等和线解决的平面向量专题

1、1、【2014宁波二模理17】已知点。是4ABC的外接圆圆心，且AB=3 , AC=4 .若存在非零实数 x、*uuruuir uury,使得 AO xAB yAC，且 x 2y 1 ,则 cos / BAC=.uuur uuu uur uuur uuur解答：取AC中点D,则有AO xAB yAC xAB 2yAD，而x 2y 1,得点B,O,D三点共线，已知点O是ABC的外心，可得BD AC，故有BC=AB=3 ,AC=4,求得 cos BAC2、2014杭州二模文8理6】设OzXABC的外心(三角形外接圆的圆心).若AO1 一 1 -AB AC ,贝U BAC 33的度数为()A.300

2、B.450 C.600 D.900解答:uuur取AC中点D,则有AO1 uuu 2 uuur1AB -AD ,得点B,O,D三点共线，已知点 O33是4ABC的外心，可得BDAC ,即有AO=BO=2DO ,故可求得 BAC60 .3、【2009浙江理样卷6】已知uuu uiu uurrOP 2tPA tOB tAOB uuu PA utu-= PB，点P在直线AB上,()ABC.2D.332解答：由已知uuu 2tOP 1 2tuurOAuuirtOB，点P在直线AB上，得2t1 2t且满足1t 一.当 t2uuu1时，可得OA1 uuu 1 uuir-OP -OB1 uuir,此时A为P

3、B中点,uuu PA uur PB12时,uuu可得OP1 uuu 1 uuuOA OB此时P为AB中点,uuuPA uuu- =1.PB4、【2014浙江省六校联考理17】已知O为ABC的外心，AB_2，2a, AC -(a a0),_o -H-BAC 120，右uurAOuur uuurxAB yAC(x,y 为实数)，则 x的最小值为解答：如图，设AOIBCE , EO m , AO R,则易知uuirAOr uur AE R muurr x1ABuury1 AC ,其中 X1y 1R 一,R ,故由已知可 2所求取值范围是2,5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知。为 ABC的外

4、心,AB 4, AC 2, BAC 120。若 AO 1 AB 2 AC,解法 1：如图，设 AOI BC E , EO m, AO R, AF BC 于 F 点，OG BC 于uuurG点，则易知AOR uuu AER muur x1ABuuryAC ,其中 k y1得OG,21AF2,21故可求得AF OGAF1 OGAF13解法2:uuuruuuuuu 2uuruurAOAB1AB2ACABuuuruuuruuuuiuruuur 2AOAC1ABAC2AC16 14 1解法3:uurAC13设 A 0,0B 4,0,外心。是AB中垂线uuu2,逑，得AO1,囱，得 4#473，有误，重解

5、3 22和AC中垂4,0 ，【变式1、已知向量a,b的夹角为，且|a|=4, |b|=2,|a-c|=| b-c|=| c|,若 c=xa+yb,6、【2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17】已知ab为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足c+ a=(c+ b)(R)则|c |的最小值为解答：如图，由已知uur ruurOB ,r直线AB上，得C7、【2012年稽阳联考15】A, B,P是直线上不同的三点，点 uuuO在直线l外，若uuu uuuOP mAP (2 muur3)OB,(mR),则-JPB-=2.o|PA|解答：8、2013杭二中高三适应考理17如图，在直角梯形ABCD

6、 中,AD AB ,AB / DC , AD DC 1 , AB 2 ,动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切uuuuuruuu的圆上或圆内移动，设APADAB (,R),则 取值范围是.解答：设API BDE, AEuuu nuuu n uuuuurm, AP n ,则 AP AE xAB yAC ,其中m m2.5 n 5_ m 2、55k表示点p到bc边的距离,0,经5,得所求取值范围是1.2a2009 OC,且A,B,C三点共线（该9、已知等差数列an的前n项和为Sn，若OAa2 OB直线不过点O）,则S2010等于（D）A. 2010 B, 2008 C, 1010D, 1005uu

7、uuuruur10、已知等差数列an的前n项和为Sn ,若OA a? OB 22013 OC,且A,B,C三点共线（该直线不过点Q ,则S2014等于（D）11、如图，在扇形OAB中，AOBA. 2014B. 2012C.1012D.100760 ,C为弧AB上的一个动点.若°C xOA y OB，则x 3y的取值范围是1,3.解答：如图，在 OB上取一点D,使OB=3OD，设OC I ADuuur 则有OCm nuuEmm n uuu 肥甘小x1OA y1OD ,其中 x ymuuur uur uur uuu uuurm nOC xOA yOB xOA 3yOD，得 x 3y 1m

