12反比例函数k的几何意义(第4课时)(1)

1、26.1.3反比例函数的图象和性质3内容：内容：反比例函数中反比例函数中“k”的几何意义的几何意义 与面积相关联的题目分析与面积相关联的题目分析 与 的P(m,n)AoyxP(m,n)AoyxByxOABCFE反比例函数与矩形面积反比例函数与矩形面积 例例1. 如图，如图，P是反比例函数的图象上一点，过是反比例函数的图象上一点，过P点分别向点分别向x轴、轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求，求这个反比例函数的解析式。这个反比例函数的解析式。解：解：设设P点的坐标为（点的坐标为（x,y), 则则OA=x,AP=-y 矩形矩形OAPB的面积的面积

2、S=6 OAAP=6，即，即-xy=6 这个反比例函数关系式为：这个反比例函数关系式为： P(x,y)Aoyx Bxy6P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB).( |,)2(如图所示如图所示则则垂足分别为垂足分别为轴的垂线轴的垂线轴轴分别作分别作过过矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPB过反比例函数图象上任一点过反比例函数图象上任一点P P分别作分别作x x轴、轴、y y轴的垂线，垂足轴的垂线，垂足分别为分别为A,BA,B，它们与坐标轴形成的，它们与坐标轴形成的矩形面积矩形面积是是不变的。不变的。 推广：反比例函数与三角形面积推广：反比例函数与三角形面积 例例2. 如图，点如图，点

3、A在反比例函数在反比例函数 图象上，图象上，AB垂直垂直于于x轴，垂足为轴，垂足为B.求求OAB的面积。的面积。 解解：设设A点坐标为（点坐标为（x，y），），点点A在在 图象上图象上xy=-8，xy=8=8 421|2121xyyxABOBSAOBxy8BoyxAxy8|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx则则垂足为垂足为轴的垂线轴的垂线作作过过有有上任意一点上任意一点是双曲线是双曲线设设,) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的，为：PDoyx1.1.如图如图, ,点点P P是反

4、比例函数是反比例函数 图象上的图象上的一点一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积为的面积为 . .xy21 12.2.如图如图, ,点点P P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点, ,过点过点P P分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线, ,若阴影部分面积为若阴影部分面积为1,1,则这个反比例则这个反比例函数的关系式是函数的关系式是 . .PDoyxPyxOCxy22KS SK的面积不变性的面积不变性 (0)kykx(0)2kk(0)k k 注意：注意：（1 1）面积与面积与P P的位置无关的位置无关（2）当）当k符号不确定的情况符号不确定的情况下须下

5、须分类讨论分类讨论PQ0 xy）（yx,P0 xy）（yx, 3、在双曲线、在双曲线 上上任一点分别作任一点分别作x轴、轴、y轴的垂线段，轴的垂线段，与与x轴轴y轴围成矩形面积为轴围成矩形面积为12，求函，求函数解析式数解析式_。xky (X0)(X0)yxOxy12xy12或或A._,)0(1,. 4321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2AoyxBS1S2xy3如

6、图，如图，A,B是双曲线是双曲线 上的点，分别经过上的点，分别经过A,B两点向两点向X轴、轴、y轴作垂线段，若轴作垂线段，若 .211SSS，则阴影4Oyxs1s2 如图如图, ,点点P P、Q Q是反比例函数图象上的两点是反比例函数图象上的两点, ,过过点点P P、Q Q分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线, ,则则S S1 1( (黄色三角形）黄色三角形）S S2 2( (绿色三角形）的面积大小关系是：绿色三角形）的面积大小关系是：S1 _ _ S2. .PQ 趁热打铁，大显身手（提高篇）趁热打铁，大显身手（提高篇）=xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数如图，在反比

7、例函数 的图象上，有点的图象上，有点，它们的横坐标依次为，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作分别过这些点作 轴与轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，则，则1234PPPP， ， ，xy2yx（x0)123SSS， ，123SSS （x0)2yx3216思考：思考：1.你能求出你能求出S2和和S3的值吗？的值吗？132.S1呢？呢？1 例例2. 如图，正比例函数如图，正比例函数 与反比例函数与反比例函数 的图象相交于的图象相交于A、C两点，过两点，过A点作点作x轴的垂线交轴的垂线交x轴于轴于B，连结连结BC，则

8、，则 面积面积S为多少？为多少？ 解：因为点解：因为点A与点与点C关于原点中心对称，关于原点中心对称， 设设A（x,y），则），则C(-x,-y),过过C点做点做 CD垂直与垂直与X轴轴,垂足为垂足为D点点所以所以ykx k()0yx1ABC21|212121kxyABOBSAOB21|212121kyxCDOBSBOC1221ABCSBOCAOBABCSSSD. 1,6)2( :xyxy解. 3, 22, 3yxyx或解得).2, 3(),3 , 2(BAAy yOBxMNy=kx+1y=kx+1的图像交于的图像交于A A、B B两点两点, ,点点A A的纵坐标是的纵坐标是3.3. 已知：如

