高考立体几何命题分析和复习建议

1、高考（天津卷）立体几何命题分析和复习建议王强一、考纲中对立体几何与空间向量的要求（1）空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构；知道平行投影与中心投影的概念，了解空间图形的不同表示形式；能画出简单空间图形（长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等及其简易组合）的三视图， 能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 （不要求记忆公式）（2）点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面的位置关系的定义，并了解如下的公理和定理：定理 1、2、 3、4及定理：空间中如果一个角的两边与

2、另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等 或互补；理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。理解以下判定定理和性质定理：（判定定理和性质定理各4个，略）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。能根据定义解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的简单计 算问题。（3）空间向量及其运算了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交 分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直；（4）空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量的概念；能用向量语言表述直

3、线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）能用向量方法解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的计算 问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。、近四年高考立体几何试题（天津卷）特点时间/分值选择题填空题解答题知识点2010 年 （16 分）第12题第19题12,几何体三视图，体积计算公式；19,异面直线成角，线圆垂直，一面角；2009 年 （16 分）第12题第19题12,几何体三视图，体积计算公式；19,异面直线成角，卸圆垂直，一面角；2008 年 （21 分）第4题第12题第19题4,空间线面关系；

4、12,球与正方体；19,线面 垂直，异向直线成角，一面角；2007 年 （21 分）第6题第12题第19题6,直线、平囿平行与垂直；12,长方体、球的表面积；19,线线垂直，线回垂直，一面角；特点 1：题量、题号、分值相对稳定近年来高考试题中立体几何部分在题型、题量、分值、难度等方面，均保持相对稳定。自 2009 年新课改高考由原来的两道小题一道大题改成的一道小题一道大题。分值为 16 分，约占总分值（ 150 分）的10。特点 2：考小题，推陈出新有关立体几何的小题，其考查的重点在于基础知识。其中，三视图、点直线平面之间的位置关系等知识的试题是重点考查内容。特别是三视图，是新课改增加的内容，

5、突出了对立体图形的认识，空间想象能力的要求。 09 年及 10 年均是以三视图为背景考查规则或不规则几何体体积的填空题。特点3：考大题，全面考查考查立体几何的解答题中，一般是考查线、面之间的平行、垂直关系，线面角、二面角，面积、体积等问题，难度属中等，主要考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用情况。其载体多为棱柱、棱锥等组合而成的多面体，解题方法趋于多样化，重视了传统方法和向量方法的有机结合。三、各地高考立体几何中热点问题纵观 2010 年全国各地的高考试题，对立体几何部分的考查基本上集中在以下几个热点问题上：热点一、空间几何体的结构及其三视图、直观图从形式上看，以选择、填空

6、为主。从内容上看，柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图的还原在各地高考试题中频繁出现。例如： 2010 年陕西， 7； 2010 年课标全国， 14； 2010 年浙江， 12 等等。热点二、直线、平面的位置关系考查线线、线面、面面平行的判定和性质多以选择题形式出现，属容易题。例如：2010 年福建，6。考查线线、线面、面面垂直的判定和性质主要以证明题的形式出现，例如： 2010年北京， 16； 2010年辽宁， 19等等。热点三、空间向量在立体几何中的应用通常各地高考试题中都有一道立体几何的综合题，处于解答题的中间位置，难度不大。用向量法

7、来解可以降低难度，并且多数情况下传统法、向量法都可以解题。例如：2010年山东，19; 2010年全国I, 19等等。四、立体几何复习的几点建议虽然近年来立体几何试题在命题思路和方法上有些变化，但总体上还是保持了稳定，特别是解答题均是三问：一问是证线面垂直的，二问是异面直线成角，三问是求二面角。所以复习备考工作有章可循，有法可依。具体方法（ 1）依纲靠本，控制难度，强化通性通法，提高解题能力从近年高考立体几何试题的命题来源来看， 很多题目是出自于课本， 或略高于课本。所以， 我们在复习备考中， 一定要依据考纲依靠课本， 进行一题多解和多题一解的教学，吃透教材的实质。同时还要控制好题目的难度，不

