多元函数微分法及其应用习题及答案

1、第八章多元函数微分法及其应用(A)1.填空题若z fx,y在区域D上的两个混合偏导数,则在D上,2zoy x(2)函数zf x,y 在点 xo,yo处可微的条件是z f x, y在点xo, yo处的偏导数存在。(3)函数zf x,y 在点 xo, yo可微是z f x, y在点xo, yo处连续的条件。2.求下列函数的定义域(1) z Jx 招；(2) u arccos-=22x y3.求下列各极限sin xy x(2)22、. xy1 cos(x y )lim t；(3) lim -2 22-xy , xy 11xy o (x y )x y334.设 z xln xy ,求 一2z-及z2

2、x y x y5.求下列函数的偏导数y _(1) z arctg -； (2) z x6 .设 z uv2 t cosu ,7 .设 uex y z , x 2 3Jln xy ; (3) u exy z。u et , v ln t ,求全导数。 dtdut, y sint , z cost，求一。 dt22z_L8.曲线z 4,在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少y 4229.求方程与与 a2 b22J 1所确定白函数z的偏导数。 c10.设z ye2x xsin 2y ,求所有二阶偏导数。11.设 zf x,y是由方程- zln z确定的隐函数，求一z, -z。12.设 xyy

3、x dye e ,求。dx13.设 zf x,y是由方程ezxy3 0确定的隐函数，求一x2 zox y14.设 z12ye cosy ,求全微分dz o15.求函数z ln 2 x2 y2在点1,2的全微分。16.利用全微分求2 2.98 24.01 2的近似值。17.求抛物面z x2y2与抛物柱面yx2的交线上的点P 1,1,2处的切线方程和平面方程。2218.求曲面L413上点P 2, 1,3处的切平面方程和法线方程。19.求曲线x4t 3z t3上点M 0 xo,yo,zo ,使在该点处曲线的切线平行于平面x 2y z6。20.求函数fx,yx2 y2的极值。21.求函数fx,ye2x

4、 y2 2y的极值。22.要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸,方便材料造价最省1.求下列函数的定义域2(1) z arcsin x yln ln10 x2(B)x2y2 1 4 x2y22. (1)设 f xy,- xy2,求y, xy。(2)设 f x, yx 2y ,求 f xy, f x, y3.求下列函数的极限limxyxy1;(2) lim ex"7x 0y 01.x2 y2sin e4.设x,y,当(x,y)0,0当x,y0,0问 lim fx 0y 0x, y是否存在5.讨论函数的连续性,

5、其中fx,yxsin x 2yx 2y0 ,x 2yox 2y6.二元函数f x, yxy22x y0 ,X, yx,y0,0在点0,00,0处：连续，偏导数存在;连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。7.2 y zx y ，求一，x8.2x3 3y2* f求 x2f-2 ° x9.2x3,3y2,2z卡f求 z2foz x10.设 zxyf22x y ,xf可微，求dt 。11.设 fxy,yz,xz 0,求二 x12.设 z13.设 zf r cos , r sin 可微,求全微分dz o14.设 zf x,y是由方程f xz, yz0所确定的隐函数，其中

6、f具有连续的偏导数，求dz ,并由此求二和二。x y15.求 z2 xyy的偏导数。乂16.设 2xdx,求一1 dzdy,一°dz317.设 u exyz,求一二。 xyz18 .求函数u19 .求函数uxyz在点5,1,2处沿从点5,1,2到点9,4,14方向的方向导数。2一 一2一 一2,在点 M 1,2, 2 沿 X t，y 2t，z 2t 在此点的 xyz切线方向上的方向导数。2220 .求函数u 史x一也在点P处沿方向n的方向导数。 z21 .判断题：(简单说明理由)(1) 士义 就是f x,y在h,y0处沿y轴的方向导数。yMy。(2)若f x,y在x0,yo处的偏导数

7、,f 存在，则沿任一方向l的方向导数均存y y在。22222 .证明曲面x三y3 z3 4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。23 .证明：球面12: x2 y2 z2 1上任意一点a, b,c处的法线都经过球心。24 .求椭球面3x2 y2 z2 16上的一点 1, 2,3处的切平面与平面z 0的交角。25 .设u, v都是x, y , z的函数，u , v的各偏导数都存在且连续，证明：26 .问函数u xy2z在P 1, 1,2处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。22227 .求内接于椭球面 一 彳 彳1的最大长方体的体积。a b c28 .某公司通过报纸和电视传

