福建省师范大学附属中学2020届高三数学上学期期中试题理

1、福建省师范大学附属中学2020届高三数学上学期期中试题 理试卷说明：(1)本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。(2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。第I卷(选择题，共 60分)一、选择题：每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1 .已知集合 A x| 1, x 10,集合 B x|lg x, 1,则 AI BA. x| 1 x 10B. x| 1 x 10 C. x|0 x 10D. x|0 x 10r r r rr r rr r2 .若非零向量a, b满足|a| |b| ,向量2a b与b垂直，则

2、a与b的夹角为A. 150B, 120C. 60D. 30°0.213 .已知a 2 b c 2log52 ,则a，b，c的大小关系为 2A. bacB. cabC.cba D. bca4 .周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 ,前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为A. 1.5 尺B, 2.5 尺C, 3.5 尺D. 4.5 尺5 .设an是首项为正数的等比数列，公比为 q,则“ q 0”是”对任意的正整数 na2n 1a2n0

3、 的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6 .若 sin aA.3B.C.47.己知某函数图象如图所示,则此函数的解析式可能是e” 1A. f (x) x sin x e 1B. f(x)xexesin xxe 1C. f (x)xcosxe 1D. f(x)x1 ex x1 ecosx8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝，一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种

4、是顶角为 108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金 ABC中，型 YL.根据这AC些信息，可得sin234B.C.D.4 .5829.若x, y满足约束条件2y3y目标函数z ax y仅在点（2, 0）处取得最小值,则实数a的取值范围是2x/ 1 、/ 1、B. (- - ,0) U (0,)c 1 1D- ( 3,2)3uuv uuvuuu10 .已知平面向量PA,PB满足PAB. ,3uuuuuv uuvPB 1,PA PBC.2 111 .已知函数 f2 x cos2.3 .sin2内没有零点，则的取值范围是A。0,12B.0,152

5、5 11,6 12C.12 .设函数f2 xax +e (围是八eA.e,一2B.uuvBC 1 ,则D.0,x R).若函数f0,5D.a R）有且仅有两个极值点为，x2（ x1c. e,（非选择题，共 90分）uuvAC的最大值x在区间0,1；x2）,则实数,21112a的取值范ceD.e,一213.边界在直线x e,y x及曲线y二、填空题：每小题 5分，共20分.1 ,一上的封闭的图形的面积为x14 . 16至17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来数学家欧拉发现了对

6、数与指数的关系，即ab = Nb=logaN .现在已知2a=3, 3b=4 ,则ab15 .海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产” 我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口径A, B两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C , D ,测得 CD 80, ADB 135 , BDC DCA 15 ,ACB 120 ,则A, B两点的距离为 .216 .已知数列an的前n项和为Sn （ n N ）,且满足Sn Sn 1 2n n ,若对-.*， - bn N ,an an 1恒成立，则首项a1的取值范围是 .721题为必考题,三、解答题：共70分

7、。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求少 （一）必考题：共60分。,6一 一b ， sin B V6sinC .617. (12 分) 已知4ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,满足a c(1)求cos A的值;花(2)求 sin 2A 一 的值.618. （12 分）已知数列 an的前n项和为Sn, 2Snn 2 an 1 .（1）求数列 an的通项公式；1*（2）设bn-2n N ,数列bn的刖n项和为Tn ,证明：Tn1 .4an19. (12分)如图，在 ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c ,

8、 a b sinC cosC .(1)求角b的大小；(2)若a ,D为 ABC外一点，db 2,DC 1，求四边形 ABDC面积的最大值 220. (12 分)已知数列an满足：2n 1ai 2n 2a2 L2an i an n, n N *(1)求数列an的通项公式;若数列bn满足：b1 1 , bn 1 bn2n an ,求数列bn的通项公式21. (12 分)1 2已知函数 f(x) -x (a 1)x a In x, a R.2(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a 0时，记f(x)的最小值为M ,证明：M1315(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