8、出偏题、怪题。应注重加强对典型例题 （ 可以考虑选用天津08、 09、 10 的考题作为典型例题 ） 的研究，挖掘题目中的隐含条件，弄清问题所表述的含义，做到对问题的真正理解，并可尝试改变题目中某些条件，认真比较它们之间的联系与区别，真正做到举一反三。AiBiCiDi 中，E, F 分别是棱 BC , CC1例：(2010天津卷理数19)如图，在长方体ABCD上的点，CF AB 2CE , AB : AD : AA1 1:2:4.(I)求异面直线EF与AD所成角的余弦值；(n)证明AF，平面AED ;(出)求二面角A ED F的正弦值.本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基

9、础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分.点A为坐标原点，设AB 1,依题意得方法一：如图所示，建立空间直角坐标系3 D(0,2,0) ,F(1,2,1),A(0,0,4),E 1,3,0 .uur 1uuur(1)解：易得 EF0-,1 ,AD2uur uuurruuu uuuuEFgD于是 cos(EF, AD/uur|uuurEF AD2(0,2,35所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为3uuir1-,4,ED1-,022uuuruuur(2)证明：已知 AF (1,2,1), EA 1,uuir uur uur uuir于是

10、 AF EA=。，AF ED=0.因此，AF EA,AF，即1yz 021 cx - y 02ED,又EA ED E ,所以AF 平面AED .ru EF(3)解：设平面 EFD的法向量u (x, y,z)，则一 一. u ED不妨令x=1,可彳导u (1,2, 1).由(2)可知，AF为平面A1ED的一个法向量.日u AFu AF2 ,从而 sin：；u, AF ；：所以二面角Ai-ED-F的正弦值为 31万法一：（1）解：设 AB=1 ,可得 AD=2, AAi=4, CF=1. CE=-.连接 BiC,BCi,设 BiC与 BCi 2交于点M,易知AiD/BiC,由CE CF 1

11、87;=一，可知CB CC1 4EF/BCi.故 BMC是异面直线EF与AiD所成的角，易知 BM = CM= 1b1C= J5,所以 cos BMC2BM 2 CM 2 BC22BM £M3，所以异面直线FE与5AiD所成角的余弦值为-5、r 、CD(2)证明：连接AC,设AC与DE交点N因为BCEC iAB 2所以 Rt DCE sRtCBA ,从而CDEBCA,6D又由于CDECED 90 ,所以BCACED 90 ,故AC，DE,又因为CCiDE且CC1 AC C ,所以DEL平面 ACF,从而AFXDE.所以连接BF,同理可证 BiC,平面ABF,从而AFBiC,所以AFX

12、AiD因为DEAF,平面 AiED.(3)解：连接 AiN.FN,由(2)可知DEL平面ACF,又NF平面 ACF, AiN平面ACF,所以DE±NF,DE±AiN,a ANF 为二面角 Ai-ED-F 的平面角易知 Rt CNE : Rt CBA ,CN EC所以BC ACAC 痣所以5CN 54x305Rt NCF中，NF CF2 CN230 在RtVRAA NN 中，NA1 JAA_AN75连接 AiCi,AiF 在 Rt ACiF 中，AiF J AC； CiF244.222 c.二在Rt ANF中，cos ANF 今A一 .所以 sin ANF 5.2AN?FN

13、33所以二面角 A1-DE-F正弦值为比较2010年天津第19题的两种解法不难看出，向量方法比常规方法要简单一些, 平时也有一些学生认为立体几何这道题一律用向量法来解，这种想法不可取：一，不是 所有的题目都可以建系，二，向量的运算未必简单。在复习过程中还应该加强常规思路 在解题中的应用。如：线段中点一一用中位线;（2010安徽卷理数）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形，EF /AB ,EFFB , AB 2EF , BFC 90 , BF(I )求证：FH /平面EDB ;（出）求二面角BDE C的大小.(n)求证：AC 平面EDB ;解：第一问可以利用中位线得到平行。如：