8、媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广 告费x及电视 广告费y (单位：万 元)之间的关系 有如下 经验公 式:R 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2,在限定广告费为万元的情况下，求相应的最优广口束帽029 .求函数f x,y ex y的n阶麦克劳林公式，并写出余项30 .利用函数f x,y xy的2阶泰勒公式，计算1 11.02的近似值(C). xy1.证明limx 022y 0 x y2.设fX, y |x y|x,y ,其中 x,y在点0,0 ,邻域内连续，问(1) x, y在什么条件下,偏导数fx 0,0,fy 0,0存在；(2) x, y在什么条件下，f

9、 x,y在0,0处1.填空题可微。3.设yf x,t而t为由方程 x, y,t0所决定的函数，且 x,y,t是可微的，试求曳。dx4.设zz x, y由 z ln zX t2eydti q ,、2t0确定，求一-o x y5.从方程组x2 yx1 中求出 Ux, vx, ux2, vx2。6.设 z uaxx, y e20, x y试确定常数a , b ,使函数z z x, y能满足方2程：一二x y x7.证明：旋转曲面f Vx2 y2 (f 0)上任一点处的法线与旋转轴相交。8.试证曲面.x , yz'z <a ( a 0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。9.

10、抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。10.设x轴正向到方向l的转角为，求函数fx,y x2 xy y2在点1,1沿方向l的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于00第八章多元函数微分法及其应用(A)若z f连续，则在D上,2x,y在区域D上的两个混合偏导数 x y2zoy x(2)函数zf x, y 在点 xo, yo处可微的必要条件是zf x, y在点xo, yo处的偏导数存在。(3)函数zf x, y 在点 xo, yo可微是z f x, y在点xo, yo处连续的充分条x,y |x o,y o,x2y ,

11、如图 1 所示(2) u0,即x, y不同时为零，且1,件。2 .求下列函数的定义域解：设定义域为D,由 y o和 x yy o ,即 xy 0 xy 1 1zarccos22x y解：设定义域为D,由、/2 ，日y ，行x,y,z |z222x y ,x3 .求下列各极限(2). xylim解：原式 limx o y osin xy y xy解：原式limx o y oxy( xy 1 1)(.xy 1 1)( xy 1 1)lim xy 1 12y o22、1 cos(x y )1222-2-(x y )x y2222x y.224x y2 x y2 sin -解：原式 lim 22-x

12、022y o x y 2334.设z xln xy ,求一-及今 x y x y解：一z In xyxx - ln xy 1 xy3 z-2x yo,2z y12一，x xy x2.3z x 1 z 1一，2-2x y xy y x y y 5.求下列函数的偏导数(1) z arctg xd2解：-二一工Ex y x x x y y 1x类似地二一J y-x2x 1 y y x x yx z ln xy解：In x In y x x1 1 1 12 Inx In y x 2x In xy同理可证得:z 1y 2y Jn xy2 3 xy ze解：- xxy2z3e x2 3 xy z2 3 x

13、y2z3 y z e2xy ze y2 3xy z3 xy2 z32xyz e2 3xy ze2 3xy z z23xy2 xy2 z3 z e6.设z2 uvt cosu ,v ln t ,求全导数生。dt解： uzuv2 tcosuv2tsin u一 uv2 tcosu v2uv依复合函数求导法则,t全导数为cosudz dtdu z dv出 v出7.设u解：du8.曲线解： xln2tex ytt sin u ettsin eu dxx出u dyy出2et sint2x429.求方程今 a2 y b2z dt t dt 12uv 一 t2 te tcosuIn tt cosesin td

14、u求。dtu dzz dtcost ex sin t在点(2,4,5)处的切线对于X轴的倾角是多少1 tg ,故2,4,52 z2 c1所确定白函数z的偏导数。解：关于X求导，得到2x 2z22a czx 0 ,即 zx2c x2a z关于y求导，有2y b22c y.2°b z10.设2xye xsin 2 y求所有二阶偏导数。xy解：先求一阶偏导数，得z2x .八一 2ye sin 2y , xz e2x 2xcos2 y y再求二阶偏导数，得2z2 x2x . 八2 ye sin 2y2x4ye ，2ye2x sin 2 y2e2x 2 cos2y,2x e2xcos2y2e2

