概率论与数理统计习题及答案

1、习题二3 .设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以 X表示取出的次品个数，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函数并作图；(3)133PX <-, P1 :二 X <-, P1< X < 3 P1 :二 X :二 2.【解】故X的分布律为X012P(2) 当 x<0 时，F (x) =P (X<x) =0当 0<x<1 时，F (x) =P (X<x) =P(X=0)= 35 34当 1<x<2 时，F (x) =P (X<x) =P(X=0)+P(X=1)=一35当 x&g

2、t;2 时，F (x) =P (X<x) =1故X的分布函数4 .射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为 0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数5. (1)设随机变量 X的分布律为kPX=k= a,k!其中k=0, 1, 2,，人>0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=1, 2,，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知故a = e'(2)由分布

3、律的性质知a =1.0.6,0.7,今各投3次，求:即6 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 (1)两人投中次数相等的概率(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb (3, 0.6) ,Yb(3,0.7)(1) P(X =Y) =P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1) P(X =2,Y =2)= (0.4)3(0.3)3 c30.6(0.4)2c30.7(0.3)2 + P(X Y)= P(X =1,Y =0) P(X =2,Y =0) P(X =3,Y =0)=0.2437.设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻P落的概率设为0.

4、02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02),设机场需配备 N条跑道，则有0.01(每200_ kk200 _k,二.C200 (0.02) (0.98) ：二 0.01k=N 1利用泊松近似查表得N> 9.故机场至少应配备8 .已知在五重伯努利试验中成功的次数【解】设在每次试验中成功的概率为9条跑道.X 满足 PX=1= PX=2,求概率 P X=4.P,则所以1p=3P(X =4)=c5(1)42=33 3 2439

5、.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,(1) 【解】进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率(1) 设X表示5次独立试验中 A发生的次数，则 X6 (5, 0.3) 令丫表示7次独立试验中 A发生的次数，则 Yb (7, 0.3)10.某公安局在长度为 t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(隔起点无关(时间以小时计)1/2) t的泊松分布，而与时间间(1)(2)求某一天中午12时至下午求某一天中午12时至下午时没收到呼救的概率；时至少收到1次呼救的概率.【解】(1)3P(X =0) =e

6、5 P(X -1) =1 - P(X =0) =1 -e-2一_ k k . 2-k11.设 PX=k户 C2P (1p) , k=0,1,2PY= m=mm4 -mC4P (1 - p)m=0,1,2,3,4分别为随机变量 X, Y的概率分布，如果已知PX>1= 5 ,试求PY> 1.954【解】因为P(X斗)=一，故P(X父1)=. 99一2而P(X ：二1) = P(X =0) =(1 - p)24故得(1 - p)=,9即p =P 3，465从而 P(Y _1) =1 - P(Y =0) =1 - (1 - p)4 = 0.802478112 .某教科书出版了 2000册，

7、因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算，e25P(X =5) =0.00185!13 .进行某种试验，成功的概率为3 ,失败的概率为 1 .以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X的44分布律，并计算 X取偶数的概率.【解】X =1,2JH，k,|14 .有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：(1)保险

8、公司亏本的概率；(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日，保险公司总收入为2500 X 12=30000元.设1年中死亡人数为 X,则Xb(2500,0.002),则所求概率为由于n很大，p很小，X =np=5,故用泊松近似，有(2) P(保险公司获利不少于 10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于20000) = P(30000 2000X 2 20000) = P(X <5)即保险公司获利不少于20000元的概率约为 62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae

9、',8 <x<+ oo,求：(1) A 值；(2) P0<X<1;(3) F(x).(1)由(f (x)dx =1 得一-1故A 二 一.21 1 -1(2) p(0 X 二 1)=3 0 e dx = - (1 - e )x 1 x 1 x(3)当 x<0 时，F (x)=1一 e dx = e-二 22x 10 1x 1当 x>0 时，F (x) = J e*dx = J exdx + - edx0 '1 X2e, F(x)=、d 1 X1 -e2X :二 0x _017 .在区间0, a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点

