抛物线高三复习专题

1、一、抛物线的方程例1求满足下列条件的抛物线的标准方程，弁求对应抛物线的准线方程：(1)过点(3, 2);(2)焦点在直线x2y4=0上.(3)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x轴，抛物线上的点M (-3, mj)到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m的值.(4)点M与点F (4,0)的距离比它到直线i：x + 5 = 0的距离小1, 求点M的轨迹方程.(5)斜率为1的直线经过抛物线y2= px的焦点，与抛物线相交 于两点A、B,线段白长为6,求抛物线的方程(6) 一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上载有一宽4米、高6米的大木箱，问能否安全通过?(7)点P、Q是抛物线y2

2、=2mx上两点，PQ垂直于这条抛物线的 对称轴，且|OP|=5, O为坐标原点，|PQ|=6,则 m的值 为.(8) .抛物线y=ax2的准线方程是y = 2,则a的值为()A. 1 B. - 1 C. 8D. -888(9) .在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为()A. 1 B. 1 C. 2 D. 42(10) .已知抛物线方程为y2=8x ,则它的焦点坐标是 , 准线方程是 ,若该抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点等于 , 抛物线 上的M到焦点的距离是4,则点M的坐标是 。(11) .抛物线y =4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的

3、纵坐标是()A. -B. -C. 716168D. 0(12)过抛物线y2 = 4x的焦点作直线交抛物线于 P(xii)、Q(x22) 两点，若xi2=6，则| |的值为()A. 10 B. 8C. 5D. 6(13)斜率为2的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相 交于A,B两点，则|AB|= 。(14)抛物线y2=2x上的两点A,B到焦点的距离和是5,则线段AB 的中点到y轴的距离是。(15)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y轴上，抛物线 上的点(m, 2)到焦点的距离等于4,则m的值为.16.方程x2sina +y2cosa =1表示的曲线不可能是()(A)直线 (B)抛物线 (

4、C)圆 (D)双曲线二、抛物线的定义(1)已知抛物线x 2 = 4 y的焦点F和点A(-1,8)为抛物线上一点，则I I+1 I的最少值是()A. 16 B. 6 C. 12 D.9 已知抛物线y2 =2px(p>0)的焦点为F ,点PN,yi),P2X2 y2), 2(x3, y3)在抛物线上，且|PF卜IP2F卜IP3FI成等差数列， 则有( )A +x2=x3B , y+y2=y3C« xi x3 = 2x2D.yi y3 = 2 y2(3) P是抛物线y2=4x上的一个动点，又 F是抛物线的焦点，A(2,5)，则I I + I I的最少值是 .(4)已知点A(3,4),

5、F是抛物线y2=8x的焦点是抛物线上的动点 当|MA + MF最小时，M点坐标是 ()A. (0, 0) B. (3, 2、6) C. (2, 4) D. (3, -2.6)(5)抛物线y = -x2上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值A、4C、D 3(6)抛物线x 2 1上的点到直线4坐标为y = 45的距离最短，则该点的A. (0,0) B. (1,4) C.；D. (5,1)(7)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A（Xi,yi）、B（x2,y2）两点，则y2+y2的最小值是 8.以抛物线y2=2px（p>0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴

6、位置关 系是（）（A）相交（B）相切（C）相离（D）以上三种均有可能三、抛物线的几何性质1 .过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于a、B两点，它们的横坐标之和等于a2+2a+4（aw R）,则这样的直线（） A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1 条或2条D.不存在2 .如果Pi, P2,，P8是抛物线y2=4x上的点，它们的横坐标 依次为X, x2 ,，x8 , F是抛物线的焦点，若x1,x2，xn（nW N冲）成等差数列且 xi +x2 i +xg=45,则 |EF |=（）.A. 5 B .6 C.7 D . 93 .设O号坐标原点，F是抛物线y2=4x4焦点，A是抛物线上的

7、 一点，FA与x轴正向的夹角为60 ,则OA为.4 .（山东省威海市2008年普通高中毕业年级教学质量检测）抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l , l与x轴相交于点E,过F且 倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点 A, 11 ,垂足为B,则四边形的面积等于（）A. 3 芯 B . 4V3C . 63D . 8<3四、抛物线和直线的综合应用：例1斜率为1的直线经过抛物线y2 =4x的焦点，与抛物线相交 于两点A B,求线段的长.变式1.斜率为1的直线经过抛物线y2 = px的焦 点，与抛物线相交于两点 A B,线段白长为6, 求抛物线的方程变式2.过抛物线y2

8、=2px的焦点F任作一条直线fy-XBX Jr 、H -E-OF-D 、AXm交这抛物线于 a b两点，求证：以为直径的圆和这抛物线的准线相切./ 16例2:设p>0是一常数，如图，过点 Q (2p, 0)的直线与抛物 线y2=2px交于相弁两点A、B,以线段为直径作O H (H为圆心)， 试证抛物线顶点 。在OH上，弁求当O H的面积最小时，直线的 方程。变式1：设人、B为抛物线y2=2px上的点，且/aob=90,(O为原点), 则直线必过的定点坐标为.变式2：如图所示，F为抛物线y2 =2px(p >0)的焦点，A (4, 2)为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点,PA +|

9、PF的最小值为8。(2)若O为坐标原点，问是否存在点M使过点M的动直(1)求抛物线的方程;线与抛物线交于 R C两点。且NBOC=90"证明你的结论。例3:已知抛物线y2=4x的准线与X轴交于M点，过M作直线与 抛物线交于 A B两点，若的垂直平分线与x轴交于E (xo，0)(1)求X0的取值范围；(2) AABE能否是正三角形？若能，求 小的值；若不能，请 说明理由yjL变式1：已知抛物线y2 =2px(p>0)过动点M (a,0)且斜率为1的 直线l与抛物线交于不同的两点 A B, |AB <2p o(1)求a的取值范围；(2)若线段的垂直平分线交 X轴于点N,求AN

10、AB面积的最 大值。例4 .(理)已知抛物线x2 = 4y的焦点为F,过焦点F且不平行 于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点，抛物线在两点处的切线 交于点M(1)求证三点的横坐标成等差数列(2)求点M的轨迹(3)设直线交抛物线于两点，求四边形面积的最小值(文)设抛物线y 2=2 (p>0)被直线24截得的弦长长为3回(1)求此抛物线的方程；(2)设直线上一点 Q,使得A Q B三点到抛物线准线的距 离成等差数列，求Q点坐标；(3)在抛物线上求一点M使M到Q点距离与M到焦点距离之和 最小.导数在解析几何中的应用例1 痴一,.：一的弦长为4万(D求F的值；(II)过抛物线C上两点&

11、B分另J作抛物线C的切线心若 交于点M求直线AB的方程，例：2：已知过点P(0,-1 )的直线l与抛物线x2=4y交于两点A(xi,yi)、 BY。？li、I2分别是该抛物线在A、B两点处的切线。M、N分 别是li、I2与直线y = -1的交点。求直线l的斜率的取值范围试比较PM|与PN的大小，说明理由。例3过y轴正方向上一点C(0,c )任作一直线，与抛物线y=x2交于A、B两点。一条垂直于 x轴的直线，分别与线段 AB和直线 l：y = _c交于点P、Q。若P为线段AB的中点，求证：AQ为此抛 物线的切线例4：已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l ： y = 2的距离小1 .(I )求曲线C的方程；(II)动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切 点为A、B .求证：直线AB恒过一定点，弁求出该定点的坐标.例5、已知抛物线x2=4y的焦点为F, A B是直线上的两动点， 且AFrFB（九A0）.