15、x 2cos2y ,2 z-2 y2x一 ey2x cos2 y4xsin2y11.设 zf x,y是由方程lnW确定的隐函数，求 y解一：记Fx当Fzx, y,zFy0时,解二：（提示）得二z2yFzz-2x使得- xFxzx22zF2Fzyx z2 z2zoy x z直接对方程- z此且两边求偏导数，并明确z是x、y的函数，即可 y12 .设 xy ey ex,求包。 dx解：令 F x, y xy ey ex,贝U Fx ydyFxy exydxFyx e13 .设z f x,y是由方程ez z xy3解：方程两边对x求偏导数，有ez z y3。，即 ex x3解得 -上x 1 e类似地

16、，方程两边对y求偏导数，«ex, Fy x ey ,则20确定的隐函数，求二，二，一-x y x y1 y30xc 2z 3xyzy 1 e再求二阶混合偏导数，得3y2 1 ezez2把上述上的结果代入，使得：y22z 23 zz 3y 1 e xy ez°x y1 ez、i、，2. . r . ,14.设z ye cosy,求全微分dz。解：由于一 2xyex , xyex2sin y ,所以全微分为z . z ._x2 .x2.dz - dx - dy 2xyex dx exsin y dy。x y15.求函数z In 2 x2y2在点1,2的全微分解：卫x 1,22x

17、2_zT 22-，2 x y 1,27 y 1,22y222 x y1,29一,24所以 dz dx dy。7716.利用全微分求, 2.98 xFx x, y, z 二，4.01 2的近似值。解：设 z vx2 y2 ,贝全微分 dz X x y y 2222x y X y由近似关系z dz,得22-22xyx xyy x y_22 x 22yx y x y上式中取 x3,x0.02, y4,y 0.01 ,得2.98 24.01 2. 32 42 20.0240.01.324232425 0.012 0.008 4.99617.求抛物面因此，所求近似值2 2.98 24.01 2 4.99

18、6。y2与抛物柱面yx2的交线上的点P 1,1,2处的切线方程和平面方程。解：交线方程2 x2 x2 ,只要取x作参数，得参数方程:y则有dx 1dxx,2x ,2 xdydx2xdz 2xdx4x3 ,于是交线在点P 1,1,2处的切线向量为T 1,2,6。切线向量为言法平面方程为x0,即 x 2y 6z 15 0。218.求曲面43上点P 2,1,3处的切平面方程和法线方程。Fy x, y,z2y , Fz x, y,z解：记 F x, y, z于是曲面在点P处的法线向量为nFx 2, 1,3,Fy 2, 1,3,Fz 2, 1,31, 2,2y32 2从而，切平面万程为1x2 2 y 1

19、- z 30,即x2y-z6 0,法线3 3方程为U 二 122 319.求曲线x 4t y t2 z t3上点M 0 X0,y0,Z0 ,使在该点处曲线的切线平行 3于平面x 2y z 6。解：曲线在点M0 x0,y0,z0处的切线方程为x x。y y0 z z0x t°y t0 z t0又切线与平面x 2y z 6平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有422x t0 1 y t0 2 z t0 1 0,即一4t0 3t0 0,得 t033所以M0点的坐标为8,4,。9 92720 .求函数f x, y 4 x y x2 y2的极值。九 x, v 4 2x 0解：解万程组，

20、求得驻点2, 2 ,由于Afxx 2, 22 0,fy x,y 4 2y 0，B fxy 2. 20 , C fyy 2, 22 , AC B20 ,所以在点2, 2处，函数取得极大值，极大值为f 2, 29。21 .求函数f x,ye2x x y2 2y的极值。i2x _2解：解方程组fxy e2X2x 2y 4y 10,得驻点1, 1 。由于fy x, y e 2y 202A fxx x, y 4e2x x y2 2y 1 , B fxy xy 4e2x y 1 , C fyy x, y2e2x 在点111, 1处，A 2e 0, B 0, C 2e, AC B2 4e2,所以函数在点 1

