第4讲一元二次不等式学生(新高一培优十六讲系列)

1、第4讲一元二次不等式玩前必备1.一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2的不等式，叫做一兀二次不 等式一W式ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0, ax2+ bx+ O0, ax2+bx+cw 0,其中 aw 0,a, b, c均为常数2.一元二次函数的零点一般地，对于二次函数 y= ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c= 0的实数x叫做二次函数y = ax2 + bx+ c的零点.3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式A= b2 - 4acA>0A= 0A<0二次函数 y= ax2+ bx+ c

2、(a>0)的图象,兀一次方程 ax2+bx+ c= 0(a>0)的根后两个不相等的实数本H xi , x2（xi<x2）有两个相等的实数根 xi= x2= - 22a没有实数根ax2 + bx+ c>0(a>0)的解集x|x<x1,或 x>x2bXXL孤Rax2 + bx+ c<0(a>0)的解集x|xi<x<x2?玩转典例题型一解不含参的一元二次不等式例1 解下列不等式: x2 + 5x 6>0 ; (2)3x2+5x 2比 0; (3)x2 4x+ 5>0.【玩转跟踪】1解下列不等式：4x24x+ 1>0;

3、(2)-x2+6x-10>0.题型二解含参的一元二次不等式例2 设aC R,解关于x的不等式ax2+ (1 -2a)x- 2>0.【玩转跟踪】1 .若a>0,求关于x的不等式x2- a + 1x+1w。的解集 a2 .设p： |4x 3| <1 q： x2- (2a+ 1)x+ a(a+ 1) 若q是p的必要不充分条件，则 a的取值范围是()1习出AU61引 8,0,-/k /k B D题型三 三个“二次”间的关系及应用例 3 已知二次函数 y= ax2+ (b- 8)x- a-ab,且 y>0 的解集为x|3<x<2.(1)求二次函数的解析式；(2)

4、当关于x的不等式ax2+ bx+ c< 0的解集为R时，求c的取值范围.例4 若方程x2+(k 2)x+2k1=0的两根中, 则实数k的取值范围是 .玩转跟踪1.已知关于x的不等式ax2+ 5x+ c>0的解集为(1)求a, c的值；(2)解关于x的不等式ax2+ (ac+2)x+2O0.一根在 0和1之间，另一根在 1和2之间,11x3<x<2题型四不等式恒成立、能成立问题例5(1)已知不等式kx2+2kx(k+2)<0恒成立，求实数 k的取值范围;(2)若不等式x2+2x+3Wa23a对任意实数x恒成立，求实数 a的取值范围.例6当1WxW2时，不等式x2+m

5、x+4<0恒成立，求 m的取值范围.y<0恒成立，求实数x的取值范围.例7 已知函数y= mx2 mx 6+m,若对于1WmW3玩转跟踪1 .设函数y= mx2 - mx- 1,1<x< 3,若y< m+5恒成立，求 m的取值范围.4x+ m.2 .若存在xC R,使得*_”+3>2成立，求实数 m的取值范围.题型五不等式恒成立、能成立问题例8某农贸公司按每担 200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测U购量可增加2x

6、个百分点.(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.玩转跟踪1.北京、张家口 2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于 原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入/(x2600

7、)万元作为技改费x用，投入50万元作为固定宣传费用，投入：万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后5的销售量a至少应达到多少万件时， 才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件定价多少元？玩转练习1. (2019 全国 I )已知集合 M = x4<x<2 , N=x|x2x6<0,则 M n N 等于()A. x| 4<x<3B. x|-4<x<-2C. x|- 2Vx<2D. x|2<x<312.若0<m<1 ,则不等式(x- m) xm <0的解集为()A.x -<x<mm

8、一 1一B. x x>m或x<mC.x x>m或xJ m1D. x m<x< m3,二次方程ax2+bx+c=。的两根为一2,3,如果a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为（）A. x|x>3 或 x<2B. x|x>2 或 x< 3C. x|- 2vx<3D. x 3<x<24.若不等式5x2 bx+ c<0的解集为x| 1<x<3，则b+ c的值是()A. 5 B. -5 C. 25 D. 10x-35,与不等式 >0同解的不等式是()2 xA. (x- 3)(2-x)>0B

9、, 0<x-2<1C2>0D. (x-3)(2-x)>0x 36.若关于x的不等式axb>0的解集为x|x>1,则关于x的不等式>0的解集为（）x 2A . x|x>1 或 x<2B.x|1<x<2C. xx>2 或 x<1D.x|1<x<27,已知不等式一x2+4x>a23a在R上有解，则实数 a的取值范围为（）A. a|-1< a<4B.a1<a<4C. a|a > 4 或 aw 1D.a| 4WaW18 .某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出 30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（）A. x|10Wx<16B. x|12Wx<18C. x|15<x<20D. x|10< x<209 .不等式x2 + 3x4<0的解集为 .、，1，一一10 .关于x的不等式(mx1)(x2)>0,若此不等式的解集为x m<x<2 ,则m的取值范围是.11 .已知不等式x2 2x3<0的解集为A,不等式x2+x6<0的解集为