空间向量在立体几何中的应用(重点知识+高考真题+模拟精选)

1、空间向量在立体几何中的应用【重要知识】一、求平面法向量的方法与步骤：1、选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如 ab,aC2、设坐标：设平面法向量的坐标为n (x, y,z)n AB 03、解方程：联立方程组，并解方程组n AC 04、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其他坐标二、利用向量求空间角：1、求异面直线所成的角：设a,b为异面直线，点 A,C为a上任意两点，点 B, D为b上任意两点，a,b所成的角AC BD为，贝U cos AC BD【注】由于异面直线所成的角的范围是：090 ,因此cos 02、求直线与平面所成的角：设

2、直线l的方向向量为a,平面 的法向量为n,直线l与平面 所成的角为，a与na n所成的角为，则sin cosra n【注】由于直线与平面所成的角的范围是：090 ,因此sin 03、求二面角：8kI. I设m分别为平面， 的法向量，二面角 l 为 ，则 5,% 或*n1,n2 ,其中 cos “，”r三、利用向量求空间距离：1、求点到平面的距离*一AB n设平面 的法向量为n , A , B ,则点A到平面 的距离为 n2、求两条异面直线的距离设11,12是两条异面直线，n是公垂线段 AB的方向向量，C,D分别为11,12上的任意两点,CD n则11与12的距离为AB【重要题型】1、( 201

3、2广东，理)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，点E在线段PC上，PC 平面BDE(1)证明：BD平面PAC(2)若PA 1,AD 2,求二面角 B PC A的正切值2、(2013广东，理)如图，在等腰三角形ABC中， A 90BC 6, D,E分别是AC, AB上的点，所示的四棱锥A(1)证明：A O(2)求二面角ACD BE J2,O为BC的中点。将 ADE沿DE折起，得到如图BCDE ,其中 AO J3。平面BCDECD B的平面角的余弦值牌超盅3、(2009广东，理)如图，已知正万体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的

4、中心，点F,G分别是棱CiDi、AAi的中点，设Ei,Gi分别是点E,G在平面DCCiDi内 的正投影。(1)求以E为顶点，以四边形 FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG1 平面FEE1；(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值。4、(2013课标，理)如图，直三棱柱ABC A1B1cl中，D,E分别是AB, BB1的中点,AAiACCB AB2(1)证明：BC1/平面 A1CD；(2)求二面角 D A1C E的正弦值.5、(2012辽宁，理)如图，直三棱柱 ABC ABC , BAC 90 , AB AC AA ,点M , N分别为A B和B

5、C的中点(1)证明：MN 平面A ACC ；(2)若二面角 A MN C为直二面角，求 的值.6、（ 2010 辽宁,理）已知三棱锥P ABC中，PA1 PA AC AB 2(1)证明：CM(2)求SN与平面N为AB上一点，AB 4AN , M ,S分别为PB, BC的中点。SN;CMN所成角的大小(1)证明：EB FD ;7、(2010广东，理)如图， 6 是半径为a的半圆，AC为直径，点E为 7 的中点, 点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB FD J5a ,FE .6a(2 )已知点Q,R分别为线段FE ,FB上的点，使得一22FQ-FE ,FR-FB,求平面BED

6、与平面RQD所成33面角的正弦值.8、(2013汕头高二统考，理)在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD , ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA AB 4 , CDA 120：,点N在线段PB上，且PN ,2 .(1)求证：BD PC;(2)求证：MN/平面PDC;(3)求二面角 A PC B的余弦值.1、(1)证明：PA 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, PA BD又 PC 平面 BDE , BD 平面 BDE , PC BDPA PC P, BD 平面 PAC(2)解：BD 平面 PAC , AC 平面 PAC , BD AC矩形ABCD是正方形建立如图

7、所示的坐标系 A xyz,则A(0,0,0), P(0,0,1), C(2,2,0), B(2,0,0)AP (0,0,1) , AC (2,2,0)BP ( 2,0,1), BC (0,2,0)设平面PAC的一个法向量为n1(x1, y1 ,z1)AP niAC n1乙 0即1111 111 111 2 22x1 2 yl令 X11,则 y11,乙 0,即 n1(1, 1,0)设平面PBC的一个法向量为n2 (x2,y2,z2),则 BCn2 0,即 y20BP n2 02x2 z2 0令 x2 1 ,则 y20,z22,即 电 (1,0,2)-' ! n1n2110cos n1 ,

8、 n2-, .3.1010n1n22510设二面角B PC A的大小为 ，则cos上10 , sin10tan 32、(1)证明：连接OD,OE由图得，OC 3, AC 3.2, AD 2 2在 OCD中，由余弦定理可得,222OD2 OC2 CD2 2OC CD cos45由翻折的不变性可知， AD AD 2 2AO1 22 OD2 AD2, AO OD同理可证，AO OE又 OD OE O, AO 平面 BCDE5 ,即 ODJ5(2)解：以O点为原点，建立空间直角坐标系O xyz如图所示则 A(0,0, ,3),C(0, 3,0),D(1, 2,0)设平面A CD的一个法向量为n(x,

