朱校华之数学笔记《说一说等腰三角形那些事》

1、 说一说 等腰三角形 那些事 （ 上饶市秦峰中学 朱校华 ）三角形中只有 等腰三角形 才是 轴对称图形，其对称轴是 ？ ；等腰三角形中，最特殊的 应算 等边三角形，等边三角形 是 最优美的 三角形；本文先说说 等腰三角形 的 性质： （在教育随笔（三十七）中说说判定）1. 角的性质等腰三角形的两底角相等 （简记为：等边对等角）理解点： “等边对等角”是一种简记（在需要填写理由时可用），不是一个完整的真命题，真正完整的真命题是“等腰三角形的两底角相等”. 主要是因为“等边对等角”暗藏着大前提“在同一个三角形中”，换句话说，“在同一个三角形中，等边对等角”这样说是对的；而“等边对等角”是错的，特别

2、在使用等腰三角形这个性质时须注意哦！ 等腰三角形的两个底角存在“相等”关系，这是今后解决“证明两个角相等”问题的第二条思路：当要证的两个角正好落在同一个三角形中，不妨可以考虑先去证这个三角形有两边相等，再利用“等边对等角”即可。 等腰三角形“等边对等角”这个性质在计算角有益处：已知等腰三角形一个角的度数，能很快知道其余两角的度数。如经典中考题一： 有一个50°角的等腰三角形，其余两角分别等于 ；（答案：50°，80°或65°，65°.）2. 边的性质等腰三角形有两条边相等理解点： 只要是等腰三角形，均有两条边能相等着；很明显，遇上直角的等腰三角

3、形，只能两条直角边相等；钝角的等腰三角形只能两条短边相等咯！ 倒过来说，有两条边相等的三角形一定是等腰三角形；这其实是定义，事实上，定义就是判定（是常用来判定某一三角形是否是等腰三角形的依据之一），定义也是一条性质，相互通用。 本性质容易被忽视，其实却常用着。如 画等腰三角形，就是考虑先画相等的两边之后再画底边；或者先画出一条线段作为底边，再使用圆规画弧出交点，最后连出两腰。3. 线段性质等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简记为：三线合一）理解点： 简记“三线合一”只针对“等腰三角形”来说，而且“三线”仅限于 等腰三角形ADCB的顶角平分线、底边上的高及底边上的中线 这

4、三条线段（专属的）. 本性质 其实隐藏着 三大真命题：（证明也很简单！）（1）ABC中，ABAC，AD平分BAC求证： ADBC ， BDDC（2）ABC中，ABAC ， ADBC 求证：AD平分BAC ，BDDC（3）ABC中，ABAC ， BDDC（图361） 求证：AD平分BAC， ADBC请记住：以上三大真命题，今后做题遇上，可完全予以借鉴之！ “三线合一”实质说的是：一条线段有三种“身份”，既是“顶角平分线”，又是“底边上的高”，还是“底边上的中线”；这点告诉了我们今后遇上“等腰三角形”有关问题时，不妨添加“底边上的高”，往往能给我们带来惊喜哦！因此请记住：等腰三角形底边上的高是常添

5、辅助线之一（至于用不用，当然具体得看题意而定）。（图362）AEDCB例如：（ 经典中考题二）如图362示，ABC中，ABAC ，点D在AB上，点E在边CA的延长线上，且ADE是等腰三角形，试判断BC与DE两线段所在的直线存在何种特殊的位置关系？写出您认为正确的关系并证明之！简析：本题最精彩处是凭“几何直觉”就能感悟到 DEBC，作BC上的高AF，证AFDE；(或作DAE的平分线AG ).4. 对称性质等腰三角形是轴对称图形理解点：等腰三角形有一条对称轴；等边三角形是特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每一边的垂直平分线（或说 中垂线） 就是等边三角形的对称轴。 这里特别小心的是：不能说“等腰三角

6、形顶角平分线是对称轴”，不能说“等腰三角形底边上的高是对称轴”，也不能说“等腰三角形底边上的中线是对称轴”；请记住：对称轴 永远是 直线，而不是线段。另外本性质还告诉我们：等腰三角形被对称轴分成两个全等的直角三角形。说明等腰三角形中有直角三角形，其实直角三角形中也有等腰三角形，俗称“你中有我·我中有你”！说一说等腰三角形那些事（续） （ 上饶市秦峰中学 朱校华 ）本文说说 等腰三角形 的 判定， 等腰三角形的常用判定方法主要有：5. 定理法有两角相等的三角形是等腰三角形（等腰三角形判定定理）理解点： 本判定法说的是：当三角形有两个角存在“相等”关系，就足以能说明该三角形是等腰三角形。