10、落在概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】 由题意知XU0,a,密度函数为故当x<0时F (x) =00, a中任意小区间内的当 0<x<a 时 F(x)=xxx 1. J(t)dt = .0f(t)dt = .0dt当 x>a 时，F (x) =1即分布函数18 .设随机变量 X在2, 5上服从均匀分布【解】XU2,5,即.现又t X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.故所求概率为19 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间过10分钟他就离开.他一个月要到银行 “L/1、一 X (以分钟计)服从指数分布E(一).某顾客在窗口等待服务，若超5

11、5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求 PY>1.1【解】依题意知X E(),即其密度函数为5该顾客未等到服务而离开的概率为-，2、 一一Yb(5,e ),即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N (40, 102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N ( 50 , 42).(1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，XN ( 40, 102),则若走第二条路，XN

12、(50, 42),则P( X :二 60)二 PX -50,460 -50<4(2.5)= 0.9938 +故走第二条路乘上火车的把握大些(2)若 XN (40, 102),则若 XN (50, 42),贝IJ故走第一条路乘上火车的把握大些21.设 XN (3, 22),(1) 求 P2<X<5, P*4<X<10, P|X|>2, PX>3;(2) 确定 c 使 PX>c= PX<c.【解】(1) P(2 <X M5)=P'上 cX-M J I222c=322 .由某机器生产的螺栓长度(cm) XN ( 10.05,0.06

13、 2),规定长度在10.05 ±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率【解】P(|X -10.05| 0.12) = PI,lX -10.050. 0.060.12、006,23 .一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160,苏，若要求 P120<X<200>0.8,允许b最大不超过多少？【解】P(120 :二 X ,200)= P120 -160X -160 200-160<<40CT <1.29= 31.25X _0,X ：: 0.('0),24 .设随机变量X分布函数为A Be-'x(x)=0,(1) 求

14、常数A, B;(2) 求 PX<2 , PX>3;(3)求分布密度f (x).lim.F(x) =1A=1【解】(1)由一打得lim F(x) u lim F(x) B = -1,x0 -x0 -(2) P(X <2) =F(2) =1 -e"f(x) =F(x)x _ 0x : 025 .设随机变量X的概率密度为x, 0 M x ： 1,f (x) =彳2-x, 1MxM2,0, 其他.求X的分布函数F (x),并画出f (x)及F (x).【解】 当x<0时F (x) =0x0x当 0< x<1 时 F(x)="f(t)dt =&qu

15、ot;f dt+ 1。f(t)dt ox当 1<x<2 时 F(x) = f f(t)dtxx:二 00 _ x： 11 - x ； 2x -2当 22 时 F(x)=Lf dt=10, 2 x v, F(x) = « 2 2x , 一_+ 2x _1,2126.设随机变量X的密度函数为(1) f(x)=ae 软冈人 >0；'bx,0 < x <1,1 ,八(2) f(x)=F 1WX<2,X0, 其他.试确定常数a,b,并求其分布函数 F (x).2a【解】(1)由f(x)dx=1 知 1= aefx|dx=2a e4xdx = 2a 0

16、.几故a = 2ex, x > 0即密度函数为2f(x) =土e'xx <02当 x< 0 时 F(x)x= f (x)dx =,x 九 /x I 1/xe dx = - e=22x0x -当 x>0 时 F (x) = f f (x)dx = f e'xdx + evxdxf20 2故其分布函数oO(2)由 1 = J f (x)dx得1=bxdx023dx=b1 x22b=1即X的密度函数为当 x<0 时 F (x) =0x0x当 0<x<1 时 F(x) = J f(x)dx=f f(x)dx+j f (x)dx0x01x 1当

17、1<x<2 时 f (x) = J f (x)dx =| 0dx + J xdx + 2 2dx 01当 x>2 时 F (x) =1故其分布函数为27.求标准正态分布的上 B分位点,(2) a =0.003,求 za, za/2.【解】(1) P(Xz.) -0.01即1 ：'(zj =0.01即(z：.) =0.09故z. =2.33(3) P(Y _ 0) =1即：.：，(z_) =0.997查表得z.；=2.75由 P(X >弓2) =0.0015得即；'(Z /2) =0.9985查表得z,/2 =2.9628.设随机变量X的分布律为X2101