9、y, z),则CA nDA n3y .3z 0即)x 2y . 3z 01,z 加，即n (i, 1,画由(1)知，OA(0,0, J3)为平面CDB的一个法向量cosn,OAn OA.15OA3.55即求二面角ACD B的平面角的余弦值为,1553、(1)解：依题意得,EEi 平面DCC1D1,且四边形FGAE在平面DCCiDi内的正投影为四边形FG1DE1点E是正方形BCCiBi的中心， EEi 1SFG1 DE1SDCC1D1S FD1GlS E1clFS DCE1所以 CA (0,3, V3), DA ( 1,2j3)22 112故所求的四棱锥的体积为 VE FCDE SFEDG EE

10、1 -21-i i 3 iL>j33(2)证明：由(1)知，E1C1F与 GiDiF都是等腰直角三角形G1FE190 ,即 FG1 FE1又 EE1 平面 DCC1D1, FG1 平面 DCC1D1, EE1 FG1EE1 FE1 E1 , FG1 平面 FEE1(3)解：以D为原点，DD1，DC,DA分别为z轴，y轴，x轴的正向，:DD，为1个单位长度，EAcossin4、(1)，则 E(1,2,1),F(0,1,2),Gi(0,0,1), Ei(0,2,1) ,A(2,0,0)(1, 2, 1)EA, E1GlEA, E1G1证明：连接EG(0, 2,0)EA E1GleA E1G1

11、1(；)2 3,33ACi交AiC于点F ,则F为ACi中点又D是AB中点，连接DF ,则BC1 / DFDF 平面 ACD , BC1 平面 ACD,BC1 /平面 A1CD(2)由 AC CB "AB 得，AC BC2以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz ,设CA 2 ,则D(1,1,0), E(0,2,1), Ai(2,0,2),CD (1,1,0), CE (0,2,1),鬲(2,0,2)1-设n1(x1, y1，乙)是平面A1CD的法向量，则n1 CDn1 CAXi2x1y102Zi 0可取n1(1, 1, 1)(x2, y2,z

12、2)是平面A1CE的法向量，则n2CE0 ,即2y2Z20&CA102x22Z20从而cosn1，n2n1&3同理，设n2可取 n2(2,1, 2)nin23,故 sinn1,n23,63即二面角DA1CE的正弦值为Y635、(1)证明：连接AB , ACn1 AMn1 MN0得,三棱柱ABC ABC为直三棱柱， M为A B的中点M为AB的中点又 N为B C的中点MN/ACAC 平面 A ACC , MN 平面 A ACCMN /平面 A ACC(2)以A为坐标原点，分别以直线 AB,AC,AA为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz,如图所示：设 AA 1 ,则

13、 AB AC于是 A(0,0,0), B( ,0,0), C(0, ,0)A (0,0,1), B( ,0,1), C(0, ,1)1、因此，M (,0, ) , N( , ,1)222 2设n1 (x1, y1,4)是平面A MN的法向量,同理，设n2 (x2, y2,z2)是平面MNC的法向量,工& NC由n2 MN0得,-x2- y222Z20,可取n2(3, 1,)y2- Z2022A MN C为直二面角吊n20,即 3 120,解得J26、(1)证明：设PA 1,以A为原点,AB,AC, AP分别为x, y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：- _11-则 P(0,0,

14、1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1Q2),N(5,0,0)c 1S(1,2,0)1 -CM (1, 1,2),SN (一一一 11由 CM SN11 c、,0)2 2(2)2 21NC ( -,1,0)20可知，CMSN(x, y, z)为平面CMN的一个法向量NC 0 /日. 得,CM可取(2,1, 2)设SN与平面CMN所成角为sincosn,SNSNn SN457、( 1)证明：EBFE2EBE为 ADFB2 FB的中点,EB2又 FBADEBFD平面BDFEBAB BC , AC为直径FD(2)如图，以B为原点，BE,BD分别为x, y轴正方向，过 B作平面BEC的垂线，

15、建立空间直角坐标系 B xyz,连接FC由此得,B(Q0,0),C(Q a,0),D(0,2a,0),E(a,Q0)FDFB, BC CDFCFCFQBD2a22-FE,FR -FB33i 2R(0，a,-a)3 3一 2 2RQ 2 be (2a,0,0)3352、RD (0, a, a)33设平面RQD的法向量为ni（Xi，yi，zi）n1 RDni RQ0得,05 ayi32 axi32一 aZi3可取 ni(0,2,5)同理，设平面BED的法向量为n2(X2, y2，Z2),可取 出 (0,0,1)cosni,n2ni n25 2929sinni,n22一2929平面BED与平面RQD

16、所成二面角的正弦值为2 一 29298、证明：（i）因为 ABC是正三角形， M是AC中点,所以BM AC ,即BD AC又因为PA 平面ABCD, BD 平面ABCD , PA BD 2分又PApAC A,所以BD 平面PAC 3分又PC 平面PAC ,所以BD PC 4分（2）在正三角形 ABC中，BM 273 5分在 ACD中，因为 M为AC中点，DM AC ,所以AD CDCDA 120：，所以 DM 哀3,所以 BM : MD 3:1 6分3在等腰直角三角形PAB中，PA AB 4, PB 4 J2，所以 BN : NP 3:1 , BN : NP BM : MD ,所以 MN /PD 8 分又MN 平面PDC , PD 平面PDC ,所以MN /平面PDC 9分(3)因为 BAD BAC CAD 90；,所以