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1、高考专题复习一一等差与等比数列一、知识结构与要点:等差、等比数列的性质推广第5页共17页等比数列一基本概念-定义:员anSn通项一 q iqn m1等比中项:前n项和an 2 an 1an 1 ana1n(q 1)a1(1 qn)1 qa1a b c成等比数歹Uianq /(q 1)1 qb2 ac与首末两端等距离的两项之积相等基本性质一alan a2an 1ai an i 1m n p qam anap aqan成等比,若 ni,n2,nk成等差 则a1,an2,ank成等比a1 当1q0 a10或时 an为递增数列10 q 1a1q 10f a10或1时an为递减数列0 q 1q0时 an
2、为摆动数列q=1时 an为常数数列二、典型例题例1.在等差数列中a6 a9a12 a15 20求S20解法一an a1 (n 1)da6 a9 a12 a15(a1 5d) (a1 8d) (a1 11d) (a1 14d)2(2al 19d) 202a1 19d 10那么 S2020(a12 a20)10(2a1 19d) 100解法二:由m n p qa a a arm n p qa6 a9 ai2 ai5 2(a6 ai5)2(ai a20)20点评:在等差数列中,由条件不能具体求出a1和d,但可以求出 a1与d的组合式,而所求的量往往可以用这个组合式表示,那么用“整体代值”的方法将值求
3、出 利用:m n p qam an ap aq将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想,它比用a1和d表示更简捷。例2.等差数列前 m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为解法一 用方程的思想,由条件知. am)m 3022(ai am)m 60(ai a2m)2m 100(ai a2m)m 100 2am a2m a3m也成等数列S3mam)由X 2-得3m3 i-T (ai a3m)7m(a12a2m22m(ai a2m am) 140 代入 S3m3一 140 2102解:在等差数列中由性质知Sm S2m Sm 83m S2m成等差数列S3m S2m 2(S2m Sm) Sm
4、83m 3(S2m Sm)210解法三 等差数列an中Sna1n 1 n(n 1)dSn a (n 1) 2n2即生为以ai为首项公差为 nd的等差数列2依题意条件知Sm S2m 83m成等差m 2m 3m2 83m 2m82m Sm3m m83m 3(82m 8m)210点评:三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性,运用方程的方法、性质或构造新的等 差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值,对解决某些问题极为方便。例3在等比数列中8593a2a3a4a5a6186求a8分析:在等比数列中对于 a1q n an Sn五个量一般“知三求二”其中首项5元比是关键,因此用牛体a2 a3 a4
5、a5 a6a6 a1 93a1 q5又 S5 a1 a1q5931 q则 a8 a1 q7 384解法二:S5 93 而 a2 a3186S5 a6 a1 186a1 93a1 a1 93 93 q 2 a131 qa4 a5 a6 (a1 a2 a3 a4 a5)q 186q 2 代入 a1(1 q ) 93 中得 a1 31 q故 a8 a1 q7 384点评:根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。例4.在等差数列an中S936 S13104等比数列屈中b5 a5 b7 a7 贝Ub6 a ac解:S9 (aL9) 9 a5 936a542S13 a1 2a13 1
6、3 a7 13104 a78b5 b7 a5 a7 32b;2 32b64 3点评:此题也可以把 a1和d看成两个未知数,通过 S936 S13104列方程,联立解之= 2 a1 4。再求出a5a7但计算较繁,运用a1 a2n 1 an计算较为方便。 2例5.设等差数列an前n项和为Sn已知a3 12 S12 0 S13 0(1)求公差d的范围(2)指出S1S2S12中哪一个值最大,并说明理由解:(1)由题义有由a312a1 12(2 Sna1nn(n 1)dd0 a 1数列an是首项5元比都为7d 0d7n24 d72al 11d a1 6d24 d712(524 2d 12422(5 T)
7、24 2b ,) 取小 d判断数列随a的等比数列,数列bn中每一项总小于它后面的项,求a的取值范围。解:由已知有n 1an a a所以 bnan lgann . na lgabn因此由题意对任意nbnbn 1成立即nana lg(nS6最大N增大而变化规律的方an lg an (n N)如果n .na lg a1)an1 alg即 an lga(n1)a n对任N总成立,知an那么 由a0即(i)由I知a1(n)故a的取值范围为1)a n或F(a1)n为递增的函数n 1所以(2) n 1min1 -a 或 a12点评:这是道数列与不等式综合的题目,既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值
