有关直线与圆的几个典型例题

1、学习必备欢迎下载有关直线与圆的几个典型例题本节内容在高考题中通常是通过选择题、填空题进行考查，在解 答题中往往是出现在第(1)小题中，考查的热点是求直线的方程， 两直线平行、垂直的关系，关于直线的对称问题，直线与圆的位置关 系及圆与圆的位置关系等。要熟练掌握求直线方程的方法，注意根据 已知条件灵活选择方程形式；在解决圆的有关问题时，要注意圆的几 何性质的应用。例1:在AABC中，已知顶点A(3,-1)，过点B的内角平分线所在 直线的方程为x-4y+10=0,过点C的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,求顶点B的坐标及BC边的方程。x + 3 厂 1解：设B点坐标为(x,y),则AB的

2、中点E的坐标为(2*2),因E在直线6x+10y-59=0上，工+ 3 厂16 2 +10 - 2 -59=0,整理得 3x+5y-55=0。又过点B的内角平分线所在直线方程为 x-4y+10=0。解方程组卜fT0 =。得&7B点坐标为(10,5)。6设BC边所在直线斜率为k, AB边所在直线斜率kAB=7，角B平分线的斜率为4。1 6,1一 一左一 一4 7 _4.1 62贝U 4 74 ,k=- 9。 BC边所在直线方程为2x+9y-65=0评注：本题是关于求直线方程的例题。例2:已知过点A(1,1),且斜率为-m(m>0)的直线l与x,y轴分别 交于P、Q点，过P、Q作直线

3、2x+y=0的垂线，垂足分别为R, S, 求四边形PRSQ的面积的最小值。解：设直线l的方程为y-1=-m(x-1)，则P、Q的坐标分别为(1 +幽,0), (0,1+m)。1 m + 1m + 1PR所在直线方程为y= 2 (x- m ),即x-2y- m =0,QS 所在直线方程为 y= 2 x+m+1,即 x-2y+2(m+1)=0。| 2咕+ 2+1 +二 | 3 +丫 PR/QE, /JRS| =超-=尸上75邪2 二_m也又 |PR|二有，|QS|二 S ,一四边形PRSQ的面积为1 (2 + + w +1) 3+ 2ws + - 2(部+ !)，+ 9(幽 +1) +10 11

4、口 13 3 -I二也2 小 出105 w 4 80: m>0, m+僧 >2,当 m=1 时，Smin=3.6。故四边形PRSQ面积的最小值为3.6。评注：本题是关于直线的平行、垂直问题的例题例3:根据下列条件求圆的方程：(1)圆心在直线1i: 5x-3y=0上，并且圆与直线l2： x-6y-10=0 相切于点P(4,-1);(2)圆过点P(-2,4), Q(3,-1),并且在x轴上截得的弦长等于6;(3)圆心在曲线y2=-18x上，并且既与y轴相切又与圆 (x+2)2+(y-3)2=1 夕卜切。解：(1)设圆心为C(3t,5t),%+1 1匕 ,- PCXl2, , kPC -

5、匕=-1,即 3E4 6=-1,则 t=1,圆心C(3,5),又圆半径r=|PC|二后, 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37。(2)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 , (2D-4E-F = 20将P、Q的坐标分别代入，得知-£十尸=-10又令 y=0,得 x2+Dx+F=0。由已知|Xi-X2|=6 (xi, x2为方程两根),二 D2-4F=36(3)由(1),(2),(3)解得 D=-2, E=-4, F=-8 或 D=-6, E=-8, F=0。故所求圆的方程为：x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0。(3)设圆心C(a,b)

6、,由题意知r二|a|,且% +甲+ 9-茶G0陈b2 =-侬显然 a<0,解得 a=- 2 , b=3 或 a=-2, b=6,J 1故所求圆的方程为：(x+ 2 )2+(y-3)2=4 或(x+2)2+(y-6)2=4。评注：求圆的方程应注意依据所给条件，恰当选择方程形式，用 待定系数法求解。例 4:已知圆 C: x2+(y-1)2=5,直线 l: mx-y+1-m=0。(1)求证：对mCR,直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设l与圆C交于A、B两点，若|AB|二而，求l的倾斜角大小；(3)求弦AB的中点M的轨迹方程；竺(4)若定点P(1,1)分弦AB为尸82 ,求此时直线l的方程

7、。解：(1)证法 1：由已知 l: y-1=m(x-1),直线l恒过定点P(1,1),又圆C的圆心为(0,1),V (1-0)2+(1-1)2=1<5,. P在圆C内，则直线l与圆C总有二个不同交点。-'7m幽证法2:圆心C(0,1)到直线l的距离d=虚+1+ 1 <1<行 对m C R成立，.对mC R, l与圆C总有二个不同的交点。证法3:将y-1=m(x-1)代入圆C方程，消去y,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0(1)2A=16m +20>0 包成立，.对me R, l与圆C总有二个不同的交点。评注：判断直线与圆相交，一般有以下三种方法：直线过圆

8、内一定点；圆心到直线的距离小于半径；直线与圆的方程组成的方程组有二个不等实根。(2)解法1:设A(xi,yi), B(x2,y2),则xi,X2为方程(1)的两实根， 46# + 20. |AB|= +冽2 |xi-x2|=Jl + / -1 +幽2, ”尿/+ 20则 + 比-1 +冽2=71? , m=± 也，上空l的倾斜角为a = 3或317解法 2: |AB|=2, -d" ,. 4 =5-d2,3/ . 3;d2= 4 ,则 1 +加2 4 m=± 在，上空一. l的倾斜角为a = 3或3。评注：求圆的弦长一般有两种方法：(1)用两点间距离公式求；(2)

9、利用圆中半径、弦心距、弦长间的关系求。即半径2二弦心距2+半弦2。(3) v CM IMP,.-. M点轨迹是以CP为直径的圆，圆心为(2 ,1),1半径为r=，1 1M 点轨迹方程为：(x-2 )2+(y-1)2= 4。评注：求弦中点轨迹方法很多，本题是利用圆的几何性质求解， 较为简单。1X1AP 1i-=_ 1 + _(4) ; PB 2 ,由定比分点公式，有1=2,1 323X1+ 2 X2= 2 ,同理有 yi+ 2 y2= 2。3 13 2 xi= - - - X2, yi= 1 -1 y2,v A、B 均在圆 x2+(y-1)2=5 上，+(T-y2)/dr消去 y2,得(3-X2

10、)2-X22 = 15,X2=-1,贝U X1=2,;y2=3 或-1, y1=0 或 2,m=1 或-1。则直线l的方程为：X-y=0或X+y-2=0。例5:设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2; (2)被X轴分成两段圆 弧，其弧长的比为3： 1,在满足条件(1),(2)的所有圆中，求圆心到直 线l: X-2y=0的距离最小的圆的方程。解：设圆的圆心为P(a,b),半彳全为r,则点P到x轴,y轴的距离 分别为|b|, |a|由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为 90。，则圆P被x 轴所截得的弦长为r,.故|b|=二 r,即 r2=2b2。又圆P截y轴所得弦长为2,所以J+1=r2从而 a2+1=2b2,即 2b2-a2=1。 a-2b又点P(a,b)0直线x-2y=0的距离为d= 后 ,5d2=|a-2b2=a2+4b2-4at>> a2+4b2-2(a2+b