课件：第11章_计数原理―排列与组合(2)

1、一课资料网 第54济|知识梳理L排列（1）定义：从"个不同元素中任取制，暄）个元素，按 一定的顺序 排成一列.叫做从，个不同元素中取出5个元 素的一个排列.Q用E列数定义,从必个不同元素中取出刈制9）个元素的所有排列 的个辔L叫做从，个不同元素中取出仙个元素 的排列数，用符号3k表示.（3用、列数公式：,切en".Am=-1）0,一2）-m +1）n Qif。！ *学习资料下载网站第54讲|知识梳理(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做"个 不同元素的一个全排列，A： = 1 )5 2.321=J_,规定0! 1 .2.组合(1)定义；从个不同元素中，任

2、意取出用的9)个元素合 成一组，叫做从个不同元素中取出切个元素的一个组合.组合数：从个不同元素中任取“9)个元素的所有 组合的个数.叫从个不同元素中任意取出用个元素的组 合数，用符号 ”表示.(3)组合数公式：n(n IX* 2)(一切+ 1)小皿一A。_- 1)3*2Tj 一 .而一2r in州！=伽一"。！ /I I第54讲|知识梳理”，/«eN 切Si,由于 0!=_,所以 c：= L .3.组合数的性质i】一mC1=J】 .c%=£L+£L)第54讲|要点探究【点评】在求组合数中的未知数时要注意必须使组合数公式本身有意义，同时在计算时要注意合理选

3、用组合数的两个计算公式,简化计算.下面一道题是有关排列数的问题，在考查排列数公式的应用时，一定要注意到排列数是一些连续正整数的乘积，在解题时注意到这个特点进行约分，可简化计算.第54讲|要点探究怪式题A. 14若与*=8%则舞=(B. 15 0C. 16 D. 17【思路】根据排列数公式，通过解方程解决.第54讲|要点探究【解答】B因为n(n 1)(“ - 2)(配-6) - n(n - 1X« - 2)pt - 4)n(n - l)(/i - 2)-(n - 4)=("-5)(齐一6) - 1=w2 llw + 29,所以 M-i5+29=89,化筒得之一 15-60=0

4、.解得n = 15,或片=一4(舍)，故方程的解是"=15.第54讲|要点探究a 探究点2排列问题<2六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同 的站法？(1)甲不站两端；(2)甲，乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙按从左至右顺序排队(可以不相邻)；(5)甲、乙站在两端；(6)甲不站在左端，乙不站在右端.第54讲|要点探究【思路】按特殊元素（位置）进行合理分类，再由排 列数和计数原理可分别求得.【解答】（1）方法一：要使甲不站在两端,可先让甲 在中间4个位置上任选I个,有种站法，然后其余5 人在另外S个位置上作全排列有AE种站法，根据分步计 数原理,共有站法A：A，=4

5、80（种）.方法二.由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5 个人中选2个人站，有小种站法，然后中间4人有种 站法，根据分步计数原理，共有站法A*A：=480（种）.第54讲|要点探究方法三：若对甲没有限制条件共有A：种站法，甲在 两端共有2雇种站法，从总数中减去这两种情况的排列数, 即得所求的站法数，共有A*2AW=48M种）.（2）先把甲，乙作为一个“整体' 看做一个人，有屋种 站法,再把甲.乙进行全排列，有 此种站法，根据分步 计数原理，共有点房= 240（种）站法.0）因为甲.乙不相邻，中何有隔挡，可用“插空法L第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种；第二步 再将甲、乙排在4人形

6、成的5个空档（含两端）中（有A：种, 故共有站法为A%A： = 48W种）.第54讲|要点探究也可以用，间接法1 6个人全排列有种站法，由 知甲、乙相邻有雄= 。种站法，所以不相邻的站法 有 A：-AgA；=720-240=480（种）.（4）先将甲，乙以外的4人从6个位置中挑选4个位ci进行排列共有种，剩下的两个位置，左边的就是甲.右边的就是乙,全部排完，故共有A：=360（种）.首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端，有种.再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步计数原理，共有A；A：=48（种）.第54讲|要点探究（6）方法一,甲在左端的站法有A：种，乙在右端的站 法有A种，且甲在左端而

