大一期末考试微积分试题带答案

1、第一学期期末考试试卷一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置.答错或未答，该题不得分.每小 题3分，共15分.)11 . lim xsin =0.T x2 .设 f (x) = lim (n ；1)x ,则 f(x)的间断点是 x=0.5 nx 13 .已知 f (1)=2,f'(1)= 1，则 d2 xq =.4 dx 一a4 . (xx ) =.5 .函数f (x) =4x3 -x4的极大值点为.二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写 在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.)1 .设f(x)的定义域为(1,2),则

2、f(lgx)的定义域为.A. (0,lg2) B. 0,lg 2 C. (10,100) D. (1,2).2 .设对任意的 x,总有中(x) W f (x) Wg(x),使 limg(x)-邛(x) = 0,则lim f (x).x 二A.存在且一定等于零B.存在但不一定等于零C.不一定存在 D.一定存在.x3.极限 lim e =.x 0 x 1 - 2xA. e2 B. e" C. e D.不存在.4.设 f(0) = 0,A. 0 B. 1(0) =1 ,则 lim f(3x)* f (-2x)= xTtanxC. 2 D.5.5.曲线y=生渐近线的条数为.21 -xA. 0

3、 B , 1 C . 2 D.3.三、(请写出主要计算步骤及结果，8分.)_x求1xm0e -sin x -12sin x四、(请写出主要计算步骤及结果,1求 lim (cosx)x2.x_0 -五、(请写出主要计算步骤及结果，8分.)确定常数a,b,使函数f(x) = !X(SeCX)心X0处处可导. ax b x _ 0六、(请写出主要计算步骤及结果，8分.)12、设 f (x) =xarctan x -ln(1 +x )，求 dy .dy=arctanxdx 2七、(请写出主要计算步骤及结果，8分.)已知x2 -2xy + y3 =6确定y是x的函数，求y”.八、(请写出主要计算步骤及结

4、果，8分.)3 53 2列表求曲线y = -x3 -x3+1的凹向区间及拐点.52九、证明题(请写出推理步骤及结果，共 6+6=12分.)1 .设f(x)在a,b上连续，且f (a) <a, f (b) >b,证明在开区间(a, b)内至少存在一2 .设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (1) =0 ,求证：至少存在一点(0,1)，使得 3 f ,( ) f( ) =0.第一学期期末考试参考答案与评分 标准一、填空题(3X5=15)_xaa.，一1、02、 x=0 3、-44、x x (alnx + 1) 5、x = 3二、单项选择题(3X 5=15)1、C 2

5、、C 3、A 4、B 5 、D三、(8X1=8)limo2 sin xxe - cos x鸣 2x川I川116分exsin x四、（8X1=8）1ln cosxlim xim(cos x)x =e5 xIII川川2分，一inxlim 8sx= eT+ 1| 川 |6 分1= e2川川川8分五、（8X1=8）因为f （x六（g,"）处处可导，所以f （x）在x = 0处连续可导。因为lim x(secx)x'= 0|1川1川2分 x_0 lim ax b = b|IHIIHI3分x.0 -f(x 产"|3|4分所以 b =0 III川1115分又因为所以a xb- 0

6、f- 0 =xl 心f 0=xl ：0六、（8X1=8）f x = arctan x -x 1 - -2x1111川 115分 1 x 2 1 x= arcsin x川IlliH6分dy =arcsin xdx 川|川1|8分七、(8X1=8)2x -2y-2xy 3y2y =0|HH|4分y'=筌*制7分2x - 2 y、y =<-) :2x -3y一 一 一一 一 2 一 一 _.(2x-3y2)2(2 -2y)(2x-3y2) -(2x-2y)(2 -6yy)八、(8X1=8)(1)定义域为_oo, -He J;第5页共5页(2)2y =x31 1 -3 x 332x 1;

7、川H3分3x3令厂0得X1=J'又X2=0为y”不存在的点川川川4分(3)列表:x11 )1 一8 1I 2)_1_2 ,011 2,)0(0*)IF y0+/、存在+y下凹1-目武10上凹1下凹川川1118分Q= 625时利润最大，最大利润为 L(625 )= 1250 8分九、证明题(6X2=12)1 .设 F(x) = f (x)-x，则有 F (x)在a,b上连续，2 分F(a) = f (a) -a <0,F(b)= f (b) b > 0JHHHH 4 分根据零值定理可得在开区间(a, b)内至少存在一点t ,使F (句=0 ,即 f(4=U6分Q1-2J .八2 .设 F(x)=4f(x),则 F(x)=3x f(x)+4f(x)。