指数函数知识点汇总

1、指数函数知识点汇总作者:日期:13指数函数(一)指数与指数塞的运算1 .根式的概念：一般地，如果 xn =a，那么x叫做a的n次方根，其中n>i,且neN 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0,记作nlQ 0 0。当n是奇数时，Van =|a |=，Van =a ,当n是偶数时， (a.0) (a :二 0)2.分数指数哥正数的分数指数哥的意义，规定:ma n = n, am (a 0,m, n N , n 1)1*(a 0,m,n N ,n 1)n ma0的正分数指数哥等于 意义3.实数指数哥的运算性质r r(1)a . a =ar s rs(a ) =a(3) (ab) =a a

2、(二)指数函数及其性质1、 指数函数的概0, 0的负分数指数哥没有r s(a>0,r,sw R)；(a >0, r, s w R)；(a >0,r,s= R).念：一般地，函数y = ax (a >0,且a #1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>1-一/1-140-1定 义 域R值 域y0<a<1654r320-1定 义 域R值 域y>0>0在在RR上上单单调调递递增减非非奇奇非非偶偶函 数函 数函函数 图数 图象象都都过过定定点点(00

3、11)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在a,b上，f (x) =ax(a A0 且 a#1)值 域是f(a),f (b)或f(b),f(a)(2)若x #0,则f(x) #1 ； f(x)取遍所有正数当且仅当x W R；(3) 对于 指数函 数f (x) =ax(a >0且 a =1)，总有 f (1) = a ；指数函数例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：1(1» = 324(2)y =，：2x 七1(3)y = V3-3x-1解 (1)定义域为x R且x w 2 .值域y > 0且y w 1 . (2)由 2x+2-1>0,得定义域x|x

4、 2,值域为 y>0.(3)由 33x-1 >0,得定义域是x|x W2, ,0W3 3x-1<3,值域是0w y<氏.A2 m一,统习.(1) y=2x(2) y = (一)|x|；(3) y=4x+2x+1；3【例2】指数函数y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的图像如图2. 62所示, 则a、b、c、d、1之间的大小关系是 A. avbvlvcvd B. avbvlvdvc C. b v av 1 v dv c D. cvdvlvavb 解 选(c),在x轴上任取一点(x , 0), 则得 bv av 1 v d v c.练习：指数函数拎)二/且二/满足不

5、等式1总期Q ,则它们的图象是 ().【例3】比较大小：(1)N2、知2、5/4、8：8、9；16的大小关系是：f3(2)0.6 5(2) 2(3)4.5 4.1 3.7 3.611234解(1>应=22, V2=23, V4 = 25, 8/8 = 28, 916 = 2、，函数y=2x, 2>1,该函数在(°°, +00 )上是增函数，13241_又一<<<< ,3/2< 8:8< 5；'4< 9''16< J2 .38592'351*广4解(2) .0.6_5 >1,4

6、3 40.6 飞 (一)二.4.5 4.1 >4.5 3.6 ,作函数 y1 =2解(3)借助数4.5 3.6打桥，利用指数函数的单调性, 4.5 x, y2 = 3.7x 的图像如图 2. 63,取 x=3.6,得 4.5 3.6 > 3.7 3.64.5 4.1 >3.7 3.6 .图2.67说明 如何比较两个哥的大小：若不同底先化为同底的哥，再利用指数函数 的单调性进行比较，如例 2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的哥比较大小 时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2).其二构造一个新的哥作桥梁，这个新的哥具有与 4.5 4.1同底与3.7 3.6同指数的

7、特点，即为 4.5 3.6(或3.7 4.1 ),如例 2 中的(3).练习： (1) 1. 72.5与 1 . 73(2 ) 0.891 与 0.83.2(3 ) 1. 70.3 与 0. 9a 1_2.13.5和2.72.0【例4】比较大小n$an与n/an丸a>0且aw 1, n>1）.解二 an(n J)当 0V a< 1,n>1,1n(n - 1)>0,- n(n 1)nd n n n 1-a <1,va <、a1当a> 1时， n>1, >0,n(n -1)1.an7n>1, n疗川亦【例5】作出下列函数的图像：,1

8、、x 1x(1)y = (2)(2)y = 2 -2,(3)y = 2|x-1|(4)y =|1 3x|11 一解（1）y=（2）x*的图像（如图 2. 64）,过点（0,-）及（一1, 1）.1是把函数y=（；）x的图像向左平移1个单位得到的.解（2）y =2x2的图像（如图2. 65）是把函数y = 2x的图像向下平移 2个单位得到 的.解（3）利用翻折变换，先作y=2|x|的图像，再把y=2|x|的图像向右平移1个单位，就得y=2|x-1|的图像（如图2. 6 6）.解（4）作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得 y = 3x的图像，再把y =3x的图像向上平移1个单位，保留其在 x轴

9、及x轴上方部分不变，把 x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到 x轴上方而得到.(如图2. 67)" ax -1一一 一，, 一【例8】 已知f(x) = r(a>1) (1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域； ax 1证明f(X)在区间(一00, +OO )上是增函数.解(1)定义域是R.a, -1"x)=不xaxa-'1_/一 f(x)，函数f(x)为奇函数.a” -1函数丫=涓,.yW1, ,有ax =-1 -y y 1y -11 -y即f(x)的值域为(一1, 1).(3)设任意取两个值x、x2 C ( 8, + oo )且 x v x2 .