18、3Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律【解】Y可取的值为0, 1, 4, 9 故Y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/3029.设 PX=k=( 1)k, k=1,2,，令2求随机变量 X的函数Y的分布律.【解】P(Y =1)=P(X =2) P(X =4) Hl P(X -2k) |H30.设 XN (0,1).(1) 求丫=6*的概率密度；(2)求Y=2X2+1的概率密度；(3) 求Y= | X |的概率密度.【解】(1)当 y<0 时，FY(y) = P(Y <y) = 0当 y>0 时，FY(y) = P(Y M y) = P(ex

19、 < y) =P(X <ln y)fY(y)dFy(y)111n2y/2-Y- 二一 fx(ln y) ：- - -=e, y 0dyyy V2 u2(2) P(Y =2X 1 -1)=1当 y < 1 时 FY ( y) = P(Y M y) = 0.2当 y>1 时 FY(y) =P(Y E y) =P(2X +1 < y)故 fY(y) =_d_FY(y) =J2 |fX Q-1 + fX 1dy 4Vy-1 2 J I当 y<0 时 FY(y) =P(Y < y) =0当 y>0 时 Fy(y) = P(|X 区 y) = P(y EX

20、< y)故 ,Y(y) =；FY(y) = fX(y) fX(-y) dy32 .设随机变量X的密度函数为2x,0 <x < 4 f(x)= 2、0, 其他.试求Y=sinX的密度函数.【解】P(0：Y；1)=1当y<0时， FY(y)=P(Y < y) =0当 0<y<i 时，FY (y) = P(Y M y) = P(sin X < y)当y> 1时， Fy(y) =1故Y的密度函数为33 .设随机变量 X的分布函数如下：试填上 ,(2),(3)项.【解】由lim F(x) =1知填1。x由右连续性lim+F(x) = F(x0)=1知

21、x0=0,故为0。 xTx0从而亦为0。即34 .同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.6点【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。( i=1,2 ) ,P(Ai)=1且A1与A2相互独立。再设 C=每次抛掷出现 6则.11 ,一一故抛掷次数X服从参数为 的几何分布。3635 .随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则Xb(n,0.1)即(0.9) n ,0.1得n>22即随机数字序列至少要有22个数字。36.已知F (x)=4X0,1十 21,x ：: 0,0 _x,2 x_1.2则F(A

22、)(C)(x)是(连续型；非连续亦非离散型.)随机变量的分布函数.(B)离散型;【解】因为F (x)在(,林,+ oo)上单调不减右连续，且lim F(x) =0x ，二二limx一二F(x) =1，所以F (x)是一个分布函数。但是F (x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线, 选(C)故F (x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。37.设在区间(A)a,b上，随机变量 X的密度函数为f(x)=sinx,0,冗；(B)(C)?但。；(D)而在a,b外，f(x)=0 ,则区间a,b等于( 0,n;0, 3 冗.2一，. u . 一炉【解】 在0,上sinx>0,且(sin xdx =

23、1 .故f(x)是密度函数。冗在0,句上( sin xdx = 2 #1.故f(x)不是密度函数。,. 兀在一一,0上sinx E0,故f(x)不是密度函数。23.在0,一句上，当2故选(A)。38.设随机变量 XN (0,3?t<xE一冗时，sinx<0, f(x)也不是密度函数。2【解】因为X N(0,。21),P(1 ：二 X :二 3) = P(一CTX3< <CTCT利用微积分中求极值的方法，有4,，则ln 3g (二0)：二0故二-02 一 ，< 为极大值点且惟一。n 32故当仃=时X落入区间(1 ,ln 33)的概率最大。39.设在一段时间内进入某一