7、教科书将这个判定定理叙述成“如果三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简记为等角对等边）”，其实质也是在说“有两个角相等的三角形是等腰三角形”。 换句话说：证明到“一个三角形两角相等”，就可得出该三角形是等腰三角形结论。 特别注意的是“等角对等边”是一种简记（在需要填写理由时可用），不是一个完整的真命题，真正完整的真命题是“在同一个三角形中，等角对等边”。（与“等边对等角”是互逆关系，但其暗藏的 大前提 是一样的。）（图371）AEDCB“等角对等边”暗示我们：它是今后解决“证明两条线段相等”问题的第二条思路：当要证的两条线段正好落在同一个三角形中，不妨可以考虑先去证这个三角形有两角

8、相等，再利用“等角对等边”即可。（补注：第一条思路是“当要证的两条线段正好落在不同的两个三角形中，不妨可以考虑去证这两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可”） 需要说明的是：“定理法”是等腰三角形判定方法中用得最多的方法，约有90%的“证明某一个三角形是等腰三角形”题都用“定理法”来解决。6. 定义法有两条边相等的三角形是等腰三角形理解点： 有两条边相等的三角形是等腰三角形，这就是定义，F事实上，定义是常用来判定某一个三角形是否是等腰三角形的重要依据。因为有时证明两条线段相等可能比证明两个角相等要快，此时用定义来作为判断依据最好不过，所以别以为判定某一三角形是等腰三角形只有用判定定理，原

9、始定义有时倒更能用得得心应手。记住：所有数学名词的原始定义是一笔“财富”，千万别“遗忘”它！请认真做一做下面题：经典中考题例1：如图371示，ABC中，ABAC ，点D在AB上，点E在边CA的延长线上，且EDBC,垂足是F. 求证： ADE是等腰三角形很明显：例1通过“作ABC边BC上的高AH”，知“AH又是BAC的平分线”及“AHEF”，这样证出“ADEE”后，依“等腰三角形判定定理”得出：ADE的确是等腰三角形；在此非用“定理法”不可，走“边”路不通。下面一道题中若单独用“定理法”则走不通，必须改用“定义法”不可（您从中可以好好地“领悟”之）：（图372）EFDA经典中考题例2：如图372

10、示，ABC中，点D在AB上，点E在CA上，CDBE，BC， 求证：BFCF简析：CB表面上看起来，本题似乎与等腰三角形判定无关；由给出的已知条件发现能证ABEACD（AAS），于是有ABAC，连BC，则ABC就是等腰三角形；从而ABCACB，进一步获得FBCFCB，所以BFCF.（本题于两处分别用了“定义法”与“定理法”判定ABC与BCF为等腰三角形，又用了等腰三角形性质，佳题呀！）7. 其它法角平分线 与 平行线（或垂线）组合可获得 等腰三角形理解点：DCB A这其实是“角平分线”的第三功用：当角平分线遇上过角平分线上任一点且与角的一边平行的线时，极易构造出等腰三角形； 当角平分线遇上垂直于

11、角平分线的线时也能构造出等腰三角形。后一句话其实如图373示隐藏着 三大真命题：（1）ABC中，AD平分BAC ，ADBC求证： ABAC ， BDDC（2）ABC中，AD平分BAC ，BDDC 求证： ABAC ， ADBC（图373）（3）ABC中 ， BDDC，ADBC 求证： ABAC ， AD平分BAC请记住：以上三大真命题，事实上是教育随笔（三十六）中三大真命题的逆命题，今后做题遇上，可完全予以借鉴之！等腰三角形 是中考必考知识点之一！除了在“计算”与“证明”两方面大展拳脚外，还与“作图”紧密相连（喜欢与“操作”、“探究”、“类比”等题粘上，花样繁多，但总离不开“等腰三角形的定义、性质、判定”三大知识块）。(图374)AC经典中考题例3：如图374示，点A在直线a上，点C在 a直线a外，请在直线a上寻找点B，使ABC是等腰三角形，试使用尺规作图，须保留作图痕迹，不写作法。（答案：符合条件的B有四个）例3多变化：例4：将线段AC置身于直角坐标系（点C在Y轴上，直线a与X轴重合）中，已知AC2，AC与X轴所夹的锐角等于30°，其余条件不变，请你求出在坐标轴上符合要求的点B的坐标？例5：将线段AC端点A与C置身于“5×5