9、图已知：如图, ,反比例函数反比例函数 与一次函数与一次函数xy6（1 1）求这个一次函数的解析式）求这个一次函数的解析式（2 2）求）求AOBAOB的面积的面积. .变式变式练习练习1 正比例正比例函数函数y=y=x与反比例函数与反比例函数y= y= 的图象相交于的图象相交于A A、C C两点两点.ABx.ABx轴于轴于B,CDyB,CDy轴于轴于D(D(如图如图),),则四边形则四边形ABCDABCD的面积为的面积为( )( ) （A A）1 1 （B B） （C C）2 2 （D D）1x3252变式变式练习练习2yBAxo o例例3、如、如图，已知，图，已知，A,B是双曲线是双曲线 上

10、的两点，上的两点，)0( kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点B的横坐标的横坐标为为3，连接，连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。CDE解法一：解法一：yBAxo o例例3、如、如图，已知，图，已知，A,B是双曲线是双曲线 上的两点，上的两点，)0( kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点B的横坐标为的横坐标为3，连接连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。C(5,0)解法二：解法二：yBAxo o如图，已知，如图，已知，A,B是双曲线是双曲线 上的两点

11、，上的两点，)0( kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点B的横坐标为的横坐标为3，连接连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。C CD D解法三：解法三：yxoBEACD 若若A(mA(m，n)n)是反比例函数图象上的一动点，其中是反比例函数图象上的一动点，其中0m30m0)与矩形与矩形OABC的边的边AB、BC交于交于F、E两点，且两点，且BE=CE，四边形，四边形OEBF的面积为的面积为2 .1.求证：求证：AF=BF2.求三角形求三角形OAF的面积的面积3.求求k的值的值xky yxOABCFE解法一：面积法解法一：面

12、积法解法二：函数法解法二：函数法练习练习：1.如如图，点图，点A在双曲线在双曲线 上上，点，点B在在双曲线双曲线 上，且上，且ABx轴，轴，C、D在在x轴上，若四边形轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的为矩形，则它的面积为面积为 .2.如图，过反比例函数如图，过反比例函数 的图象上任意的图象上任意两点两点A、B分别作分别作x轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为C、D，连结连结OA、OB。设。设AC与与OB的交点为的交点为E， 与与梯形梯形ECDB的面积分别为的面积分别为S1、S2，比较它们的，比较它们的大小，可得（大小，可得（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定大小关系不能确定1

13、yx3yxyxx10()AOE21SS SS12SS12E3.如图，如图，A、B是函数是函数 的图象上关于原点的图象上关于原点O对称的任意两点，对称的任意两点，AC平行于平行于y轴，轴，BC平行于平行于x轴，轴， 的的面积为面积为S，则（，则（ ） A. S1 B. C. S2 D. xy1ABC12SS 24.如图，函数如图，函数 和和 的图象分别是的图象分别是 和和 设点设点P在在 上，上，PCx轴，垂足轴，垂足为为C，交，交 于点于点A，PDy轴，垂足为轴，垂足为D，交交 于点于点B，则三角形，则三角形PAB的面积为的面积为_.xy1xy31l2l1l2l2l5、（、（2011湖北）如图

14、，双曲线湖北）如图，双曲线 经过四边形经过四边形OABC的顶点的顶点A、C，ABC90，OC平分平分OA与与x轴轴正半轴的夹角，正半轴的夹角，ABx轴轴，将，将ABC沿沿AC翻折后得到翻折后得到ABC，B点落在点落在OA上，则四边形上，则四边形OABC的面积的面积是是 .)0(2xxyD6、如图，已知直线yx2分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线 交于E，F两点，若AB2EF，则k的值是（ ） A1 B1 C D xky 2143利用几何知识解决问题利用几何知识解决问题（2，0）（0，2） 7、如图，一次函数y=kx1的图象与x轴交于点A，与反比例函数 （x0）的图象交于点B，BC垂直x轴

15、于点C若ABC的面积为1，则k的值是 xy3函数法函数法,方程思想方程思想8、如图，反比例函数 （k0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点S =2，则k的值为 xky BEF（2，m） kx4x. 2,8,的纵坐标都是的横坐标和点且点两点的图象交于的图象与反比例函数已知一次函数如图练习BABAxybkxy：AyOBx求（1 1）一次函数的解析式）一次函数的解析式（2 2）根据图像写出使一）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函次函数的值小于反比例函数的值的数的值的x x的取值范围。的取值范围。 如图所示，已知直线如图所示，已知直线y1=x+m与与x轴、轴、y 轴分轴

16、分别交于点别交于点A、B，与双曲线与双曲线y2= （ky2（2）求出点）求出点D的坐标；的坐标；（1）分别求直线）分别求直线AB与双曲线的解析式；与双曲线的解析式； 与 的P(m,n)AoyxP(m,n)AoyxByxOABCFE总结提高总结提高一个性质：反比例函数的一个性质：反比例函数的面积不变性面积不变性两种思想：两种思想：分类讨论分类讨论和和数形结合数形结合 已知已知：直线：直线AB过点过点A（m,0) ， B(0,n) (m0,n0)。反比例函数反比例函数 的的图象与图象与AB交于交于C、D两点两点。若若 ,求求n的值。的值。yxABCDO?DOBCODAOCSSSxmy MN拓拓展展提提高高 如图，已知正方形如图，已知正方形OABC的面积为的面积为9，点点O为坐标原点，点为坐标原点，点A在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，点轴上，点B在函数在函数y=k/x的图象上，点的图象上，点P(m,n) 是图象上