8、第9页共17页x的观点来解决问题,同时还要判断函数y 的单调性,具有一定的综合性。x 2高考专题一一数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部 分数列的求和都需要一定的技巧.下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和 的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式:Snn(a1 an) na1 n(n 1)d222、等比数列求和公式:Snnaiai(1 qn)i qaianq
9、i q(q i)(q i)1n(n i) 2n 2 i ,4、Sn kn(n i)(2n i)k i 6-3 i25、Snk -n(n i)xn 的前n项和.k i 2例 i已知 log3x -,求 x x2 x3log 2 3解:由log 3 xi log 2 3log 3 xlog 3 2由等比数列求和公式得23Snx x xx(1 xn);(1(利用常用公式)= -() = 212n12) _111 -2n例 2设 $=1+2+3+n, nCN*,求 f(n)Sn(n 32)Sn 1的最大值.解:由等差数列求和公式得11Sn-n(n 1), Sn (n 1)(n 2)(利用常用公式)22
10、Snn111= (n 32)Sn 1 n 34n 64648、250n 34 ( ;n )50n. n当而IJq ,即门=8时,f (n)max150二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列an - bn的前n项和,其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3求和:Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解:由题可知,(2n 1)xn 1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn1的通项之积设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn,(设制错位)得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1
11、(2n 1)xn (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:1 xn 1(1 x)Sn1 2x (2n 1)xn1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)2例4求数列2,当与,,2n,前n项的和.2 2 22解:由题可知,电的通项是等差数列2n的通项与等比数列 2n7的通项之积设Sn6232n2n2224236242n(设制错位)一得(1222223224-2- -2nT (错位相减) 2n 2 n 12n2n 1Sn42n 1三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序)把它与原数列相加,就可以得到例 5求证:C0
12、3C: 5C2(2n 1)Cn(n 1)2n证明:设Sn C: 3C:5C;(2n1)C:把式右边倒转过来得Sn(2n 1)C:(2n 1)Cnn 13C:C:(反序)又由Cnmc:m可得Sn (2n1)C (2n1)cnQn 1 n3C n C n+得2Sn(2n2)(C:cnCnCn1 Cn)2(n 1) 2n (反序相加)Sn (n 1) 2n例 6求 sin21 sin 2 2sin2 3sin2 88-2 -sin 89的值解:设 S sin21 sin2 2sin2 322sin 88 sin 89 将式右边反序得_2S sin 2 892sin2 88sin2 3sin2 2si
13、n21(反序)又因为 sin xcos(90x),sin2 xcos2 x 1+得(反序相加)22S (sin 12、cos 1 )(sin2 22 .cos 2 )2(sin 892 -cos 89 ) = 89 . S =44.5四、分组法求和第23页共17页有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可例7求数列的前n项和:11,1a4a7, a解:Sn(1 1)(14)a7)(n 1a3n 2)将其每一项拆开再重新组合Sn(1X)n 1 ) a(13n2)(分组)当a = 1时,Sn(3n 1)n2(3n
14、1)n2(分组求和)当a 1时,Sn(3n21)n aa(3n 1)n例8求数列n(n+1)(2n+1) 的前n项和.设 ak k(k 1)(2k 1)2k33k2Snnk(k 1)(2k 1)k 1n(2 k3 3k2 k)k 1将其每一项拆开再重新组合得nk22 k3k 12(13 23n3) 3(122_n ) (1 2n)22n (n 1)2n(n 1)(2n 1)2n(n 1) (分组求和)2n(n1)2(n22)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项).通项分解(裂项)如:分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的(