24、商店的顾客人数 并且各个顾客是否购买该种物品相互独立,X服从泊松分布 P (人)，每个顾客购买某种物品的概率为求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.P,b2),问：当b取何值时，X落入区间(1,3)的概率最大?e' ' ' m【解】P(X =m)=,m =0,1,2,|m!设购买某种物品的人数为 Y,在进入商店的人数X=m的条件下，Yb(m,p),即由全概率公式有此题说明：进入商店的人数服从参数为 改变为人p.40 .设随机变量X服从参数为2的指数分布 【证】X的密度函数为由于 P (X>0) =1 ,故 0<1 生2X<1 ,当 y<

25、0 时，FY (y) =0当 y>1 时，Fy (y) =1人的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数.证明：Y=1右坐在区间(0, 1)上服从均匀分布.即 P (0<Y<1) =1当 0<y<1 时，FY(y) =P(Y M y) = P(e-x 之1 y)即Y的密度函数为即 丫U (0, 1)41 .设随机变量 X的密度函数为f(x尸13,9, 0,3 < x < 6,其他.若k使得PX>k=2/3 ,求k的取值范围.2 .1【解】 由 P (X>k)=一知 P (X<k)=-(2000研考)3若 k<0,P(X

26、<k)=0若 0< k< 1,P(X<k)=当 k=1 时 P (X<k)=-3k1 dx0 31<13若 1< k<3 时 P (X<k)若 3<k<6,贝I P (X<k)11I= dx 033k2dx =人-9一丰一3 3若 k>6,贝I P (X<k) =12故只有当1<k<3时满足P (X>k)=-342.设随机变量X的分布函数为0, 0.4, F(x)=0.8,1,x -1,7 4 x ： 1,1 < x :二 3,x -3.(1991研考)X的概率分布为求X的概率分布.【解

27、】由离散型随机变量 X分布律与分布函数之间的关系，可知X113P0.40.40.243 .设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中 A出现的次数，若设 P(A)=p，则Xb(3,p)由 P (X>1) =19 知 P (X=0) = (1 中)3= -82727珀 1故p= _344 .若随机变量X在(1, 6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？【解】45 .若随机变量 XN (2, J),且 P2<X<4=0.3 ,贝U P X<0= .一 一2-2

28、 X -24 -2【解】0.3 = P(2 :二 X :二 4) = P( ：二：二 )cr er a田,2故】(一)=0.8a一,，X -20-22因此P(X ;0)=P(:二)=：.：，( )仃仃仃46 .假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率 0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n >2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相 互独立).求(1)全部能出厂的概率 a;(2)其中恰好有两台不能出厂的概率0 ;(3)其中至少有两台不能出厂的概率0 .【解】设A=需进一步调试 , B=仪器能出厂，则A =能

29、直接出厂, AB=经调试后能出厂由题意知B= A U AB,且令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则 X6 (n, 0.94) 故72分，96分以上的47 .某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则XN (72, 1)24查表知=2,即(7=12从而 XN (72, 122).84-72一 12,60 -72 X -72故 P(60 -X 84) =P -121248 .在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率

30、分别为0.1,0.001和0.2 (假设电源电压 X服从正态分布 N (220, 252).试求：(1)该电子元件损坏的概率a；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率0【解】 设Ai=电压不超过200V , A2=电压在200240V, A3=电压超过240V , B=元件损坏。由 XN (220, 252)知由全概率公式有 由贝叶斯公式有Y=e2X的概率密度fY(y).49 .设随机变量 X在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量1, 1 ： x : 2【解】fX(x)= #小X 0,其他因为 P (1<X<2) =1,故 P (e2<Y<e4) =1 当 y<e2时FY (y) =P(Y<y)=0.当 e2<y<e4 时，FY(y) =P(Y Wy) =P(e2X < y)当 y>e4时，FY(y) =P(Y Ey) =11FY(y) = j2iny-1,1,50.设随机变量 X的密度函数为fY (y) =： 2y&，其他4:二 efx(x)= «、0,x _ 0, x 二 0.求随机变量 Y=ex的密度函数fY(y).【解】P (Y>1) =1(1995研考)当 v& i 时，FY(y) =p(y wy) =0X当 y>i 时，FY(y) =P(Y E y