为分析平衡点X的稳定性，将*万程(3.6)的右端f(Xn)在X点作泰勒展开，只取一次项，(3.6)近似为_ * * * _ * _Xn 1f (X )(

5、XnX ) f (X )(3Q*(3.7)是(3.6)的近似线性万程，X也是(3.7)的平衡点。关于线性方程平衡点稳定的条件上面已给出，而当 f (X )1时，方程(3.6)与(3.7)平衡点的稳定性相同。于是得到，当_ '* . I . *. ._ '* .f (X )1时，对于非线性方程(3.6) , X是稳定的；当f (X )1时，对于方程6),* 一 .一 、一X是不稳止的。3.2市场经济中的蛛网模型在自由贸易的集市上你注意过这样的现象吗？ 一个时期由于猪肉的上市量远大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱， 于是转而经营其它农副业。过一段时间后猪肉上市量大减，

6、供不应求导致价格上涨，原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业。这样下一个时期会重视供大于求、价格下降的局面，在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此循环 下去。在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越低。而下一时段商品的数量由生产者的供应关系决 定，商品价格越低生产的数量就越小。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格 和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人们群众的正常生活。现在我们用差分方程建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当

7、推广。记第n时段商品数量为Xn,价格为yn, n 1,2,。这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是一年，肉类则是1个饲养周期。在n时段商品的价格yn取决于数量xn ,设y f (Xn) o它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数。因为商品的数量越多价格越低，所以在图3-1中用一条下降曲线 f表示它，f为需求曲线。在n 1时段商品的数量 xn 1由上一时段价格 yn决定，用xn1 g(yn)表示，它反映生产者的供应关系，称为供应函数。因为价格越高生产量才越大，所以在图图4-1需求函数和供应函数3-1中供应曲线g是一条上升曲线。设图3-1中两条曲线f和

8、g相交于Po(xo, yo)点，在Po点附近取函数f和g的线性近似，即需求函数(f): yn yo(xn xo) ,0(3.8)供应函数(g)： xn 1 xo(yn yo),0(3.9)由式(3.8) , (3.9)消去yn得一阶线性差分方程xn 1xn (1)xo，n 1,2, .(3.1o)因此xo是其平衡点，即 Po是平衡点，对n递推不难得到xn 1 ()nx1 1 ()nxo，n 1,2,.由此可得，平衡点 P0稳定的条件是：1;不稳定的条件是：1。下面用图形解释此模型。若对某一个k有Xk Xo,递推可得，当n k时Xn Xo ,从而y y° ,即商品的数 量和价格将永远保

9、持在 Po（xo, yo）点。但是实际生活中的种种干扰使得 Xn, yn不可能停止 在Po点上。不妨设X1偏离Xo ,我们分析随着n的增加Xn , yn的变化。数量X1给定后，价格yi由曲线f上的Pi点决定，下一时段的数量X2由曲线g上的P2点决定，这样得到图案稀刖的中似1, y1） , P2（X2,y1）,图皆（X 2,y第白P44x3, y2）,，在图3-2上这些点将按箭头所示方向趋向Po（Xo，y0）,表明Po是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格） 将趋向稳定。但是如果需求函数和供应函数由图3-3的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照P1 ,P2,P3,P4,，的规律变化

10、而远离Po ,即Po是不稳定平衡点，市场经济趋向不稳定。由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利 于经济稳定。图3-2和图3-3中折线P1F2F3F4 形似蛛网，于是这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。一般地说，f取决于消费者对这种商品的需要程度和他们的消费水平，g则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。 下面再来解释此模型的实际意义。首先考察参数，的含义，需求函数 f的斜率（取绝对值）表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；供应函数g的斜率表示价

11、格上涨1个单位时（下一时期）商品供应增加量。所以的数值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么会比较大；较小。 的反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度，如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的计划，则 较小。根据 ，的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。当供应函数g,即固定时，越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越利于经济稳定。当需求函数 f,即

12、固定时，越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越利于经济稳定。反之，当 ， 较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品 的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量 多少，命令价格不得改变，于是 0,不管曲线g如何，总是稳定的；另一种办法是控制 市场上的商品数量， 当上市量小于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场，当上市量多 于需求时，政府收购过乘部分，于是0,不管曲线f如何，也总是稳定的。最后我们将模型稍加推广。如果生产者的管理水平更高一些，他们在决定商品生产数量时，不是仅根据前一时期的价格，而是根据前两个时