21、, 1处取得 22极小值，极小值为f 1, 1-02222.要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省解：设水池的长为x米，宽为y米，高为z米，则材料造价为u 20xy 16xz x y ,(x 0, y 0,z 0) , <*1>xyz10,<*从*2解出z10代入<*1>,得u xy20xy 160 x0),于是问题就成0时的最小值,由极值的必要条件，有20y20x1602x160-2y0；0.解此方程组得x y据题意存在最小造价,x是唯一驻点，所以当2, y52 z

22、:时，水池的材料造最小。(B)1.求下列函数的定义域(1) z arcsin2x y ln ln 104y2解：设定义域D o 使 arcsin x有意义的区域为:，即1y2 1,y2 1,使 ln ln 104y2有意义的区域为：10 x24y24y29x, y | y故定义域D 1x2 y24 x2解：设定义域为Do由根式性质可知，必须0,且 4 x2 y2 0 ,即y2 122,0Tx y 1或04 x2y20解得:022D x, y |1 x y 4。如图 302.xyx解：设uvv1 v则得f x y,由此u,vuv1 vu2 11 v从而x, yx y,xy1 xy xy3.(2)

23、设 f x, y解：f xy, f x, y求下列函数的极限2 x22y,xyy2求 f xy, f2f x,yx, yxy 2 x 2y2x 4y xy.lim 1x y解:原式 lim x ylim ex x 0 y 01y2 sin解:原式lim12 x ysin e122ex y4.设fx,yxy2 y0 ,解：取沿直线,当(x,y)当x,yx的途径，当P0,00,0x, y问 lim fx, y是否存在0,0时,lim f x, y y xx 0lim沿抛物线lim_ f x, yy xy 01,Vx的途径，当P. x x lim y x x xx 0可见，沿两条不同的途径,5.讨论

24、函数的连续性,解：在0,0 处，xim0fy 0x, y0,0 时,x, y若x°2yolim fx 2yx xqx, ylim x 0 x31函数的极限不同，故极限lim f x, y不存在。x 0y 0其中f x,yx, ylimx 0y 0sin x -在0,0处连续lim xx 2 yx xqsin x 2y 八 2y0xsin x 2yx 2y0 ,x 2yx 2y2x2xf 0,0xOf x0,y0因此，间断点为直线x 2y,除0,0以外的其他点xy6.二元函数 f x, y x2 y2 0 ,X, yx,y0,0 ,在点0,0处：连续，偏导数存在;0,0连续，偏导数不存

25、在；不连续,偏导数存在；不连续，偏导数不存在。解：应选事实上，由于limx 0y kx 0xy2 yk1 k2随k的值不同而改变，所以极限不存在，因而f x, y在点0,0处不连续,fx 0,0limx Ix 0x 2 020 ,类似地fy 0,00 ,所以 xf x, y在0,0处的偏导数存在。7.设z解：令uy,于是v 1 vu2xyuvln u 0 2xy8.设u解： x9.设u解： zv 1vuf 2x36x2 fln u 13y22x32 yx y ln 12z3y2f 2x3,3y2,2z2fz x2z ，12x2 f312f2 x2f-2" ° x2fo z

26、x12xf 36x4 ff可微，求dt 。22y ,x10.设 zxyf x解:dzdxx-dy,y先求yfxyf12x f22xxfxyf12y f22y所以dzyf2x2y fif2yfxfdx11.设 fxy, y z,xz解：关于x求导，而zFi yzF2 F3xFiF3 z F2yFi 2F3F2相仿地,可得 yF212.设0,解：令dz13.设_2-2x y f12_2xy f1xf 2 xy20,求二, xFsx xxF1oF2 xF3求dzf1f2 dy 0(*)xxzzxlnyziny 'z 1zyx 1 z Ixz y In ydx dy ,于是在 1,1,1 处

27、dzdy oz f r cos,r sin可微，求全微分dz o解：dz df r cosr sinf1d r cosf2d r sincos drr sin df1sin dr r cos d f2f1 cosf2 sindrf2 cosf1 sinrd 014.设z fx,y是由方程fx z,yz0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导 数，求dz,并由此求-z和-z。解：方程两边求全微分,f1d x z f2d yzf1dx f1dz f2 zdy udz 0 ,即f1dx zf2dyfiyf2 dz。，当 iyf20时，解出dzfiJdxyf2zf27dyf1yf2由此得到f1f1yf2