9、则按所做的第一题计分。22.选彳4-4:坐标系与参数方程(10分) x1 t cos一在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0),以坐标y 2 tsin原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为26 cos 8 sin 21 0,已知直线l与曲线C交于不同的两点 A, B.(1)求直线l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；.、一22(2)设P(1 , 2),求PA PB的取值范围.23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知函数f (x) x 1 x 3 .(1)解不等式f(x), x 1 ；2 h2(2)设函数f(x)的最小值为c,实数ab满足a 0

10、, b 0 , a b c,求证：_a_1.a 1 b 1评分标准、选择题:题号123456789101112答案CBCBCCACADDB、填空题:e 31313. 14.215.807516.( )24, 4三、解答题：17.解：(1) . sinBJ6sinC.由正弦定理得，b J6c, 2分-6-b,a=2c,64分,由余弦定理知,cosAb22226c c 4c(2)二.由(1)2bc_3_2 /64知，cosAq.A为三角形内角，2：10sinA V1 cos A ,415 .sin2A=,42 一 . 2cos2A= cos2A - sin A - 9 分4sin 2A = sin

11、2Acos cos2A sin 3ds666812分18.解：因为2s n 2 an 1所以当n 1时，2G3al 1,得 a1=1.当 n 2 时，2Sn 1 n 1 an 1 1 -得，2an (n 2)an (n 1)an 1 3分an 1 nanan 1a3 a2一 an a1an 1 an 2a2 a1, n 1a1二1符合上式.故an 2n_J212分 Tn BD DCsinD 219.解:(1)在ABCsinCcosC . . sinA sinBsinCcosC ,sin B CsinBsinC cosCcosBsinCsinBsinC, sinCcosB sinB ,即 tan

12、B 1 , B 0,(2)在 BCD 中，BD2,DC1,BC212 22 2 1 2cosD4cosD则ABC为等腰直角三角形,S ABC11-BC - BC225 cosD, 4又 S BDCsinDSABDC5 cosD sinD 45 . 2sin D411分时，四边形ABCD的面积最大值,最大值为-2412分20.解：(1) n 1 时 a11n 12 a1-n 22 a22an 1 an n d-n 22 a1-n 32 a2-2x anai 1满足上式,故anbi bn1 bn_1bn1 1 221.2nb2 b3bib2bnbn 1222223-得bn1满足上式，故bn(1)所

13、以当a因为fx+ a0时,的定义域为当a<0时，若0<x< a时,若 x> a时，f x >0, f综上，当a 0时，f x当a<0时，f x在0,(2)当 a<0 时,1)f x minx In22 12n 5.0,在0,<0,a,21222n 1累加整理n 2n4 n 2n 5 n 212分f x在0, a单调递减;在0, 单调递增;a上单调递减，在知,2.a aln a,x< 0，则 h x单调递增.a,单调递增.1 x八 一<0,xx所以h x在 ,0单调递减,1 ，一 -1<0,所以存在 eX01e,使得hXoXoln

14、Xo0,所以当,Xo时,>0,g X单调递增;Xo,0时，g<0,单调递减;所以当X X0 时，g取得最大值,因为12X0X0X°lnX012一X0X022X012X0X0X01、,e-单调递减,e所以x<1213 一13,所以g15X013< 一,15因此当a<0时,X min13 一，即15s 13M1512分22.解：(1)因为tcostsin所以Xsinsint cos sinycos2cost sin cos,两式相减可得直线l的普通方程为Xsinycossin2cos0.因为x cossin所以曲线C的直角坐标方程x22y 6x 8y 21(

15、2)将直线l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程,整理得关于t的方程：t2 4(sin cos )t 4 0.因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为t1, t2，则 t1 t24(sin cos ),付2 4.5分并且 16(sin cos )2 16 32sin cos 0,注意到0，解得0-. 6分因为直线l的参数方程为标准形式，所以根据参数t的几何意义，有 PA|2 |PB |2 ti2 t22(ti t2)2 2tit216(sin cos )2 816sin2 8, 8分因为 0 万，所以 sin 2(0,1,16sin 28 (8,24.因此|PA|2 |PB|2的取值范围是(8,24 10分23.解：当xcl时，不等式可化为 4 2