双曲线及其标准方程

1、1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a2a( 2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆的点的轨迹叫做椭圆. .这两个定点叫做这两个定点叫做平面内与两定点平面内与两定点F F1 1、F F2 2的距离的的距离的椭圆的椭圆的焦点焦点,两焦点的距离叫做椭圆的两焦点的距离叫做椭圆的焦距焦距.椭圆的标准方程椭圆的标准方程) 0( 12222 babxay) 0( 12222babyax双曲线的定义是怎样的双曲线的定义是怎样的? ?与椭圆定义对照与椭圆定义对照, ,比较两者比较两者有什么相同点和不同点？有什么相同点和不同点？双曲线的定义中为什么要加双曲线的定义中为什么要加“绝对值绝对值”三个字呢

2、？三个字呢？双曲线的定义中为什么要强调常数双曲线的定义中为什么要强调常数双曲线的标准方程是怎样建立起来的？与椭圆的标双曲线的标准方程是怎样建立起来的？与椭圆的标准方程比较，有什么区别？准方程比较，有什么区别？根据双曲线的标准方程，怎样确定焦点在哪个坐标根据双曲线的标准方程，怎样确定焦点在哪个坐标轴上？轴上？21FF小于如图如图(B)当当|F M | |F M|时时; |F M | |F M|2a上述的两条曲线放在一起我们叫它双曲线上述的两条曲线放在一起我们叫它双曲线每一条叫双曲线的一支每一条叫双曲线的一支 双曲线定义：双曲线定义：平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1、F F2 2的距离

3、的差的的距离的差的绝对绝对值值等于常数等于常数2a2a（a a0 0且且2a2a|F|F1 1F F2 2| |）的点）的点的轨迹叫做双曲线的轨迹叫做双曲线。两个定点两个定点F F1 1、F F2 2叫做双叫做双曲线的焦点，曲线的焦点， |F|F1 1F F2 2| |叫做双曲线的焦距。叫做双曲线的焦距。设设|F|F1 1M|-|FM|-|F2 2M|=2a, |FM|=2a, |F1 1F F2 2|=2c,|=2c,动点为动点为MM，则，则: :不表示任何图形；因为不表示任何图形；因为| |F| |F1 1M|-|FM|-|F2 2M| | |FM| | |F1 1F F2 2| |(1)

4、(1)当当o o2a2a2c2c时，动点时，动点MM的轨迹是什么的轨迹是什么? ?(2)当当o2a=2c时，动点时，动点M的轨迹是什么的轨迹是什么?(4)当当2a2c0时，动点时，动点M的轨迹是什么的轨迹是什么?(3)当当2a=0时，动点时，动点M的轨迹是什么的轨迹是什么?双曲线两条射线线段F1F2的垂直平分线 F1F2M4) 3() 3() 1 (2222yxyx5) 3() 3() 2(2222yxyx6)3()3()3(2222yxyx方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是方程表示的曲线是x轴上分别以轴上分别以

5、F1和和F2为端点，为端点，指向指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。轴的负半轴和正半轴的两条射线。F1F2xoy双曲线标准方程推导双曲线标准方程推导：（1 1）建系设点）建系设点: :M（x，y）以过点以过点F F1 1、F F2 2的直线为的直线为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的中的中垂线为垂线为y y轴，建立直角坐标系；设轴，建立直角坐标系；设MM（x x，y y）是双曲线上任意一点，且是双曲线上任意一点，且F F1 1F F2 2=2c=2c，则，则F F1 1（-c-c，0 0）、）、F F2 2（c c，0 0）。）。（2 2）写出点）写出点MM的集合的集合: : P

6、=M - = 2aMF2MF1（3 3）列出方程）列出方程: :（4 4）整理化简）整理化简: :(c2-a2)x2-b2y2=a2(c2-a2)令令 c c2 2-a-a2 2=b=b2 2双曲线标准方程双曲线标准方程:22ax22by=1（a0 ， b0）222221)(,)(ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222F1F2oxyF1F2oxy（1 1）焦点在）焦点在x x轴上轴上（2 2）焦点在）焦点在y y轴上轴上22ax22by=122ay22bx=1F F1 1（-c, 0-c, 0）、）、F F2 2（ c , 0c , 0）F F1 1（0, -c0, -c）、）、

7、F F2 2（ 0, c 0, c ）特特征征（1 1）方程的右边是）方程的右边是1 1，方程的左边是平方差的形式；，方程的左边是平方差的形式；（2 2）双曲线的焦点所在的坐标轴与方程左边正项的分）双曲线的焦点所在的坐标轴与方程左边正项的分 子相对应。子相对应。c2=a2b2a0, b0 x2a2-y2b2=1x2y2a2+b2 =1F（c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a x2a2+y2b2=1椭椭 圆圆双曲线双曲线y2x2a2-b2= 1F（0，c）F（0，c）椭圆与双曲线的联系与区

8、别椭圆与双曲线的联系与区别3694 ) 4 ( 124 ) 3(122 ) 2( 124 ) 1 (22222222 xyyxyxyx1.判断下列方程是否表示双曲线判断下列方程是否表示双曲线，若是，若是，求出其焦点的坐标：求出其焦点的坐标：练习练习例例1 1 已知双曲线两个焦点的坐标为已知双曲线两个焦点的坐标为F F1 1(-5,0)F(-5,0)F2 2(5,0)(5,0)，双，双曲线上一点曲线上一点P P到到F F1 1 、F F2 2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6 6，求，求双曲线的标准方程。双曲线的标准方程。解：解：因为双曲线焦点在因为双曲线焦点在x x轴上，所以设它的

9、标准方程为轴上，所以设它的标准方程为22ax22by=1（a0，b0）2a=6，2c=10， a=3，c=5。b2=52-32=16。92x162y所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为=1。例例2 求满足下列条件的双曲线标准方程：求满足下列条件的双曲线标准方程： （1）若）若a=6，b=3，焦点在，焦点在x轴上；轴上； （2）若）若a= ，过点，过点A（2，-5），）， 焦点在焦点在y轴上；轴上； （3）若）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。，焦点在坐标轴上。5 52 2答案:(1) (2) (3)x236y29=1x236y264=1x220y216=1x236y264=1或m|m-1或或m0，2、已知方程、已知方程 表示双曲线，表示双曲线， 则则m的取值范围是的取值范