28、zyf1zf2oyf215.求 zy2 xy的偏导数。解：令uy的复合函数。v 1vu于是,v 1 vu2x uvlnuxy2x2yy Inv 1vu 2yuv In u xxy2xy222x yxln16.设 x2 xdydzdx，求一，dz解：所给方程组确定两个一元隐函数:y z ,将所给方程的两边对z求导，得dx dy d 1dz dzdxdy小2x2y 2zdzdz112x 2y2 y z0的条件下dxdz112z 2ydydz112x 2zD17.设 uxyze ，解： xxyzyzexyzyexyz z exyz xyzexyzxyz exyzxyzxyz e zxye z 1xy

29、z exyzxy2 2 2 xyz3xyz xyze18.求函数xyz在点5,1,2处沿从点5,1,2到点9,4,14方向的方向导数。解：L 9 5,4 1,14 24,3,12|L| 13,cos13cos13cos12o13因为十-cos xu一 cosyu -cosz4 yz 133一 xz1312一 xy135,1,2213A10121398o1319.求函数u 2 x22 在点 M 12 2 沿 x J y 2t2，zx y z2t4在此点的切线方向上的方向导数。解：因曲线过M 1,2, 2点，所以t°1 , x t01, y t。4, z t08,切线的方向余弦为1,4,

30、又uxuz8272272272y2 y892 z2 32 z类似地,uy227，16o24320.求函数u6x2 8y2在点P处沿方向n的方向导数。解：gradu则 u8y6xz； 6x 8y2 P8,148y22 c 2 x 8y-2z,14gradu n0 ,曲面的外侧法线向量为煮工,疝房2,3121 .判断题：（简单说明理由）fx,yyxo,y0就是f x, y在x0, yon 4x,6y,2z P 2 2,3,1117处沿y轴的方向导数。解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。若f x, y在x°, y°处的偏导数,存在，则沿任一方向l的方向导数均存y y解：错。

31、由于偏导数仅刻画了xo,yo处沿任一方向的变化率,22222.证明曲面x y3 z32 32 3证：令 F x, y, z x yf x,y在xo,yo处沿x轴或y轴的变化率，要确定函还应要求此函数在 Xo, y。处可微。4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常z234zr o由于曲面Fx, y,z0的法向量是Fx,Fy,Fz ,故曲面上任一点x, y,z处法线方向向量为2x；2y331213,-z 33,设 X,Y,Z为点x, y, z处切平面上任一点，则切平面方程为23y2 -y -z 3 Z3111x 3X y 3Y z 3Z 4,其截距式为X14x 3Y14y 3Z14z 3由此

32、得截距的平方和为:2 32 32 316 x y z164 6423.证明：球面三:y2 z2 1上任意一点a, b, c处的法线都经过球心。证：令 F x, y, zy2z2 1 ,则 a,b, c E ,a,b,c2x a,bc 2a，2y a,b,c 2b， a,b,cz2z a,b,c 2c,法线方程为: a,b,cx2aa丁 黄，于是任一法线都过原点。24.求椭球面3x2 y2 z2 16上的一点1, 2,3处的切平面与平面z 0的交角。解：设 F x, yz 3x2 y2 z2 16,则法向量为 Fx 6x , Fy 2y , Fx 2z ,在1, 2,3处的法向量n6, 4,62

33、 3, 2,3 。又平面z 0的法向量n10,0,1 ,由平面夹公式:cos3 02 0 3 11,(3) ( 2) 32、12原即3 arccos2225.设u , v都是x , y , z的函数,u, v的各偏导数都存在且连续，证明:rgad(uv) vgradu ugradv。证：graduvuv .vu Ixxv yu vzu kzu. vI xuv. v . vk u I j kzx y zvgradu ugradv26.问函数u xy2z在P 1, 1,2处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最 大值。解： graduux,uy ,uzy2z,2xyz, xy2gradu 2,

34、4,1是方向导数最大值的方向。1, 2,2grav'242 12 幅 是此方向导数的最大值。22227.解:求内接于椭球面 yr zr 1的最大长方体的体积。a b2 c2设P x, y,z是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为:V 8xyz ( x 0, y 0, z 0) (* 1)222由于P x, yz在椭球面上，故x, y , z应满足条件：-zy 1,于是问题即求函 a b c数（*1）在约束条件（*2）下的条件极限问题。引入L 函数222x y z .F x, y,z, 8xyz r 1a b c2 xFx 8yz 0, (1) aFy8xz§