13、期的价格，为简单起见不妨设根据二者的平均值(yn yn 1)/2 ,于是供应函数为Xn 1 g (yn yn 1/2)。在P0点附近取线性近似时，(3.9)表示为：供应函数 ：Xn i Xo(yn yni/2 y0) ,0。(3.11)又设需求函数仍由(3.8)式表示，则由(3.8) , (3.11)式得到2Xn 2Xn 1Xn (1 )X0, n 1,2, .(3.12)(3.12)式是二阶线性差分方程。Po点稳定的条件可由其特征方程2 20的根1,28时，显然有2,当244从而2, Po是不稳定的。当 8时，可以算出 1,22-,由1,21得到Po点稳定的条件为2。这与原有模型中的 Po点

14、稳定的条件1相比，保持经济稳定的参数，的范围放 大了(， 的含义未变)。可以想到，这是生产经营者的生产管理水平提高，对市场经济 稳定起着有利影响的必然结果。3.3差分形式的阻滞增长模型阻滞增长模型dx dtrx(1 )K(3.13)的差分形式是将其化为yn 1ynryn(1 yn . K )yn 1(r1)yn(1 ryn. r 1 K)令b r 1, Xn ryn/ (r 1)K，将上式简化为Xn 1bXn 1 Xn(3.14)方程(3.14)的解可根据给定的初值X0,利用计算机算出:根据r , K的含义，有b 1,0 Xn1 ,再由(3.14)应有b 4。下面主要讨论当1 b 4时，序列X

15、n的收敛性，它比简单地讨论方程(3.13)或(3.14)的稳定性复杂，且会看到一个十分有趣的现象。记f(X) bX(1 X),解代数方程X f(X)得方程(3.14)的平衡点X*0,1 1b.由于f (x) b(1 2x),注意到b 1及平衡点稳定的条件f (X ) 1得，0不是稳定的平衡点，x 1 1/b的状况可以通过方程(3.14)的图解法清楚地表示出来。在xOy平面. 一 . 一'，*、 一 上回出y x和y f(x)的图形(图3-4)。由于f (x ) 2 b ,因此当1 b 2时，xn基本上是单倜递增地收敛于X (图3-4(1)；当2 b 3时，Xn基本上是衰减震荡地收八人.

16、 * 一敛于 X (图 3-4 (2)。图 3-4 (2)图 3-4 (1)当b 3时，虽然万程(3.14)仍可形式地求解，但 X不稳定，其图解法如图3-5所示。事情到此并未完结，由(3.14)式迭代一次可得Xn 2bXn 1 (1 Xn 1) bbXn(1 Xn ) 1 bXn (1 Xn)Xn 2b2Xn(1 Xn)1 bXn(1 Xn )(3.15)方程(3.15)虽是二阶非线性差分方程,但缺少 Xn 1,相当于一阶差分方程。解代数方程xb2X(1X)1bXn(1Xn)得到方程(3.15)的4个平衡点，除了方程(3.14)的2个平衡点0, 1 1/b外，还有两个*X1,2b 1 b2 2

17、b 32b图3-6图3-5可以验证(根据一阶差分方程的判别方法)，在条件b 3下，平衡点0, 1 1/b不是-4,、,，一* _._._.稳定的，而Xi,2是稳定的条件为b 1 J63.449。这就是说，当3b3.449时，虽然序列Xn不收敛，但它的两个子序列X2n和X2n 1都是收敛的（图 3-6）。它的生物学意义是，当固有增长率 2 r 2.449时，从一个繁殖周期（即一代）的角度看，其数量增长 是不稳定的，但从两个繁殖周期（即两代）的角度看，其数量增长是稳定的，这就是所谓的 2倍周期收敛。读者不难想到，当b 3.449时，x；2不再是稳定白1即方程（3.15）不存在稳定的平衡点，从而对于方程（3.14）来说2倍周期也不收敛了，但是将方程（3.15）迭代一次或者将方程 （3.14）迭代2次，得Xn 4厂，）（3.16）方程（