7、乙在右端的站法有A：种，共有 A：2Ag+A： = 504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端X 种，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A）A$A： =384种.故共有As+384=504种站法.第54讲|要点探究【点评】带有限制条件的排列问题，一般都是对某个 或某些元素加以限制的问题，被限制的元素通常称为特 殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类题通常从 三种途径考虑：以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的 排法问题，即先满足特殊元素;以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的 排法问题，即先满足特殊位置：先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不 符合要求的排列.第

8、54讲|要点探究便式题用。9这十个数字组成没有重复数字的正 整数.(D共有几个三位数？(2)末位数字是4的三位数有多少？(3)求所有三位数的和；(4)四位偶数有多少？(5)比5231大的四位数有多少？【思路】按特殊元素(的位置)进行分类，再由排列数 和计数原理可分别求得.第54讲|要点探究【解答】(1)百位不能为"0",因此共有A；A；=648 个；(2)末位为4百位不能为飞”，因此共有Aj-A；=64 个.(3)考虑各数位上的数字之和，可得所有三位数的和 为iA；Ai(I+2+.+9)+A；A；(l+2+.+9)xl«+A5(l + 2+,.9)x100=355

9、680,(4)分末位数字是否为。两种情况考虑.Ay+AjAiAs=2296 种；第54讲|要点探究千位上为9,81,6的四位数各有A¥N千位上 是5,百位上为346,7,8,9的四位数各有遍个；千位上 是5,百位上为2t十位上为4,6,7居9的四位数各有A；个; 千位上是5,百位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,此共有 N=4A：+6A；+5A；+5=2392 种.第54讲|要点探究* 探究点3组合问题例B 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5 人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种 活动，依下列条件各有多少种选法？只有名女生手(2)两队长当选：(3)至少有

10、一名队长当选事(4)至多有两名女生当选*(5)既要有队长，又要有女生当选.第54讲|要点探究【思路】解组合应用题时一般从特殊元素入手，先 选出特殊元素，再选其他元素.【解答】(1)一名女生，四名男生，故共有C%C=35O(种卜(2)将两队长作为一类.其他II人作为一类，故共有Cci=i65(种 h(3)至少有一名队长含有两类,只有一名队长和两名队 长，故共有Cc*+c%c； = 825(种)，或采用间接法：C；3-C；1=825(种)；第54讲|要点探究（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名 女生、没有女生.故选法有CC+C5C3+C=966（种）：分两类:第一类是女队长当选，共C

11、油种L第二类是女队长不当选，有 c；C+c；C+c：c；+c；.故选法共有：c?2 + cl* C?+c C?+cj- c!+Ci=790（种 h第54讲I要点探究t点评】解决“含与不含”问题常用优先法来求解,注至多至少”问题，常采用直接分类法或间接排除法来求解.在选取元素时一定要做到“不重不漏”.第54讲|要点探究；变式题2009海南宁夏卷7名志愿者中安排6人 在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则 不同的安排方案共有种.（用数字作答）1思路】只要从7人中先选3人安排在周六，再从余 下的4人中选出3人安排在周日即可.第54讲|要点探究【答案】140【解析】方法I：从7人中先选3人

12、安排在周六、再 从余下的4人中选出3人安排在周日，共有&C；=140种 方法.方法2：先从7人中选出6人，再从6人中选出3人 安排在周六，余下3人在周日，根据乘法原理总数为 ci = 140,方法3：先从7人中选出6人，把6人先均分方静组. 再分配到周六和周日，根据乘法原理总数为C?Aj= 140.一第54讲|要点探究* 探究点4排列、结合的综合应用例|4 2009四川卷3位男生和3位女生共6位同学站 成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生 相邻，则不同排法的种数是（）A. 360 R, 288 C 216 D. 96【思路】有且仅有两位女生相邻可以把这两位女生 “捆绑”