35、0,(2)bFz8xy学0,(3)c222Fxr93 1 0 (4)a b c得：8xyz 2 ,得唯一解:3abcx W' y 73' z 而由题意，所求的最大体积存在故以点a b c ,3,3,3）为一个顶点所作的对称于坐标面的内接于椭球面的长方体的体积最大0最大体积为V 8abe8abc.33 .3928.某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y （单位：万元）之间的关系有如下经验公式:R 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2,在限定广告费为万元的情况下，求相应的最优广 口束岭T。解；作 L 函数：Fx,

36、y,z 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2 x y 1.5Fx 13 8y 4x 0令 Fy 31 8x 20y0F x y 1.5 0得 2x 6y 9,得唯一解：x 0, y 1.5。x y 1.5又由题意，存在最优策略，所以将万全部投到电视广告的方案最好。29.求函数f x,y ex y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。解：f 0,01 , fx 0,01 , fy 0,01 ,同理 f mvn m 0,0 ex y 1 ,所以x y0,0122x y 2! x 2xy y1nn x y kx yRn -Rn其 中n!k 0 k!Rn工e xy (0 Dn 1 !30.利用函数

37、f x, yxy的2阶泰勒公式，计算1 11.02的近似值解：在点1,1处将f x, yxy展开成三阶泰勒公式:f 1,11, fx 1,1yxy 1 1,11，fy1,1 xy 1nx 1,10,fxx 1,1 y y 1 xy 2 1,10 ,fxy 1,1fyy 1,1 xM*/0所以 f x, y f 1 x 1 ,1 y 1xy 1 x 11c， ，一2 x 1 y 1R22!故 1 11.021 0.1 0.1 0.021.102。(C)证明：因为x2 y2 2dxy ,即|xy|所以22x y2.x2y20,取 2当0 xx2 y2时，就有22x y _22所以lim xy,0O

38、 x 022y 0 x y2 .设 f x, y | xy | x,y ,其中 x,y在点0,0 ,邻域内连续，问(1) x, y在什么条件下，偏导数fx 0,0 ,fy 0,0存在；（2） x, y在什么条件下，f x,y在0,0处可微分析：从定义出发，进行推演f 0 x,0 f 0,0解：（1） lim -ximxf 0 x,0 f 0,0xx x,00lim x 0 xlim x,0x 0limx 00,0x,00,0lim f 0,0 y f 0,0y 0yyim0y 0,ylim 0, yy 00,0limy 0f 0,0 y f 0,0ylimy 00,y0,0若0,00,则偏导数

39、fx0,0fy 0,0存在，且fx0,0fy 0,0I xx2y|2 yx,0 y f 0,0 y I x, yI x| I y| 2r22-，x y故若 0,00,当x20时，有f fx Q0 x所以当fy 0,0 y2yx y x, y3.设yf x,t而t为由方程x, y,t 0所决定的函数，且x, y,t是可微的，试求曳。dx分析：可依隐函数求导法则求出dyodx解；由y f x,t ,得dyff dtdxxt dx由 x, y,t 0 ,得一 一 dy - .dt 0 (2) x y dx t dx将(2)代入(1),得_dydyffx y dxdxx t tf f x t t x

40、o f7% T4.设 z z x, y 由 z ln zx 2.、et dt 0确定,y求上。x yx . 2解：对z In zet dt 0两边关于x求导，得yz1 z0,exz x2 x解得：三 x z 1原式两边对y求导,解得2 ze yz 1(2)x2 ez 1(1)式两边对y求导得x2z x2.一 e z 1 ze y以(2)式代入即得:zex5.从方程组2x中求出1Ux，vx，Ux2 , vx2。解：将u , v看作z的函数,将方程组对x求偏导，得uxVxu uxV Vx0 (*)解得uxVx再将方程组（*）对x求偏导数，得ux2 Vx21 u2解得:6.设Vx2ux22VxVVx2x, y解：- x2 uxV2Vx uax e2Vx2x VV u u2u xV