14、确定二面角的平面角一一用三垂线定理或逆定理（2010四川理数）如图，二面角l的大小是60。，线段AB .B l , AB与l所成的角为30。.则AB与平面所成的角的正弦值是? AB D-C - C解：过点A作平面B的垂线，垂足为 C,在B内过C作l的垂线.垂足为D.连结AD ,可知AD±l,故/ADC为二面角的平面角，为 60° .又由已知，ZABD = 30 .连结CB,则/ABC, 一_ a 一AD为 AB 与平面 所成的角.设 AD=2,则 AC=j3, CD=1, AB=0=4, .sinZABC =sin 300AC 3AB 4如：同一点出发三直线两两垂直建立空间

15、直角坐标系（2008年宁夏、海南理18）如图，点P在正方体 ABCD AiBiCiDi的对角线BDi上，/PDA=60z（2）建立完整的知识网络，突出转化的数学思想在立体几何的复习过程中要想办法让学生建立起完整的知识网络，要突出这门学科的主干。如：为了使学生的知识网络完备，平行与垂直可以进行比较，掌握它们的异同 点，以利于学生加深理解。又比如：在复习线线平行的证明方法时，可以总结梳理出以下四个证明的定理： 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行；线面平行的性质定理：一条直线与一个 平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；面面平行的性质 定理：两个平面平行，则任意一个平面与这

16、两个平面相交所得的交线相互平行；线面 垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。如何让学生充分理解并掌握这些知识呢？培养学生“转化”的数学思想是关键。转 化（化归）思想是立体几何中核心的数学思想。在立体几何中既有位置关系之间的转化， 如：证面面垂直（平行）转化为证线面垂直（平行），再转化为证线线垂直（平行） 又有数与形的转化，如用向量法解决立体几何问题。再比如：关于角的度量，既要将异 面直线成角、直线与平面成角、二面角依据概念转化为平面中的相交直线成角，又要学 会将其转化为向量夹角等。例：（2009江苏卷）（本小题满分i4分）如图，在直三棱柱AABC AiBiCi中，E、F分别是AB、A

17、C的中点，点D在BiCi上，AD B1c o求证：(1) EF/平面ABC;(2)平面 A1FD 平面 BB1GC .本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。证明：(1)因为E、F分别为AiB、AiC的中点，所以EF/ BC,又EF 面ABC, BC 面ABC ,所以EF/平面ABC(2)因为直三棱柱 ABC-A iBiCi ,所以 BBi上面 AiBiCi, BBiXAiD,又 AiDBiC,所以 AiD，面BB1C1C,又AiD 面AiFD,所以平面 AiFD，平面BBiCiC(3)推理有理有据，答题规规矩矩从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生“

18、会而不对，对而不全”的问题比较 严重，很值得引起我们的重视。2010年高考第19题的学生丢分集中在：一是第一问求 余弦值时没有列出公式来或者计算错误；二是第二问丢三拉四、只求三言两语，无关键 步骤，不求推理有据，更谈不上整齐、清洁、美观；三是第三问用传统的方法解决的基 本上都扣分了。因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要 使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”。充分利用好每次模拟考试后的讲评 机会，给学生讲评分标准和答题技巧。(4)重视空间想象，会识图会画图会想图立体几何是培养学生空间想象力的数学分支。在具体要求上，要把握好以下三点： (1)培养学生识图、想图、画图的能力(包括规范图形和非规范图形)；(2)培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来； 培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、 折、展等高考长考不衰的内容应重点关注。如：解立体几何题一般需作好两个图，一是立体图，把已知条件中的线段长、角度 值在图中标出，对于图形翻折、旋转等问题把折前及折后的长度、角度对应起来，往往 发现解题思路或部分结论。二是用来计算的铅垂放置的平面图(解题关键图)，利于正 确运算。又如：一些具有特殊条件问题利用特殊体去解决能使解题简捷明快。如正四面体可 在正方体中截得，三射