10、f(x 1) f(x 2)xl xo 1a la 2=x- _x_+=a la 22(axl ax2).(axl +1)(ax2 +1) '. a> 1 x1<x2'ax1 < ax2, (ax1 + 1)(ax2 + 1)>0, - f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数.单元测试题、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)1+2”A化简1+21、CA、B、2、aB a811-2 -321-2直1+2 16 J1、1-2 321 1-2-323、若a >1,b c0,且ab+a*=2匹，则ab-a*的值等于(A j6B 、

11、±2C、-2D 、20 x4、函数f(x)=(a2-1)在R上是减函数，则 a的取值范围是()A a >1 B 、a<2 C 、a<72D 、1<a<%/215、下列函数式中，满足 f(x+1)= f (x)的是()21 1A (x+1)B 、x + C 、2xD 22 46、下列 f(x) =(1+ax)2|_a"是()A、奇函数B、偶函数C 、非奇非偶函数D、既奇且偶函数117、已知 a >b, ab #0 ,下列不等式(1) a2 a b2 ；(2) 2aA 2b ； (3)- < - ； (4) a3 a b3 ； a b&

12、lt;f- '中恒成立的有(3?)B 、2个 C 、3个一、“，2 1 18、函数y =1是()2x 1、既奇又偶函数D、非奇非偶函数A奇函数 B、偶函数19、函数y =的值域是(2x -1A ( -°0,1 ) B 、(-0°,0 浦(0,依)C、(-1尸) D 、(-00,-1)U(0尸)10、已知0 <a <1,b<1,则函数y = ax+b的图像必定不经过()A、第一象限B 、第二象限 C 、第三象限D 、第四象限211、F(x) = J+彳 产(x)(x=0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)()A、是奇函数B、可能是奇函数，也可

13、能是偶函数C是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%,则n年后这批设备的价值为()A na(1-b%)B 、a(1-nb%) C 、a1-(b%)n D、a(1-b%)n二、填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上)13、若 10x =3,10y =4,则 10x于=。14、Nx2 ,8x 1函数y = 1 I (4&x&1)的值域是215、函数y=3 的单调递减区间是 16、若 f(52xJ1) = x2,贝U f (125) =。三、解答题：(本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，

14、证明过程或演算步骤.)2217、设 0<a <1,解关于 x 的不等式 a2x J3x42>a2x xJ31118、已知xw 3,2,求f(x) =r-+1的最小值与最大值。4219、设 aw R,a 2x a 2f(x) =(xW R),试确定a的值，使2x 1f (x)为奇函数。x2 -2x 520、已知函数y = f1 i ,求其单调区间及值域。321、若函数y =4x2x+3的值域为1,7,试确定x的取值范围。17sax -122、已知函数f （x）二（a >1） （1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）证明 a 1f（x）是R上的增函数。指数与指数

15、函数同步练习参考答案题号123456789101112答案ACCDDBCADAAD二、13、14、,39 ，令U =2x2 8x+1 =2(x+2)2 +9 ,-3< x< 1,a- 9< U < 9,又 y = I I为减函数，.1| 0 y & 39。337U2U2 -2x215、），令y=3 ,U =23x , ,y=3为增函数，y = 3的单倜递减区间 为 0, 二16、 0, f (125)= f (53)= f (52浑°)=22=02217、0 <a <1, y=ax在(口，一)上为减函数，:a2x x42 >a2x x

16、- 222x - 3x 2 : 2x - 2x - 3= x 1218、f (x),1 =4/2/ 1 =222' 1 = 2-13,4x 2x24xw 1-3,2 ,1 0 2 J 8 .41 3则当2"=，即x=1时，f(x)有最小值一；当2，=8，即x = 3时，f(x)有最大值57。 2419、要使 f(x)为奇函数，:xWR,.,.需 f(x) +f (x) =0,' f(x)x 1222,=a r，f (x) = a=a ,由2x 1212x 12x 1a 一 _xa 一 x2x 12x 12a2(2x 1)x21=0 ,/. a = 1。20、令 y+ 2x+5,则y是关于U的减函数,而U是（-叼-1 ）上的减函数,比的增函数，1 x2 2x 5y = （3 I 在（-°0,-1 ）上是增函数，而在 （-1,依）上是减函数，又丁U =x2+2x+5 =(x+1)2+4 > 4, . . y =21、y=4x_3 2x+3 = 22x_3 2x+3,依题意有g-3 "3"即 Ji" 4 ,2W2Z4 或 0<2x<1,(2x)2 -3 2x +3> 12x> 2或