15、1)anf(n 1)f (n)(2)sinlcosn cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2n1)111 -(2 2n 1上)(5)n(n 1)(n 2)夕n(n 1)(n出(6)n 2n(n 1)12n2(n 1) nn(n1)12n1n 2n 1(n 1)2n,则 Sn 11(n 1)2n例91 女列 1,21 .2.31的前n项和.1解:设an - Jn 1 Jn(裂项),n v n 1111一一一则SnJ-1(裂项求和)1.22.3. n %n 1= (.2.1) (.3.2)(Vn1 Vn) = Vn 1 1例10在数列a
16、n中,ann p2,又bn ,求数歹U b n的前nn 1an an 1项的和.解: an丁猾8(1 匕)口 n 1 n n 12 2(裂项)Sn数列b n的前n项和8(11118n(1 -)(裂项求和)=8(1 L) = R-n n 1n 1 n 1例11求证:1cos0 cos11cos1 cos21 cos1 cccc. 2)cos88 cos89sin 1解:设S1cos0 cos11cos1 cos 21cos88 cos89sinlcosn cos(n 1)tan(n 1)tan n(裂项) Ssin 1cos0 cos1 cos1(tan 1 tan0 )1 , 一 八、(tan
17、 89 tan0 )=sin 1cos2(tan 2sin 1cos88 cos89tan 1 ) (tan 3 cos1cot 1 =2-sin 1六、合并法求和(裂项求和)tan 2 ) tan 89 tan 88 ,原等式成立针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求$.例 12求 cos1 + cos2+ cos3+ + cos178解:设 Sn= cos1+ cos2 + cos3 + + cos178+ cos179 的值.+ cos179 , cosn cos(180 n )(找特殊性质项),$= (cos
18、1 +cos179 )+ (cos2 +cos178 )+ (cos3 +cos177 ) + - + (cos89 +cos91 )+cos90 (合并求和)=0例 13数列an: a11, a23, a32, an 2 an 1an ,求S2002.解:设S2002= a1a2a3a2002由a11, a23,a32, an2 an 1an可得a43, a62,a71,a83,a92, a103, a122,a6k 11,a6k 23, a6k 32,a6k 41,a6k 53, a6k 61 a6ka6k 3a6k 4 a6k 5a6k 60 (找特殊性质项)= &0。2= a1 a2a
19、3a2002 (合并求和)=(a1a2 a3a6)(a7 a8a12)(a6k 1a6k 2a6k(a1993a1994a1998 )a 1999a2000a2001 a 2002=a1999a2000a2001 a2002=a6k 1 a6 k 2 a6 k 3 a6 k 4=5例14在各项均为正数的等比数列中,若a5 a6 9,求log3a1 log 3 a2log3a10的值.解:设 Sn 10g 3 ai 10g 3a210g 3 a10由等比数列的性质 m n p q aman apaq (找特殊性质项)和对数的运算性质logaM loga N logaM N 得Sn (log 3
20、a110g 3 a10 ) (log 3 a2log 3a9 )(log 3 a510g 3 a6)(合并求和)=(10g 3 a1 a10 )(10g 3 a2 a9 )(10g3 a5a6 )=10g 3 9 10g 3910g 3 9=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和,是一个重要的方法例 15求 1 11 111111 1之和.n个111解:由于 1111 9999(10k 1)k 个 19 H19(找通项及特征) 1 11 111111 1n个1111213(101 1) (102 1) (103 1)9991。 一一 1(10 n 1)(分组求和)9111(101 102 10310n) 1(1 1 11)99n 个 11 10(10n 1)910 1(10n 1 10 9n) 81例16已知数列an : an8(n 1)(n 3),求n(n11)(anan 1 )的值.解:丁 (n 1)(anan 1)8(n 1)-(n 1)(n 3)(n上(找通项及特征)=8-4) (n(设制分组)3)(n 4)1111一一=4 ( ) 8()(裂项)n 2 n 4 n 3 n 41(n 1)(a
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