13、，把三名女生当作两个元素，在男生隔开的四个空 隙中安排这两个元素，最后再减去甲站在两端的情况.第54讲|要点探究【解答】B 3位男生的全排列数是A：；=6,隔开四个空隙，把3位女生中的2位，,捆绑”有方法数将3位女生当两个看，安插在四个空隙中的两个有方法数闲=12,故“6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生 相邻的排法”有认;=432种；其中男生甲站两端的男 生排法种数是A从：=4,此时只能在甲的一侧的三个空隙 中安插经过“捆绑”处理后的三个女生，有方法数C；A；A； = 36,故“3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生 甲站两端.3位女生中有且只有两位女生相邻的"的排法

14、有 门执水：江执1）=144种，综上，故符合条件的排法共有432一144=2SK 种.第54讲|要点探究1点评】排列中有一类一些元素必须相邻、一些元素必须不相邻，这两个问题都有固定的解决方法：在一个排列中某几个元素必须相邻，采用的是把这几个元素 作为一个整体元素看待，即把这几个元素“捆绑”起来,使其在和其他元素排列时是一个元素，这样排列后这几个元素就相邻在一起了；在一个排列中某几个元素不能相邻，必须隔开，这时先排列其余元素，这样这些元素与元素之间就出现了空隙，只要在这些不同的空隙中排列需要不相邻的元素即可，这两个问题可以简称为"相 邻问题捆绑法、不相邻问题插空法” .排列组合在实际

15、问题中的另一个重要应用就是数字问题，在解决时一定 要注意“0”这个特殊元素.第54讲|要点探究国式题有6本不同的书按下列分配方式分配，问共 有多小种不同的分配方式？(D分成1本+ 2本、3本三组：(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2 本，一个人3本；0)分成每组都是2本的三个组；(4)分给甲.乙、丙三人，每个人2本.第54讲|要点探究【解答】分三步：先选I本有C：种选法；再从余 下的5本中选2本有仁种选法：最后余下的3本全选有 种选法，由分步计数原理知，分配方式共有： =60(种).(2)由于甲.乙.丙是不同的三个人.在(1)题的基础上, 还在考虑再分配问鼠 因此分配方式共有：C

16、卜弓C；A：=36刎种先分三步，则应是种方法，但是这里面出了重复.不妨记六本书为A. B、C. D、E. F.若第一步取了 AB,第二步取了 CD.第三步取了 EF,记该种分第54讲|要点探究法为(AB, CD, EF),则C：C：C种分法中还有(AB, EF, CD). (CD, ABt EF), (CD, EF, AB). (EF, CD, AB). (EF, AB, CD),共A：种情况.而且这用种情况仅是AH, CD, EF的顺序不同.因此只能作为一种方法.故分配方式有&CY* 3的.在问题的基础上再分配即可，共有分配方式:曾 S. Q Ai=d-C?d=90(Wh第54讲|规

17、律总结L排列与组合的本质区别在于排列不仅取而且排 即 与顺序有关，而组合只取出并成一组即可 与顺序无关.2 .注意排列数公式、组合数公式有连乘形式与阶乘用 式两种公式, A ： =- 1）"m + I） , C=迎一1）（二；一”,±1）常用于计算，而公式人,=it!(ti -m)!C，=而二常用于证明恒等式第54讲|规律总结（3）代入古典概型的概率计算公式3 .解排列组合题的U6字方针，12个技巧%（iri6字方针”是解排列组合题的基本规律，即分类相 加、分步相乘、有序排列、无序组合.（2广12个技巧”是速解排列组合题的捷径.即相邻问题捆绑法: 多排问题单排法: 定位问题优先法: 多元问题分类法手不相邻问题插空法:定序问题倍缩法：有序分配问I1分步法;交叉问题集合法;至少（或至多）问题间接法,选排问题先取后排法; QD局部与整体问题排除法；复杂问题转化法.第54讲|规律总结4 .求解排列与组合的综合应用题，注意先选后排的原则.复杂的排列,组合问题利用分类