8、E , OE m, EC n,1 ,另有,易知当点C和点A重 m合日达最小值0,当点C和点B重合时口达最大值2,故x 3y 1,3 . mm12、如图，四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为乙BCD内（含边界）的动点，设OPuurOCuurOD（最大值等于gA, B满足313、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点2, , R所表OA OB OA OB 2 ,则点集 P| OP OA OB,示的区域的面积是16 3.14、若等边 ABC的边长为2 ,平面内一点M满足CM 1CB CA,则mAmB 32(C)a.8b.£c.999D.13g15、若等边 ABC的边长为2

9、73,平面内一点M满足CM1 2-CB -CA,则 63MA MB -2.uuuu16、若M为ABC内一点，且满足AM3 uuu 1 uur3AB AC,贝 lj ABM 与 ABC4 4'的面积之比为14.unruuuuuur uuu17、设 O 是 ABC 的外心，AO xAB yAC , ABuuir4, AC6, 2x 2y 1 ,rruuu uuir贝U AB AC =418、已知。为 AABC 的外心，| aB| 16,| AC | 10V'5,若 aO xAB yAC, uuu且 32x+25y=25,则 OA =10.19、已知A、B是单位圆上的两点，。为圆心，

10、且AOB 120°, MN是圆。的 uuiruuuuuir _一条直径，点C在圆内，且满足OC OA (1 )OB (°1),则uuuu uuurCM CN的取值范围是(C)一 13A. ,1) B. 1,1) C. -,0) D. 1,0)2420、已知圆。的半径为2, A、B是圆上两点且 AOB 2-, MN是一条 3unruur uuuuuuu uuur ”直径，点C在圆内且满足OC OA (1 )OB(01),则CM CN的最小值为(C)A. -2B. - 1C. -3D. -421、已知 O(0,0) , A(cos ,sin ) , B(cos ,sin ),

11、C(cos ,sin ),若 uuu uuu uuur rkOA (2 k)OB OC 0, (0 k 2),则 cos( )的最大值是.22、【2014稽阳联谊理16】在ABC中，BAC 90 ,以AB为一边向 ABC外 Unruur uUur作等边 ABD,若 BCD 2 ACD , AD AB AC ,则 =.解：如图，设点D关于AC的对称点为D',且DD'交AC于点E.设弦定理得sin(1502 , CD'DCDsin(1503 )3 ) sin(9090CBDBD DD 'sin 2 sin 2)，从而1501503 ,在 DCD', BCDC

12、D sin(90 90而得 15 .显然 DEAB23、已知 ABC 中，AB=4 ,AC=2 ,若AEAC uurAB，故uuurAC从而得)或150 3901 .3DCA ,中利用正180从2的最小值是2,则对于 ABC内解：uuu 设AEP, uur ABuuuPAuuuPBAB=4得I1、uuuOC解:2uur ABuuurPCuuurACuHTAD的最小值是uuuAB 1uuur2ACuuuABuuurAD的最小值是2,则点E在直线AD上,AC=2 , AD=4BAC 120 ,取P与点G重合时,ABC内接于以uurAB =uuu3OAuuur4OBAE长度最小为2时，E为BD中占I

13、 八)AEBDBC中点F,有最小值连结AF,1 uuur 2AF2取AF中点G,则有:1 uuu AB8uuur 2AC。为圆心,uuu5OC ,1为半径的圆，且两边平方得uuu uuuOA OBuuur 故OCuuuAB3 uuu 4 uuu-OA -OBuur uuuOB OA2、在ABC 中，AC=2, BC=6,。是uurOCuuuuuurBA 2BC解法1：3,0uuu 由OAuuu3OBuuur4OCuuur 得OC21uuuBAuur2BCuuiT故OCuur BAuur2BC21 xx 158y2 324-40.8uuu3OA3.2uuu4OBuuur5OCr0,则11 uurOA5 5ABC内一点,uuuOBuuuOA,则由AC=2得x15,y1 8yx2 6x 3158uur3OBuuur r4OC 0 ,则32 y2 4,uuur uur uur得 OC B